Profunctor

Inom kategoriteorin , en gren av matematiken , är profunctors en generalisering av relationer och även av bimoduler .

Definition

En profunctor (även kallad distributör av den franska skolan och modul av Sydney-skolan) $\,\phi$ från en kategori $C$ till en kategori $D$ , skriven

$\phi \colon C\nhögerpil D$ ,

definieras som en funktionär

$\phi \colon D^{\mathrm {op} }\times C\to \mathbf {Set}$

där $D^{\mathrm {op} }$ betecknar den motsatta kategorin av $D$ och $\mathbf {Set}$ anger kategorin av mängder . Givet morfismer $f\colon d\to d',g\colon c\to c'$ respektive i $D,C$ och en element $x\in \phi (d',c)$ , vi skriver ${ \displaystyle xf\in \phi (d,c),gx\in \phi (d',c')}$ för att beteckna åtgärderna.

Genom att använda den kartesiska stängningen av ${\displaystyle \mathbf {Cat} } ,$ kategorin av små kategorier , kan profunctorn $\phi$ ses som en funktion

${\hat {\phi }}\colon C\to {\hat {D}}$

där ${\hat {D}}$ betecknar kategorin $\mathrm {Set} ^{D^{\mathrm {op} }}$ av preheaves över ${\ displaystil D}$ .

En korrespondens från $C$ till $D$ är en profunctor $D\nhögerpil C$ .

Profunctors som kategorier

En ekvivalent definition av en profunctor $\phi \colon C\nrightarrow D$ är en kategori vars objekt är den disjunkta föreningen av objekten i $C$ och objekten i $D$ , och vars morfismer är morfismerna av $C$ och morfismerna av $D$ , plus noll eller fler ytterligare morfismer från objekt av $D$ till objekt av $C$ . Mängderna i den formella definitionen ovan är hom-uppsättningarna mellan objekt av $D$ och objekt av $C$ . (Dessa är också kända som het-set, eftersom motsvarande morfismer kan kallas heteromorfismer .) Den tidigare definitionen kan återställas genom begränsningen av hom-funktorn $\phi ^{\ text{op}}\times \phi \to \mathbf {Set}$ to $D^{\text{op}}\times C$ .

Detta gör det också klart att en profunctor kan ses som en relation mellan objekten i $C$ och objekten i $D$ , där varje medlem av relationen är associerad med en uppsättning morfismer. En funktor är ett specialfall av en profunctor på samma sätt som en funktion är ett specialfall av en relation.

Sammansättning av profunctors

Den sammansatta $\psi \phi$ av två propunktorer

$\phi \colon C\nhögerpil D$ och $\psi \colon D\nhögerpil E$

ges av

$\psi \phi =\mathrm {Lan} _{Y_{D}}({\hat {\psi }})\circ {\hat {\phi }}$

där $\mathrm {Lan} _{Y_{D}}({\hat {\psi }})$ är den vänstra Kan-förlängningen av funktorn ${ \hat {\psi }}$ längs Yoneda-funktionen $Y_{D}\colon D\to {\hat {D}}$ av $D$ (som till varje objekt $d$ av $D$ associerar funktorn $D(-,d)\colon D^{\mathrm {op} }\to \mathrm {Set}$ ).

Det kan man visa

$(\psi \phi )(e,c)=\left(\ coprod _{d\in D}\psi (e,d)\times \phi (d,c)\right){\Bigg /}\sim$

där $\sim$ är den minsta ekvivalensrelationen så att $(y',x')\sim (y,x)$ när det finns en morfism $v$ i $D$ så att

$y'=vy\in \psi (e,d')$ och $x'v =x\in \phi (d,c)$ .

På motsvarande sätt kan profunctorkomposition skrivas med hjälp av en coend

$(\psi \phi )(e,c)=\int ^{d\colon D }\psi (e,d)\ gånger \phi (d,c)$

Bikategorin av profunctors

Sammansättningen av propunktorer är associativ endast upp till isomorfism (eftersom produkten inte är strikt associativ i Set ). Det bästa man kan hoppas är därför att bygga en tvåkategori Prof vars

• 0-celler är små kategorier ,
• 1-celler mellan två små kategorier är propunktorerna mellan dessa kategorier,
• 2-celler mellan två profunctors är de naturliga transformationerna mellan dessa profunctors.

Egenskaper

Lyfta funktorer till profunktorer

En funktion $F\colon C\to D$ kan ses som en profunctor $\phi _{F}\colon C\nrightarrow D$ genom att efterkomponera med Yoneda-funktionär:

$\phi _{F}=Y_{D}\circ F$ .

Det kan visas att en sådan profunctor $\phi _{F}$ har en högeradjoint. Dessutom är detta en karakterisering: en profunctor $\phi \colon C\nrightarrow D$ har en högeradjoint om och endast om ${\hat {\phi }}\colon C\to {\hat {D}}$ faktorer genom Cauchy-kompletteringen av $D$ , dvs det finns en funktion $F\colon C\to D$ såsom att ${\hat {\phi }}=Y_{D}\circ F$ .

• Bénabou, Jean (2000). "Distributörer på jobbet" (PDF) . {{ citera journal }} : Citera journal kräver |journal= ( hjälp )
• Borceux, Francis (1994). Handbok i kategorisk algebra . KOPP.
• Lurie, Jacob (2009). Högre Toposteori . Princeton University Press.
• Profuntor vid n Lab
• Heteromorfism vid n Lab