Yoneda lemma

I matematik är Yoneda -lemma utan tvekan det viktigaste resultatet inom kategoriteorin . Det är ett abstrakt resultat på funktorer av typen morfismer till ett fixerat objekt . Det är en omfattande generalisering av Cayleys teorem från gruppteorin (att se en grupp som en miniatyrkategori med bara ett objekt och bara isomorfismer). Den tillåter inbäddning av vilken lokalt liten kategori som helst i en kategori av funktorer (kontravarianta set-valued functors) definierade i den kategorin. Den klargör också hur den inbäddade kategorin, representativa funktioner och deras naturliga transformationer , förhåller sig till andra objekt i kategorin större funktion. Det är ett viktigt verktyg som ligger till grund för flera moderna utvecklingar inom algebraisk geometri och representationsteori . Den är uppkallad efter Nobuo Yoneda .

Allmänt

Yoneda-lemmat föreslår att man istället för att studera den lokalt lilla kategorin ${\mathcal {C}}$ bör studera kategorin för alla funktioner i ${\mathcal {C}}$ till $\mathbf {Set}$ ( kategorin av mängder med funktioner som morfismer ). $\mathbf {Set}$ är en kategori som vi tror att vi förstår väl och en funktion av ${\mathcal {C}}$ till $\mathbf {Set}$ kan ses som en "representation" av ${\mathcal {C}}$ i termer av kända strukturer. Den ursprungliga kategorin ${\mathcal {C}}$ finns i denna funktionskategori, men nya objekt dyker upp i funktionskategorin, som var frånvarande och "gömda" i ${\mathcal {C}}$ . Att behandla dessa nya föremål precis som de gamla förenar och förenklar ofta teorin.

Detta tillvägagångssätt liknar (och generaliserar faktiskt) den vanliga metoden att studera en ring genom att undersöka modulerna över den ringen. Ringen ersätter kategorin ${\mathcal {C}}$ , och kategorin av moduler över ringen är en kategori av funktioner definierade på ${\mathcal {C}}$ .

Formellt uttalande

Yoneda's lemma concerns functors from a fixed category ${\mathcal {C}}$ to the category of sets , $\mathbf {Set}$ . If $\mathcal{C}$${\mathcal {C}}$ is a locally small category (ie the hom-sets are actual sets and not proper classes), then each object $A$$A$ of $\mathcal{C}$${\mathcal {C}}$ gives rise to a natural functor to $\mathbf{S}$$\mathbf{e}$$\mathbf{t}$$\mathbf {Set}$ called a hom-functor . Om ${\mathcal {C}}$ är en lokalt liten kategori (dvs. hom-uppsättningarna är faktiska uppsättningar och inte riktiga klasser), då är varje objekt $A$ av ${\mathcal {C}}$ gives rise to a natural functor to $\mathbf {Set}$ called a hom-functor . This functor is denoted: Denna funktion betecknas:

$h_{A}=\mathrm {Hom} (A,-)$ .

Den ( kovarianta ) hom-funktorn $h_{A}$ skickar $X$ till uppsättningen morfismer $\mathrm {Hom} (A,X)$ och skickar en morfism $f\colon X\to Y$ (där $X$ och $Y$ är objekt i ${\mathcal {C}}$ ) till morfismen $f\circ -$ (komposition med $f$ till vänster) som skickar en morfism $g$ i ${\ displaystyle \mathrm {Hom} (A,X)}$ till morfismen $f\circ g$ i $\mathrm {Hom} (A,Y)$ . Det är,

$h_{A}(f)=\mathrm {Hom} (A,f),{\text{ eller}}$

$h_{A}(f)(g)=f\circ g$

Yonedas lemma säger att:

  Lemma (Yoneda) — Låt $F$ vara en funktion från en lokalt liten kategori ${\mathcal {C}}$ till $\mathbf {Set}$ . Sedan för varje objekt $A$ av ${\mathcal {C}}$ , de naturliga transformationerna ${\displaystyle \mathrm {Nat} (h_{A},F)\equiv \mathrm {Hom} (\mathrm {Hom} (A,-),F)} från h A {\displaystyle$ h_ $} }$ till $F$ är i en-till-en-överensstämmelse med elementen i $F(A)$ . Det är,

$\mathrm {Nat} (h_{A},F)\cong F(A).$

Dessutom är denna isomorfism naturlig i $A$ och $F$ när båda sidorna betraktas som funktorer från ${\mathcal {C}}\times \mathbf {Set } ^{\mathcal {C}}$ till $\mathbf {Set}$ .

Här betecknar notationen $\mathbf {Set} ^{\mathcal {C}}$ kategorin av funktioner från ${\mathcal {C}}$ till $\ mathbf {Set}$ .

Givet en naturlig transformation $\Phi$ från $h_{A}}$$) {\displaystyle F(A)}$ till ${\displaystyle F} ,$ är motsvarande element i $u=\Phi _{A}(\mathrm {id} _{A})$ ; och givet ett element $u$ av $F(A)$ , ges motsvarande naturliga transformation av $\Phi _ {X}(f)=F(f)(u)$ som tilldelar en morfism $f\colon A\to X$ ett värde på $F(X)$ .

Kontravariant version

Det finns en kontravariant version av Yonedas lemma, som berör kontravarianta funktorer från ${\mathcal {C}}$ till $\mathbf {Set}$ . Denna version involverar den kontravarianta hom-funktionen

$h^{A}=\mathrm {Hom} (-,A),$

som skickar $X$ till hom-uppsättningen $\mathrm {Hom} (X,A)$ . Givet en godtycklig kontravariant funktion $G$ från ${\mathcal {C}}$ till $\mathbf {Set}$ , hävdar Yonedas lemma att

$\mathrm {Nat} (h^{A},G)\cong G(A).$

Namnkonventioner

Användningen av $h_{A}$ för den kovarianta hom-funktorn och $h^{A}$ för den kontravarianta hom-funktorn är inte helt standard. Många texter och artiklar använder antingen motsatt konvention eller helt orelaterade symboler för dessa två funktioner. Men de flesta moderna algebraiska geometritexter som börjar med Alexander Grothendiecks grundläggande EGA använder konventionen i den här artikeln.

Mnemoniken "att falla in i något" kan vara till hjälp för att komma ihåg att $h_{A}$ är den kovarianta hom-funktorn. När bokstaven $A$ faller (dvs. en nedsänkt), tilldelar ${\displaystyle h_{A}} ett objekt$$X$ morfismerna från $A$ till X $\ displaystil X}$ .

Bevis

Eftersom $\Phi$ är en naturlig transformation, har vi följande kommutativa diagram :

Detta diagram visar att den naturliga transformationen $\Phi$ bestäms helt av $\Phi _{A}(\mathrm {id} _{A})=u$ eftersom man för varje morfism $f\colon A\to X$ har

$\Phi _{X}(f)=(Ff)u.$

Dessutom definierar vilket element $u\in F(A)$ en naturlig transformation på detta sätt. Beviset i det motsatta fallet är helt analogt.

Yoneda-inbäddningen

Ett viktigt specialfall av Yonedas lemma är när funktorn $F$ från ${\mathcal {C}}$ till $\mathbf {Set}$ är en annan hom-funktion $h_{B}$ . I det här fallet anger den kovarianta versionen av Yonedas lemma det

$\mathrm {Nat} (h_{A},h_{B})\cong \mathrm {Hom} (B,A).$

Det vill säga, naturliga transformationer mellan hom-funktioner är i en-till-en-överensstämmelse med morfismer (i motsatt riktning) mellan de associerade objekten. Givet en morfism $f\colon B\to A$ betecknas den associerade naturliga transformationen $\mathrm {Hom} (f,-)$ .

Mappning av varje objekt $A$ i ${\mathcal {C}}$ till dess associerade hom-funktion $h_{A}=\mathrm { Hom} (A,-)$ och varje morfism $f\colon B\to A$ till motsvarande naturliga transformation $\mathrm {Hom} (f ,-)$ bestämmer en kontravariant funktion $h_{\bullet }$ från ${\mathcal {C}}$ till $\mathbf {Set} ^{\mathcal { C}}$ , funktionskategorin för alla (kovarianta) funktorer från ${\mathcal {C}}$ till $\displaystyle \mathbf {Set} }$ { . Man kan tolka $h_{\bullet }$ som en kovariansfunktion :

$h_{\bullet }\colon {\mathcal {C}}^{\text{op}}\to \mathbf {Set} ^{\mathcal {C}}.$

Innebörden av Yonedas lemma i den här inställningen är att funktorn $h_{\bullet }$ är helt trogen , och därför ger en inbäddning av ${\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }$ i kategorin funktioner för att $displaystyle \mathbf {Set} }$ . Samlingen av alla funktioner $\{h_{A}|A\in C\}$ är en underkategori till $\mathbf {Set} ^{\mathcal {C}}$ . Därför innebär Yoneda-inbäddning att kategorin ${\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }$ är isomorf till kategorin $\{h_{A}|A\in C\}$ .

Den motsatta versionen av Yonedas lemma säger det

$\mathrm {Nat} (h^{A},h^{B})\cong \mathrm {Hom} (A,B).$

Därför ger ${\displaystyle h^{\bullet }} upphov till en kovariansfunktion från$${\mathcal {C}}$ till kategorin kontravarianta funktorer till $\mathbf {Set }$ :

$h^{\bullet }\colon {\mathcal {C}}\to \mathbf {Set} ^{{\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }}.$

Yonedas lemma anger sedan att vilken lokalt liten kategori ${\displaystyle {\mathcal {C}}} som helst$ kan bäddas in i kategorin kontravarianta funktorer från ${\mathcal {C}}$ till $\mathbf {Set}$ via $h^{\bullet }$ . Detta kallas Yoneda-inbäddningen .

Yoneda-inbäddningen betecknas ibland med よ, Hiragana kana Yo .

Representativ funktionär

Huvudartikel: Representabel funktionär

Yoneda-inbäddningen säger i huvudsak att för varje (lokalt liten) kategori kan objekt i den kategorin representeras av presheaves på ett fullständigt och troget sätt. Det är,

$\mathrm {Nat} (h^{A},P)\cong P(A)$

för en förkärv P . Många vanliga kategorier är faktiskt kategorier av förskivor, och vid närmare granskning visar de sig vara kategorier av skivor , och eftersom sådana exempel vanligtvis är topologiska till sin natur, kan de ses vara topoi i allmänhet. Yoneda-lemmat ger en hävstångspunkt genom vilken den topologiska strukturen för en kategori kan studeras och förstås.

När det gäller (sam)ändskalkyl

Huvudartikel: Slut (kategoriteori)

Givet två kategorier $\mathbf {C}$ och $\mathbf {D}$ med två funktorer $F,G:\mathbf {C} \to \mathbf {D}$ , naturliga transformationer mellan dem kan skrivas som följande slut .

$\mathrm {Nat} (F,G)=\int _{c\in \mathbf {C} }\mathrm {Hom} _{\mathbf {D} }(Fc,Gc)$

För alla funktioner $K\colon \mathbf {C} ^{op}\to \mathbf {Sets}$ och $H\ kolon \mathbf {C} \to \mathbf {Mängder}$ följande formler är alla formuleringar av Yoneda-lemma.

$\mathrm {Hom} _{\mathbf {C} }(c,-)},}$

${\displaystyle K\cong \int ^{c \in \mathbf {C} }Kc\times \mathrm {Hom} _{\mathbf {C} }(-,c),\qquad K\cong \int _{c\in \mathbf {C} }(Kc )^$

$H\cong \int ^{c\in \mathbf {C} }Hc\times \mathrm {Hom} _{\mathbf {C} }(c,-),\qquad H\cong \int _{ c\in \mathbf {C} }(Hc)^{\mathrm {Hom} _{\mathbf {C} }(-,c)}.$

Preadditiva kategorier, ringar och moduler

Huvudartikel: Preadditiv kategori

En preadditiv kategori är en kategori där morfismsättningarna bildar abelska grupper och sammansättningen av morfismer är bilinjär ; exempel är kategorier av abelska grupper eller moduler. I en preadditiv kategori finns både en "multiplikation" och en "addition" av morfismer, vilket är anledningen till att preadditiva kategorier ses som generaliseringar av ringar . Ringar är preadditiva kategorier med ett objekt.

Yoneda-lemmat förblir sant för preadditiva kategorier om vi väljer som vår förlängning kategorin av additiva kontravarianta funktorer från den ursprungliga kategorin till kategorin abelska grupper; dessa är funktioner som är kompatibla med tillägg av morfismer och bör ses som att de bildar en modulkategori över den ursprungliga kategorin. Yoneda-lemma ger sedan den naturliga proceduren att förstora en preadditiv kategori så att den förstorade versionen förblir preadditiv - i själva verket är den förstorade versionen en abelsk kategori , ett mycket kraftfullare tillstånd. I fallet med en ring $R$ är den utökade kategorin kategorin för alla rätta moduler över $R$ och uttalandet av Yoneda-lemmat reduceras till den välkända isomorfismen

$M\cong \mathrm {Hom} _{R}(R,M)$ för alla högra moduler $M$ över $R$ .

Förhållande till Cayleys teorem

Som nämnts ovan kan Yoneda-lemmat betraktas som en stor generalisering av Cayleys sats från gruppteorin . För att se detta, låt ${\mathcal {C}}$ vara en kategori med ett enda objekt $*$ så att varje morfism är en isomorfism (dvs en groupoid med ett objekt). Then $G=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(*,*)$ forms a group under the operation of composition, and any group can be realiseras som en kategori på detta sätt.

I detta sammanhang består en kovariansfunktion ${\mathcal {C}}\to \mathbf {Set}$ av en mängd $X$ och en grupphomomorfism $G\to \mathrm {Perm} (X)$ , där $\mathrm {Perm} (X)$ är gruppen av permutationer av $X$ ; med andra ord, $X$ är en G-uppsättning . En naturlig transformation mellan sådana funktorer är samma sak som en ekvivariant karta mellan $G$ -mängder: en mängd funktion $\alpha \colon X\to Y$ med egenskapen att $\alpha (g\cdot x)=g\cdot \alpha (x)$ för alla $g$ i $G$ och ${ \displaystyle x}$ i $X$ . (På den vänstra sidan av denna ekvation $\cdot$ åtgärden av $G$ på $X$ och på höger sida åtgärden på $Y$ . )

Nu motsvarar den kovarianta hom-funktorn $\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(*,-)$ verkan av $G$ på sig själv genom vänstermultiplikation (den kontravarierande versionen motsvarar högermultiplikation). Yoneda-lemmat med $F=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(*,-)$ anger att

$\mathrm {Nat} (\mathrm {Hom} _{ \mathcal {C}}(*,-),\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(*,-))\cong \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(*,* )$ ,

det vill säga de ekvivarianta kartorna från denna $G$ -uppsättning till sig själv är i bijektion med $G$ . Men det är lätt att se att (1) dessa kartor bildar en grupp under sammansättning, som är en undergrupp av $\mathrm {Perm} (G)$ , och (2) funktionen som ger bijektionen är en grupp homomorfism. (Om man går i motsatt riktning, associerar den till varje $g$ i $G$ den ekvivarianta kartan för högermultiplikation med $g$ .) Således är $G$ isomorf till en undergrupp av ${\displaystyle \mathrm {Perm} (G)} ,$ som är påståendet i Cayleys sats.

Historia

Yoshiki Kinoshita uppgav 1996 att termen "Yoneda lemma" myntades av Saunders Mac Lane efter en intervju han hade med Yoneda på Gare du Nord- stationen.

Se även

• Representationssats

Anteckningar

•   Freyd, Peter (1964), Abelian categories , Harper's Series in Modern Mathematics (2003 reprint ed.), Harper and Row, Zbl 0121.02103 .
•    Mac Lane, Saunders (1998), Categories for the Working Mathematician , Graduate Texts in Mathematics , vol. 5 (andra upplagan), New York, NY: Springer-Verlag , ISBN 0-387-98403-8 , Zbl 0906.18001
• Loregian, Fosco (2015). "Detta är (med)änden, min enda (med)vän". arXiv : 1501.02503 [ math.CT ].

• Yoneda lemma på n Lab

externa länkar

• Mizar systembevis :   Wojciechowski, M. (1997). "Yoneda inbäddning". Formaliserad matematiktidning . 6 (3): 377–380. CiteSeerX 10.1.1.73.7127 .