Dualitet Eckmann–Hilton

För argumentet om att vissa monoider måste vara kommutativa, se Eckmann–Hiltons argument .

Inom de matematiska disciplinerna algebraisk topologi och homotopi - teori består Eckmann–Hilton-dualitet i sin mest grundläggande form av att ta ett givet diagram för ett visst begrepp och vända om riktningen för alla pilar, ungefär som i kategoriteorin med idén om motsatsen kategori . En betydligt djupare form hävdar att det faktum att den dubbla föreställningen om en gräns är en kolimit tillåter oss att ändra Eilenberg–Steenrods axiom för homologi till att ge axiom för kohomologi . Den är uppkallad efter Beno Eckmann och Peter Hilton .

Diskussion

Ett exempel ges av currying , som talar om för oss att för alla objekt $X$ , är en karta $X\times I\to Y$ samma som en karta ${ \displaystyle X\to Y^{I}}$ , där $Y^{I}$ är exponentialobjektet , givet av alla kartor från $I$ till $Y$ . I fallet med topologiska utrymmen , om vi tar $I$ för att vara enhetsintervallet, leder detta till en dualitet mellan $X\times I$ och $Y^{I}$ , vilket då ger en dualitet mellan den reducerade upphängningen ${\displaystyle \Sigma X} ,$ som är en kvot på $X\times I$ , och slingutrymmet $\Omega Y$ , som är ett delrum till $Y^{I}$ . Detta leder sedan till adjointrelationen ${\displaystyle \langle \Sigma X,Y\rangle =\langle X,\Omega Y\rangle } ,$ vilket gör det möjligt att studera spektra , som ger upphov till kohomologiteorier .

Vi kan också direkt relatera fibrer och samfibrer : a fibration $p\colon E\to B$ definieras genom att ha egenskapen homotopy lifting , representerad av följande diagram

och en cofibration $i\colon A\to X$ definieras genom att ha den dubbla homotopiförlängningsegenskapen , representerad genom att dualisera föregående diagram:

Ovanstående överväganden gäller också när man tittar på sekvenserna som är associerade med en fibration eller en cofibration, eftersom vi får sekvensen F $\displaystyle F\to E\to B}.$

$\cdots \to \Omega ^{2}B\to \Omega F\to \Omega E\to \Omega B\ till F\till E\till B\,$

och givet en samfibrering $A\to X\to X/A$ får vi sekvensen

$A\to X\to X/A\to \Sigma A\to \Sigma X\to \Sigma \left(X/A\right)\to \Sigma ^{2}A\to \cdots .\ ,$

och mer allmänt, dualiteten mellan de exakta och samexakta Puppe-sekvenserna .

Detta tillåter oss också att relatera homotopi och kohomologi: vi vet att homotopigrupper är homotopiklasser av kartor från n -sfären till vårt utrymme, skrivna $\pi _ {n}(X,p)\cong \langle S^{n},X\rangle$ , och vi vet att sfären har en enda icke-noll (reducerad) kohomologigrupp . Å andra sidan är kohomologigrupper homotopiklasser av kartor till utrymmen med en enda homotopigrupp som inte är noll. Detta ges av Eilenberg–MacLane-rymden $K(G,n)$ och relationen

$H^{n}(X;G)\cong \langle X,K(G,n)\rangle .$

En formalisering av ovanstående informella relationer ges av Fuks dualitet.

Se även

• Modellkategori

•   Hatcher, Allen (2002), Algebraic Topology , Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0 .
• "Eckmann-Hilton dualitet" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]