Serre-Svanens sats

Inom de matematiska områdena topologi och K-teori relaterar Serre -Svan-satsen , även kallad Swans sats , den geometriska föreställningen om vektorbuntar till det algebraiska konceptet projektiva moduler och ger upphov till en gemensam intuition genom hela matematiken : "projektiva moduler över kommutativa ringar är som vektorbuntar på kompakta utrymmen".

De två exakta formuleringarna av satserna skiljer sig något åt. Den ursprungliga satsen, som påstods av Jean-Pierre Serre 1955, är mer algebraisk till sin natur och gäller vektorbuntar på en algebraisk variant över ett algebraiskt slutet fält (av vilken egenskap som helst ). Den kompletterande varianten som Richard Swan angav 1962 är mer analytisk och handlar om (verkliga, komplexa eller kvartjoniska) vektorbuntar på ett jämnt grenrör eller Hausdorff-utrymme .

Differentialgeometri

Antag att M är ett jämnt grenrör (inte nödvändigtvis kompakt), och E är ett jämnt vektorknippe över M . Då Γ(E) , utrymmet för jämna sektioner av E , en modul över C ^∞ ( M ) (den kommutativa algebra för jämna verkliga funktioner på M ). Swans teorem säger att denna modul är ändligt genererad och projektiv över C ^∞ ( M ). Med andra ord, varje vektorbunt är en direkt summa av någon trivial bunt: $M\times \mathbb {R} ^{k}$ för några k . Satsen kan bevisas genom att konstruera en knippe-epimorfism från en trivialbunt $M\times \mathbb {R} ^{k}\to E.$ Detta kan göras genom att till exempel visa sektioner s ₁ ... s _k med egenskapen att för varje punkt p , { s _i ( p )} spänner fibern över p .

När M är ansluten är det omvända också sant: varje ändligt genererad projektiv modul över C ^∞ ( M ) uppstår på detta sätt från någon jämn vektorbunt på M . En sådan modul kan ses som en jämn funktion f på M med värden i de n × n idempotenta matriserna för några n . Fibern i motsvarande vektorbunt över x är då området f ( x ). Om M inte är ansluten, gäller inte det omvända om man inte tillåter vektorbuntar av icke-konstant rang (vilket innebär att man tillåter grenrör av icke-konstant dimension). Till exempel, om M är ett nolldimensionellt 2-punkts grenrör, är modulen $\mathbb {R} \oplus 0$ ändligt genererad och projektiv över $C^{\infty }(M)\cong \mathbb {R} \times \mathbb {R}$ men är inte fri , och kan därför inte motsvara sektionerna av någon (konstant rang) vektorbunt över M (alla av som är triviala).

Ett annat sätt att ange ovanstående är att för varje anslutet jämnt grenrör M , är sektionsfunktionen Γ från kategorin jämna vektorbuntar över M till kategorin ändligt genererade, projektiva C ^∞ ( M )-moduler full , trogen och väsentligen surjektiv . Därför är kategorin släta vektorbuntar på M ekvivalent med kategorin ändligt genererade, projektiva C ^∞ ( M )-moduler. Detaljer kan hittas i ( Nestruev 2003 ).

Topologi

Antag att X är ett kompakt Hausdorff-utrymme och C( X ) är ringen av kontinuerliga verkliga funktioner på X . Analogt med resultatet ovan är kategorin av reella vektorbuntar på X ekvivalent med kategorin ändligt genererade projektiva moduler över C( X ). Samma resultat gäller om man ersätter "real-valued" med "complex-valued" och "real-vektorbunt" med "komplex vektorbunt", men det gäller inte om man ersätter fältet med ett totalt frånkopplat fält som de rationella talen .

I detalj, låt Vec( X ) vara kategorin av komplexa vektorbuntar över X , och låt ProjMod(C( X )) vara kategorin för ändligt genererade projektiva moduler över C*-algebra C( X ). Det finns en funktion Γ : Vec( X ) → ProjMod(C( X )) som skickar varje komplex vektorbunt E över X till C( X )-modulen Γ( X , E ) av sektioner . Om $\tau :(E_{1},\pi _{1})\till (E_{2},\pi _{2 })$ är en morfism av vektorbuntar över X då $\pi _{2}\circ \tau =\pi _{1}$ och det följer att

\forall s\in \Gamma (X,E_{1})\quad \pi _{2 }\circ \tau \circ s=\pi _{1}\circ s={\text{id}}_{X},

ger kartan

{\begin{cases}\Gamma \tau :\Gamma (X,E_{1})\to \Gamma (X,E_{2})\\s\mapsto \tau \circ s\end{fall}}

som respekterar modulstrukturen (Várilly, 97) . Swans teorem hävdar att funktorn Γ är en ekvivalens av kategorier .

Algebraisk geometri

Det analoga resultatet i algebraisk geometri , på grund av Serre (1955 , §50) gäller vektorbuntar i kategorin affina varieteter . Låt X vara en affin variant med strukturkärve ${\mathcal {O}}_{X},$ och ${\mathcal {F}}$ en koherent bunt av ${\mathcal {O}}_{X}$ -moduler på X . Då ${\mathcal {F}}$ bunten av bakterier i en ändlig dimensionell vektorbunt om och endast om $\Gamma ({\mathcal {F}}, X),$ utrymmet för sektioner av ${\mathcal {F}},$ är en projektiv modul över den kommutativa ringen $A=\Gamma ({\mathcal {O}}_{X},X).$

Karoubi, Max (1978), K-teori: en introduktion , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-08090-1
Manoharan, Palanivel (1995), "Generalized Swan's Theorem and its Application", Proceedings of the American Mathematical Society , 123 (10): 3219–3223, doi : 10.2307/2160685 , JSTOR 2160685 , JSTOR 21680685 .
Serre, Jean-Pierre (1955), "Faisceaux algébriques cohérents", Annals of Mathematics , 61 (2): 197–278, doi : 10.2307/1969915 , JSTOR 1969915 , MR 0068874 .
Swan, Richard G. (1962), "Vector Bundles and Projective Modules", Transactions of the American Mathematical Society , 105 (2): 264–277, doi : 10.2307/1993627 , JSTOR 1993627 .
Nestruev, Jet (2003), Smooth manifolds and observables , Graduate texts in mathematics, vol. 220, Springer-Verlag, ISBN 0-387-95543-7
Giachetta, G.; Mangiarotti, L.; Sardanashvily, Gennadi (2005), Geometric and Algebraic Topological Methods in Quantum Mechanics , World Scientific, ISBN 981-256-129-3 .

Den här artikeln innehåller material från Serre-Swan-satsen på PlanetMath , som är licensierad under licensen Creative Commons Attribution/Dela Lika .