Langlands program

Inom representationsteori och algebraisk talteori är Langlands- programmet ett nät av långtgående och inflytelserika gissningar om samband mellan talteori och geometri . Föreslagen av Robert Langlands ( 1967 , 1970 ), försöker den relatera Galois-grupper i algebraisk talteori till automorfa former och representationsteori för algebraiska grupper över lokala fält och adeles . Allmänt sett som det enskilt största projektet inom modern matematisk forskning, har Langlands-programmet beskrivits av Edward Frenkel som "en sorts storslagen enhetlig teori om matematik."

Langlandsprogrammet består av några mycket komplicerade teoretiska abstraktioner, som kan vara svåra även för specialiserade matematiker att förstå. För att förenkla, antyder projektets grundläggande lemma en direkt koppling mellan den generaliserade fundamentala representationen av ett ändligt fält med dess grupputvidgning till de automorfa former under vilka det är invariant . Detta åstadkoms genom abstraktion till högre dimensionell integration , genom en ekvivalens till en viss analytisk grupp som en absolut förlängning av dess algebra . Följaktligen tillåter detta en analytisk funktionell konstruktion av kraftfulla invarianstransformationer för ett talfält till sin egen algebraiska struktur .

Innebörden av en sådan konstruktion är nyanserad, men dess specifika lösningar och generaliseringar är mycket kraftfulla. Konsekvensen för bevis på existens för sådana teoretiska objekt innebär en analytisk metod för att konstruera den kategoriska kartläggningen av fundamentala strukturer för praktiskt taget vilket talfält som helst . Som en analog till den möjliga exakta fördelningen av primtal , tillåter Langlands-programmet ett potentiellt allmänt verktyg för upplösning av invarians på nivån av generaliserade algebraiska strukturer . Detta möjliggör i sin tur en något enhetlig analys av aritmetiska objekt genom deras automorfa funktioner . Enkelt uttryckt tillåter Langlands-filosofin en allmän analys av strukturering av abstraktioner av tal. Naturligtvis är denna beskrivning på en gång en reduktion och övergeneralisering av programmets egentliga satser, men dessa matematiska analoger utgör grunden för dess konceptualisering.

Bakgrund

I ett mycket brett sammanhang byggde programmet på befintliga idéer: filosofin om cusp-former formulerad några år tidigare av Harish-Chandra och Gelfand ( 1963 ), Harish-Chandras arbete och tillvägagångssätt på halvenkla Lie-grupper och i tekniska termer Selbergs och andras spårformel .

Vad som till en början var mycket nytt i Langlands arbete, förutom tekniskt djup, var den föreslagna direkta kopplingen till talteorin, tillsammans med den rika organisationsstruktur som ansågs (så kallad funktionalitet ).

Till exempel, i Harish-Chandras arbete finner man principen att det som kan göras för en semisenkel (eller reduktiv) Lie-grupp , bör göras för alla. Därför, när man väl hade erkänt rollen för några lågdimensionella Lie-grupper som GL(2) i teorin om modulära former, och med facit i hand GL(1) i klassfältteori, var vägen öppen åtminstone för spekulationer om GL ( n ) för allmänt n > 2.

Kuspformidén kom ut ur spetsarna på modulära kurvor men hade också en betydelse som är synlig i spektralteorin som " diskret spektrum " , i kontrast till det " kontinuerliga spektrumet " från Eisenstein-serien . Det blir mycket mer tekniskt för större Lie-grupper, eftersom de paraboliska undergrupperna är fler.

I alla dessa tillvägagångssätt var det ingen brist på tekniska metoder, ofta induktiva till sin natur och baserade på bland annat Levi-nedbrytningar , men området var – och är – mycket krävande.

Och på sidan av modulära former fanns det exempel som Hilbert modulära former , Siegel modulära former och theta-serien .

Föremål

Det finns ett antal relaterade Langlands-förmodanden. Det finns många olika grupper över många olika fält som de kan anges för, och för varje fält finns det flera olika versioner av gissningarna. Vissa versioner av Langlands gissningar är vaga, eller beror på objekt som Langlands-grupperna , vars existens är obevisad, eller på L -gruppen som har flera olikvärdiga definitioner. Dessutom har Langlands gissningar utvecklats sedan Langlands först uttalade dem 1967.

Det finns olika typer av objekt för vilka Langlands gissningar kan anges:

• Representationer av reduktiva grupper över lokala fält (med olika underfall som motsvarar arkimediska lokala fält, p -adiska lokala fält och kompletteringar av funktionsfält)
• Automorfa former på reduktiva grupper över globala fält (med subcases som motsvarar nummerfält eller funktionsfält).
• Ändliga fält. Langlands övervägde ursprungligen inte detta fall, men hans gissningar har analoger till det.
• Mer allmänna fält, som funktionsfält över de komplexa talen.

Gissningar

Det finns flera olika sätt att ange Langlands-förmodan, som är nära besläktade men inte uppenbart likvärdiga.

Ömsesidighet

Utgångspunkten för programmet kan ses som Emil Artins ömsesidighetslag , som generaliserar kvadratisk ömsesidighet . Artin ömsesidighetslagen gäller för en Galois-förlängning av ett algebraiskt talfält vars Galois-grupp är abelsk ; den tilldelar L -funktioner till de endimensionella representationerna av denna Galois-grupp och anger att dessa L -funktioner är identiska med vissa Dirichlet L -serier eller mer allmänna serier (det vill säga vissa analoger till Riemann zeta-funktionen) konstruerade från Hecke tecken . Den exakta överensstämmelsen mellan dessa olika typer av L -funktioner utgör Artins ömsesidighetslag.

För icke-abelska Galois-grupper och högredimensionella representationer av dem kan man fortfarande definiera L -funktioner på ett naturligt sätt: Artin L -funktioner .

Langlands insikt var att hitta den korrekta generaliseringen av Dirichlet L -funktioner, vilket skulle tillåta formuleringen av Artins uttalande i denna mer allmänna miljö. Hecke hade tidigare relaterat Dirichlet L -funktioner med automorfa former ( holomorfa funktioner på det övre halvplanet av $\mathbb {C}$ (de komplexa talen ) som uppfyller vissa funktionella ekvationer). Langlands generaliserade sedan dessa till automorfa kuspidala representationer , som är vissa oändligt dimensionella irreducerbara representationer av den allmänna linjära gruppen GL( n ) över adeleringen av $\mathbb {Q}$ (de rationella talen ). (Denna ring håller reda på alla slutföranden av $\mathbb {Q} ,$ se p -adiska siffror samtidigt .)

Langlands kopplade automorfa L -funktioner till dessa automorfa representationer och antog att varje Artin L -funktion som härrör från en finitdimensionell representation av Galois-gruppen i ett talfält är lika med en som härrör från en automorf kuspidal representation. Detta är känt som hans " ömsesidighetsförmodan ".

Grovt sett ger reciprocitetsförmodan en överensstämmelse mellan automorfa representationer av en reduktiv grupp och homomorfismer från en Langlands-grupp till en L - grupp . Det finns många varianter av detta, delvis på grund av att definitionerna av Langlands-grupp och L -grupp inte är fasta.

Över lokala fält förväntas detta ge en parametrisering av L -paket av tillåtna irreducerbara representationer av en reduktiv grupp över det lokala fältet. Till exempel, över de reella talen, är denna korrespondens Langlands-klassificeringen av representationer av reella reduktiva grupper. Över globala fält bör det ge en parametrisering av automorfa former.

Funktionalitet

Funktionsförmodan säger att en lämplig homomorfism av L -grupper förväntas ge en överensstämmelse mellan automorfa former (i det globala fallet) eller representationer (i det lokala fallet). Grovt sett är Langlands reciprocitetsförmodan det speciella fallet med funktionsförmodan när en av de reduktiva grupperna är trivial.

Generaliserad funktionalitet

Langlands generaliserade idén om funktionalitet: istället för att använda den allmänna linjära gruppen GL( n ), kan andra anslutna reduktiva grupper användas. Vidare, givet en sådan grupp G , konstruerar Langlands Langlands dubbla grupp ^L G , och sedan, för varje automorf kuspidal representation av G och varje finitdimensionell representation av ^L G , definierar han en L -funktion. En av hans gissningar säger att dessa L -funktioner uppfyller en viss funktionekvation som generaliserar de för andra kända L -funktioner.

Han fortsätter sedan med att formulera en mycket allmän "Funktoralitetsprincip". Med tanke på två reduktiva grupper och en (väluppförd) morfism mellan deras motsvarande L -grupper, relaterar denna gissning deras automorfa representationer på ett sätt som är kompatibelt med deras L -funktioner. Denna funktionalitetsgissning antyder alla andra gissningar som presenterats hittills. Det är av karaktären av en inducerad representationskonstruktion - det som i den mer traditionella teorin om automorfa former hade kallats ett ' lyft ', känt i speciella fall, och så är det kovariant (medan en begränsad representation är kontravariant). Försök att specificera en direkt konstruktion har endast gett vissa villkorade resultat.

Alla dessa gissningar kan formuleras för mer allmänna fält i stället för $mathbb {Q} }$ \ : algebraiska talfält (det ursprungliga och viktigaste fallet), lokala fält och funktionsfält (ändliga förlängningar av F _{p (} t ) där p är ett primtal och F _p ( t ) är fältet för rationella funktioner över det finita fältet med p element).

Geometriska gissningar

Huvudartikel: Geometrisk Langlands-korrespondens

Det så kallade geometriska Langlands-programmet, som föreslagits av Gérard Laumon efter Vladimir Drinfelds idéer , härrör från en geometrisk omformulering av det vanliga Langlands-programmet som försöker relatera mer än bara irreducerbara representationer. I enkla fall relaterar den l -adiska representationer av den etale fundamentala gruppen av en algebraisk kurva till objekt av den härledda kategorin av l -adiska skivor på modulstapeln av vektorbuntar över kurvan.

Nuvarande status

Langlands gissningar för GL(1, K ) följer från (och är i huvudsak ekvivalenta med) klassfältteori .

Langlands bevisade Langlands gissningar för grupper över de arkimediska lokala fälten $\mathbb {R}$ (de reella talen ) och $\mathbb {C}$ genom att ge Langlands-klassificeringen av deras irreducerbara representationer.

Lusztigs klassificering av de irreducibla representationerna av grupper av Lie-typ över finita fält kan betraktas som en analog till Langlands antaganden för finita fält.

Andrew Wiles bevis på modularitet av semistabla elliptiska kurvor över rationaler kan ses som ett exempel på Langlands reciprocitetsförmodan, eftersom huvudidén är att relatera Galois-representationerna som härrör från elliptiska kurvor till modulära former. Även om Wiles resultat har generaliserats väsentligt, i många olika riktningar, förblir den fullständiga Langlands gissningen för ${\text{GL}}(2,\mathbb {Q} )$ obevisad.

1998 bevisade Laurent Lafforgue Lafforgues teorem som verifierade Langlands-förmodan för den allmänna linjära gruppen GL( n , K ) för funktionsfält K . Detta arbete fortsatte tidigare undersökningar av Drinfeld, som bevisade fallet GL(2, K ) på 1980-talet.

2018 etablerade Vincent Lafforgue den globala Langlands-korrespondensen (riktningen från automorfa former till Galois-representationer) för anslutna reduktiva grupper över globala funktionsfält.

Lokala Langlands gissningar

Huvudartikel: lokala Langlands-förmodanden

Philip Kutzko ( 1980 ) bevisade de lokala Langlands-förmodningarna för den allmänna linjära gruppen GL(2, K ) över lokala fält.

Gérard Laumon , Michael Rapoport och Ulrich Stuhler ( 1993 ) bevisade de lokala Langlands gissningarna för den allmänna linjära gruppen GL( n , K ) för positiva karakteristiska lokala fält K. Deras bevis använder ett globalt argument.

Michael Harris och Richard Taylor ( 2001 ) bevisade de lokala Langlands-förmodningarna för den allmänna linjära gruppen GL( n , K ) för karakteristiska 0 lokala fält K. Guy Henniart ( 2000 ) gav ytterligare ett bevis. Båda bevisen använder ett globalt argument. Peter Scholze ( 2013 ) gav ytterligare ett bevis.

Grundläggande lemma

Huvudartikel: Fundamental lemma (Langlands program)

2008 bevisade Ngô Bảo Châu det " grundläggande lemmat ", som ursprungligen antogs av Langlands och Shelstad 1983 och som krävs för att bevisa några viktiga gissningar i Langlands-programmet.

Implikationer

För en lekmannaläsare eller till och med icke-specialist matematiker kan abstraktioner inom Langlands-programmet vara något ogenomträngliga. Det finns dock några starka och tydliga implikationer för bevis eller motbevisning av de grundläggande Langlands gissningarna.

Eftersom programmet ger en kraftfull koppling mellan analytisk talteori och generaliseringar av algebraisk geometri , resulterar idén om "funktionalitet" mellan abstrakta algebraiska representationer av talfält och deras analytiska primtalskonstruktioner i kraftfulla funktionella verktyg som tillåter en exakt kvantifiering av primtalsfördelningar . Detta i sin tur ger kapaciteten för klassificering av diofantiska ekvationer och ytterligare abstraktioner av algebraiska funktioner .

Dessutom, om ömsesidigheten hos sådana generaliserade algebror för de placerade objekten existerar, och om deras analytiska funktioner kan visas vara väldefinierade, kan några mycket djupa resultat i matematik vara inom räckhåll för bevis. Exempel inkluderar: rationella lösningar av elliptiska kurvor , topologisk konstruktion av algebraiska varianter och den berömda Riemann-hypotesen . Sådana bevis skulle förväntas använda abstrakta lösningar i objekt av generaliserade analytiska serier , som var och en relaterar till invariansen inom strukturer av talfält.

Dessutom har vissa kopplingar mellan Langlands-programmet och M-teorin framställts, eftersom deras dualiteter ansluter på icke-triviala sätt, vilket ger potentiella exakta lösningar i supersträngteorin (som på liknande sätt gjordes i gruppteorin genom monstruös månsken ).

Enkelt uttryckt innebär Langlands-projektet ett djupt och kraftfullt ramverk av lösningar, som berör de mest grundläggande områdena av matematik, genom generaliseringar av hög ordning i exakta lösningar av algebraiska ekvationer, med analytiska funktioner, inbäddade i geometriska former. Det tillåter en förening av många avlägsna matematiska fält till en formalism av kraftfulla analytiska metoder .

Se även

• Jacquet–Langlands korrespondens
• Erlangen program

Anteckningar

•    Arthur, James (2003), "The Princip of Functoriality", Bulletin of the American Mathematical Society , New Series, 40 (1): 39–53, doi : 10.1090/S0273-0979-02-00963-1 , ISSN 0002- 9904 , MR 1943132
•   Bernstein, J.; Gelbart, S. (2003), An Introduction to the Langlands Program , Boston: Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-3211-2
•    Gelbart, Stephen (1984), "An elementary introduction to the Langlands program", Bulletin of the American Mathematical Society , New Series, 10 (2): 177–219, doi : 10.1090/S0273-0979-1984-15237-6 , ISSN 0002-9904 , MR 0733692
• Frenkel, Edward (2005). "Föreläsningar om Langlands-programmet och konforma fältteori". arXiv : hep-th/0512172 .
•   Gelfand, IM (1963), "Automorphic functions and theory of representations", Proc . Internat. kongr. Matematiker (Stockholm, 1962) , Djursholm: Inst. Mittag-Leffler, s. 74–85, MR 0175997
•    Harris, Michael; Taylor, Richard (2001), Geometrin och kohomologin hos några enkla Shimura-varianter , Annals of Mathematics Studies, vol. 151, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-09090-0 , MR 1876802
•     Henniart, Guy (2000), "Une preuve simple des conjectures de Langlands pour GL( n ) sur un corps p -adique", Inventiones Mathematicae , 139 (2): 439–455, Bibcode : 2000InMat.139..439H , doi : 10.1007/s002220050012 , ISSN 0020-9910 , MR 1738446 , S2CID 120799103
•   Kutzko, Philip (1980), "The Langlands Conjecture for Gl ₂ of a Local Field" , Annals of Mathematics , 112 (2): 381–412, doi : 10.2307/1971151 , JSTOR 1971151
• Langlands, Robert (1967), Brev till prof. Weil
•    Langlands, RP (1970), "Problems in theory of automorphic forms" , Föreläsningar i modern analys och tillämpningar, III , Lecture Notes in Math, vol. 170, Berlin, New York: Springer-Verlag , s. 18–61, doi : 10.1007/BFb0079065 , ISBN 978-3-540-05284-5 , MR 0302614
•     Laumon, G.; Rapoport, M.; Stuhler, U. (1993), " D -elliptic sheaves and the Langlands correspondence", Inventiones Mathematicae , 113 (2): 217–338, Bibcode : 1993InMat.113..217L , doi : 10.1007/BF0124, SN- 90124 , IS , MR 1228127 , S2CID 124557672
•   " The Local Langlands Correspondence for GL( n ) over p -adic fields", Inventiones Mathematicae , 192 (3): 663–715, arXiv : 1010.1540 , Bibcode : 2013InMat.632 . : 10.1007/s00222-012-0420-5 , S2CID 15124490

externa länkar

• Robert Langlands verk