Standardgissningar om algebraiska cykler

Inom matematiken är de vanliga gissningarna om algebraiska cykler flera gissningar som beskriver förhållandet mellan algebraiska cykler och Weils kohomologiteorier . En av de ursprungliga tillämpningarna av dessa gissningar, som Alexander Grothendieck förutsåg, var att bevisa att hans konstruktion av rena motiv gav en abelsk kategori som är halvenkel . Dessutom, som han påpekade, innebär standardgissningarna också den svåraste delen av Weil-förmodan , nämligen "Riemann-hypotesen" som förblev öppen i slutet av 1960-talet och bevisades senare av Pierre Deligne ; för detaljer om kopplingen mellan Weil och standardförmodanden, se Kleiman (1968) . Standardgissningarna förblir öppna problem, så att deras tillämpning endast ger villkorliga resultatbevis. I en hel del fall, inklusive Weil-förmodningarna, har andra metoder hittats för att bevisa sådana resultat ovillkorligen.

De klassiska formuleringarna av standardföreställningarna involverar en fast Weil kohomologiteori $H$ . Alla gissningar handlar om "algebraiska" kohomologiklasser, vilket betyder en morfism på kohomologin av en jämn projektiv varietet

H * (X) \to H * (X)

inducerad av en algebraisk cykel med rationella koefficienter på produkten $X \times X$ via cykelklasskartan , som är en del av strukturen för en Weil-kohomologiteori.

Förmodan A är ekvivalent med förmodan B (se Grothendieck (1969) , s. 196), och är därför inte listad.

Lefschetz typ Standard förmodan (förmodan B)

Ett av axiomen för en Weil-teori är den så kallade hårda Lefschetz-satsen (eller axiom):

Börja med en fast jämn hyperplansektion

W = H \cap X

,

där $X är en$ $PN given$ jämn projektiv variation i det omgivande projektiva utrymmet och $H$ är ett hyperplan. Sedan för $i \leq n = dim(X)$ , Lefschetz-operatorn

Hi +2, (X) L : Hi_(X)

→

som definieras av korsande kohomologiklasser med $W$ , ger en isomorfism

Ln - - i : Hi_(X) H2n . i__(X)

→

$i \leq n$ definierar nu :

Λ = (L n - i +2) -1 \circ L \circ (L n - i): H i (X) \to H i -2 (X)

Λ = (L n - i) \circ L \circ (L n - i 2 - i +_) -1 : H2n) (- i + 2 (X) \to H2n X

Gissningen säger att Lefschetz-operatorn ( $Λ$ ) induceras av en algebraisk cykel.

Künneth typ Standard Conjecture (Conjecture C)

Det förmodas att projektorerna

H * (X) ↠ H i (X) ↣ H * (X)

är algebraiska, dvs inducerade av en cykel $π i \subset X \times X$ med rationella koefficienter. Detta innebär att motivet för varje mjuk projektiv variant (och mer generellt, varje rent motiv ) sönderfaller som

h(X)=\bigoplus _{i=0}^{2dim(X)}h^{i}(X).

Motiven $h^{0}(X)$ och $h^{2dim(X)}$ kan alltid delas av som direkta summeringar. Gissningen gäller därför omedelbart för kurvor. Det bevisades för ytor av Murre (1990) . Katz & Messing (1974) har använt Weils gissningar för att visa gissningarna för algebraiska varianter definierade över finita fält, i godtycklig dimension.

Šermenev (1974) bevisade Künneth-nedbrytningen för abeliska sorter A . Deninger & Murre (1991) förfinade detta resultat genom att uppvisa en funktionell Künneth-nedbrytning av Chow-motivet för A så att n -multiplikationen på den abelska varieteten fungerar som $n^{i}$ på den i -:e summan $h^{i}(A)$ . de Cataldo & Migliorini (2002) bevisade Künneth-sönderdelningen för Hilbert-schemat av punkter i en slät yta.

Gissning D (numerisk ekvivalens vs. homologisk ekvivalens)

Förmodan D anger att numerisk och homologisk ekvivalens överensstämmer. (Det innebär i synnerhet att det senare inte beror på valet av Weil-kohomologiteorin). Denna gissning antyder Lefschetz gissning. Om Hodge-standardförmodan håller, så är Lefschetz-förmodan och förmodan D likvärdiga.

Denna gissning visades av Lieberman för sorter med dimensionen högst 4, och för abelska sorter .

Hodge standardförmodan

Hodges standardförmodan är modellerad på Hodges indexsats . Den anger definititeten (positiv eller negativ, beroende på dimensionen) av kopparproduktparningen på primitiva algebraiska kohomologiklasser. Om det håller, så innebär Lefschetz-förmodan förmodan D. I karakteristisk noll gäller Hodge-standardförmodan, vilket är en konsekvens av Hodge-teorin . I positiv egenskap är Hodge-standardförmodan känd för ytor ( Grothendieck (1958) ) och för abelska varianter av dimension 4 ( Ancona (2020) ).

Hodge-standardförmodan ska inte förväxlas med Hodge-förmodan som säger att för jämna projektiva varianter över $C är$ varje rationell $(p, p)$ -klass algebraisk. Hodge-förmodan antyder Lefschetz- och Künneth-förmodan och gissningar D för sorter över fält med karakteristisk noll. Tate -förmodan antyder Lefschetz, Künneth och gissning D för ℓ-adisk kohomologi över alla områden.

Permanensegenskaper hos standardförmodningarna

För två algebraiska varianter X och Y har Arapura (2006) infört ett villkor att Y motiveras av X . Den exakta förutsättningen är att motivet för Y är (i Andrés kategori av motiv) uttryckbart med utgångspunkt från motivet X med hjälp av summor, summeringar och produkter. Till exempel Y motiverad om det finns en surjektiv morfism $X^{n}\to Y$ . Om Y inte återfinns i kategorin är det omotiverat i det sammanhanget. För jämna projektiva komplexa algebraiska varianter X och Y , så att Y motiveras av X , gäller standardförmodningarna D (homologisk ekvivalens är lika med numerisk), B (Lefschetz), Hodge-förmodan och även den generaliserade Hodge-förmodan för Y om de gäller för Y. alla potenser av X. Detta faktum kan tillämpas för att visa, till exempel, Lefschetz-förmodan för Hilbert-schemat med punkter på en algebraisk yta .

Relation till andra gissningar

Beilinson (2012) har visat att den (konjekturiska) existensen av den så kallade motiviska t-strukturen på den triangulerade kategorin av motiv implicerar Lefschetz och Künneths standardförmodanden B och C.

Ancona, Giuseppe (2020), "Standardförmodningar för abeliska fyrfaldiga", Invent. Matematik. , arXiv : 1806.03216 , doi : 10.1007/s00222-020-00990-7 , S2CID 119579196

Arapura, Donu (2006), "Motivation for Hodge cycles", (7 – 2 , 2 x Mathematics): 7 – 2 x : matematik / 0501348 , doi : 10.1016/j.aim.2006.01.005 , MR 2271985 , S2CID 13897239

Beilinson, A. (2012), "Remarks on Grothendieck's standard conjectures, Contemp Regulators", Contemp Regulators Math., vol. 571, Amer. Matematik. Soc., Providence, RI, s. 25–32, arXiv : 1006.1116 , doi : 10.1090/conm/571/11319 , ISBN 9780821853221 , MR 2953406 , MR 2953406 , Mark Andrea S2CID 71

, Mark Andreal de 71, A. ; Migliorini, Luca (2002), "The Chow groups and the motive of the Hilbert scheme of points on a surface", Journal of Algebra , 251 (2): 824–848, arXiv : math/0005249 , doi : 10.1006/jabr. 2001.9105 , MR 1919155 , S2CID 16431761

Deninger, Christopher; Murre, Jacob (1991), "Motivisk decomposition of abelian schemes and the Fourier transform", J. Reine Angew. Matematik. , 422 : 201–219, MR 1133323

Grothendieck, A. (1969), "Standard Conjectures on Algebraic Cycles", Algebraic Geometry (Internat. Colloq., Tata Inst. Fund. Res., Bombay, 1968) ( PDF) (PDF ) University Press, s. 193–199, MR 0268189 .

Grothendieck, A. (1958), "Sur une note de Mattuck-Tate", J. Reine Angew. Matematik. , 1958 (200): 208–215, doi : 10.1515/crll.1958.200.208 , MR 0136607 , S2CID 115548848

Katz, Nicholas M .; Messing, William (1974) , "Några konsekvenser av Riemann-hypotesen för varieteter över ändliga fält", Inventiones Mathematicae , 23 : 73–77, Bibcode : 1974InMat..23...73K , doi : 10.1007/BF0144, 725, 32501, 1974 . S2CID 121989640
Kleiman, Steven L. (1968), "Algebraic cycles and the Weil conjectures", Dix exposés sur la cohomologie des schémas , Amsterdam: North-Holland, s. 359–386, MR 0292838 .

Murre, JP (1990), "On the motive of an algebraic surface", J. Reine Angew. Matematik. , 1990 (409): 190–204, doi : 10.1515/crll.1990.409.190 , MR 1061525 , S2CID 117483201

Kleiman, Steven L. (1994), "The standard conjectures, 1994 , "The standard conjectures , 9 of Symposia in Pure Mathematics, vol. 55, American Mathematical Society, s. 3–20, MR 1265519 .

Šermenev, AM (1974), "Motif of an Abelian sort", Funckcional. Anal. I Priložen , 8 (1): 55–61, MR 0335523

externa länkar

Framsteg på standardförmodan om algebraiska cykler
Analoger Kähleriens de certaines conjectures de Weil. J.-P Serre (extrait d'une lettre a A. Weil, 9 nov. 1959) skanning