Topologisk kvantfältteori

I mätteori och matematisk fysik är en topologisk kvantfältteori (eller topologisk fältteori eller TQFT ) en kvantfältteori som beräknar topologiska invarianter .

Även om TQFTs uppfanns av fysiker, är de också av matematiskt intresse, eftersom de bland annat är relaterade till knutteorin och teorin om fyra grenrör i algebraisk topologi och till teorin om modulrum i algebraisk geometri . Donaldson , Jones , Witten och Kontsevich har alla vunnit Fields-medaljer för matematiskt arbete relaterat till topologisk fältteori.

Inom kondenserad materiens fysik är topologiska kvantfältteorier de lågenergieffektiva teorierna för topologiskt ordnade tillstånd, såsom fraktionerad kvant Hall- tillstånd, strängnätkondenserade tillstånd och andra starkt korrelerade kvantvätsketillstånd .

Översikt

I en topologisk fältteori beror korrelationsfunktioner inte på måtten för rumtid . Detta innebär att teorin inte är känslig för förändringar i form av rumtid; om rumtiden förvrängs eller dras ihop ändras inte korrelationsfunktionerna. Följaktligen är de topologiska invarianter.

Topologiska fältteorier är inte särskilt intressanta på platt Minkowski-rumtid som används i partikelfysik. Minkowski-rymden kan dras samman till en punkt , så en TQFT applicerad på Minkowski-rymden resulterar i triviala topologiska invarianter. Följaktligen appliceras TQFT vanligtvis på krökta rumstider, såsom till exempel Riemann-ytor . De flesta av de kända topologiska fältteorierna är definierade på rumstider med dimensioner mindre än fem. Det verkar som om det finns några högredimensionella teorier, men de är inte särskilt väl förstådda [ ^{citat behövs ]} .

Kvantgravitationen tros vara bakgrundsoberoende (i någon lämplig mening), och TQFT ger exempel på bakgrundsoberoende kvantfältteorier. Detta har föranlett pågående teoretiska undersökningar av denna klass av modeller.

(Varning: Det sägs ofta att TQFT endast har ändligt många frihetsgrader. Detta är inte en grundläggande egenskap. Det råkar vara sant i de flesta av de exempel som fysiker och matematiker studerar, men det är inte nödvändigt. En topologisk sigmamodell riktar in sig på oändligt dimensionellt projektivt utrymme, och om något sådant kunde definieras skulle det ha oräkneligt oändligt många frihetsgrader.)

Specifika modeller

De kända topologiska fältteorierna delas in i två allmänna klasser: TQFT av Schwarz-typ och TQFT-typ av Witten. Witten TQFTs kallas också ibland för kohomologiska fältteorier. Se ( Schwarz 2000 ).

TQFTs av Schwarz-typ

I TQFTs av Schwarz-typ beräknas systemets korrelationsfunktioner eller partitionsfunktioner av vägintegralen av metriskt oberoende åtgärdsfunktioner . Till exempel, i BF-modellen är rumtiden en tvådimensionell mångfald M, de observerbara objekten är konstruerade från en tvåformig F, en hjälpskalär B och deras derivator. Handlingen (som bestämmer vägintegralen) är

S=\int \limits _{M}BF

Rumtidsmåttet förekommer inte någonstans i teorin, så teorin är explicit topologiskt invariant. Det första exemplet dök upp 1977 och beror på A. Schwarz ; dess funktionsfunktion är:

S=\int \limits _{M}A\wedge dA.

Ett annat mer känt exempel är Chern-Simons teori , som kan tillämpas på knutinvarianter . I allmänhet beror partitionsfunktioner på ett mått, men exemplen ovan är måttoberoende.

TQFTs av Witten-typ

Det första exemplet på TQFT av Witten-typ dök upp i Wittens artikel 1988 ( Witten 1988a ), dvs topologisk Yang–Mills teori i fyra dimensioner. Även om dess funktionsfunktion innehåller rumtidsmåttet g _αβ , visar det sig efter en topologisk vridning vara metriskt oberoende. Oberoendet av systemets spänningsenergitensor T ^{αβ från metriken beror på om} BRST-operatören är stängd. Efter Wittens exempel kan många andra exempel hittas inom strängteorin .

TQFT av Witten-typ uppstår om följande villkor är uppfyllda:

Åtgärden $S$ för TQFT har en symmetri, dvs om $\delta$ anger en symmetritransformation (t.ex. en Lie-derivata ) så gäller ${\displaystyle \delta S=0} .$
Symmetritransformationen är exakt , dvs $\delta ^{2}=0$
Det finns befintliga observerbara $O_{1},\dots ,O_{n}$ som uppfyller $\delta O_{i}=0$ för alla $i\in \{1,\dots ,n\}$ .
Spänningsenergi-tensorn (eller liknande fysiska storheter) är av formen $T^{\alpha \beta }=\delta G^{\alpha \beta }$ för en godtycklig tensor $G^{\alpha \beta }$ .

Som ett exempel ( Linker 2015 ): Givet ett 2-formsfält $B$ med differentialoperatorn $\delta$ som uppfyller $\delta ^{2}=0$ , då åtgärden $S=\int \limits _{M}B\wedge \delta B$ har en symmetri om $\delta B\wedge \delta B=0$ sedan

\delta S=\int \limits _{M}\delta (B\wedge \delta B)=\int \limits _{M}\delta B\wedge \delta B+\int \limits _{M}B\wedge \delta ^{2}B=0

.

Vidare gäller följande (under förutsättning att $\delta$ är oberoende av $B$ och fungerar på samma sätt som en funktionell derivata ):

{\frac {\delta }{\delta B^{\alpha \beta }}}S=\int \limits _{M }{\frac {\delta }{\delta B^{\alpha \beta }}}B\kil \delta B+\int \limits _{M}B\kil \delta {\frac {\delta }{\delta B^{\alpha \beta }}}B=\int \limits _{M}{\frac {\delta }{\delta B^{\alpha \beta }}}B\kil \delta B-\int \ limits _{M}\delta B\wedge {\frac {\delta }{\delta B^{\alpha \beta }}}B=-2\int \limits _{M}\delta B\wedge {\frac {\delta }{\delta B^{\alpha \beta }}}B

.

Uttrycket ${\frac {\delta }{\delta B^{\alpha \beta }}}S$ är proportionellt mot $\delta G$ med en annan 2-form $G$ .

Nu alla medelvärden av observerbara $\left\langle O_{i}\right\rangle :=\int d\mu O_{i}e^{iS}$ för motsvarande Haar-mått $\mu$ är oberoende av det "geometriska" fältet $B$ och är därför topologiska:

{ \frac {\delta }{\delta B}}\left\langle O_{i}\right\rangle =\int d\mu O_{i}i{\frac {\delta }{\delta B}}Se^ {iS}\propto \int d\mu O_{i}\delta Ge^{iS}=\delta \left(\int d\mu O_{i}Ge^{iS}\right)=0

.

Den tredje likheten använder det faktum att $\delta O_{i}=\delta S=0$ och invariansen för Haar-måttet under symmetritransformationer. Eftersom $\int d\mu O_{i}Ge^{iS}$ bara är ett tal, försvinner dess Lie-derivata.

Matematiska formuleringar

De ursprungliga Atiyah-Segal axiomen

Atiyah föreslog en uppsättning axiom för topologisk kvantfältteori, inspirerad av Segals föreslagna axiom för konform fältteori (sedan sammanfattades Segals idé i Segal (2001) ), och Wittens geometriska betydelse av supersymmetri i Witten (1982) . Atiyahs axiom är konstruerade genom att limma gränsen med en differentierbar (topologisk eller kontinuerlig) transformation, medan Segals axiom är för konforma transformationer. Dessa axiom har varit relativt användbara för matematiska behandlingar av QFTs av Schwarz-typ, även om det inte är klart att de fångar hela strukturen hos QFTs av Witten-typ. Grundtanken är att en TQFT är en funktion från en viss kategori av kobordismer till kategorin vektorrum .

Det finns faktiskt två olika uppsättningar av axiom som rimligen skulle kunna kallas Atiyah-axiomen. Dessa axiom skiljer sig i grunden i huruvida de gäller för en TQFT definierad på en enda fix n -dimensionell Riemann/Lorentzisk rumtid M eller en TQFT definierad på alla n -dimensionella rumtider på en gång.

Låt Λ vara en kommutativ ring med 1 (för nästan alla verkliga ändamål kommer vi att ha Λ = Z , R eller C ). Atiyah föreslog ursprungligen axiomen för en topologisk kvantfältteori (TQFT) i dimension d definierad över en jordring Λ enligt följande:

En ändligt genererad Λ-modul Z (Σ) associerad med varje orienterad sluten slät d-dimensionell grenrör Σ (motsvarande homotopiaxiomet ) ,
Ett element Z ( M ) ∈ Z (∂ M ) associerat med varje orienterad jämn ( d + 1)-dimensionell grenrör (med gräns) M (motsvarande ett additivt axiom).

Dessa data är föremål för följande axiom (4 och 5 lades till av Atiyah):

Z är funktionell med avseende på orientering som bevarar diffeomorfismer av Σ och M ,
Z är ofrivillig , dvs Z (Σ*) = Z (Σ)* där Σ* är Σ med motsatt orientering och Z (Σ)* betecknar den dubbla modulen,
Z är multiplikativ .
Z ( $\emptyset$ ) = Λ för det d-dimensionella tomma grenröret och Z ( $\emptyset$ ) = 1 för det ( d + 1)-dimensionella tomma grenröret.
Z ( M* ) = Z ( M ) (det hermitiska axiomet). Om $\partial M=\Sigma _{0}^{*}\cup \Sigma _{1}$ så att Z ( M ) kan ses som en linjär transformation mellan hermitian vektorrum, då är detta ekvivalent med att Z ( M* ) är adjointen till Z ( M ).

Anmärkning. Om vi för ett slutet grenrör M ser Z ( M ) som en numerisk invariant, så för ett grenrör med en gräns bör vi tänka på Z ( M ) ∈ Z (∂ M ) som en "relativ" invariant. Låt f : Σ → Σ vara en orienteringsbevarande diffeomorfism, och identifiera motsatta ändar av Σ × I med f . Detta ger en mångfaldig Σ _f och våra axiom antyder

Z(\Sigma _{f})=\operatörsnamn {Spår} \ \Sigma (f)

där Σ( f ) är den inducerade automorfismen av Z (Σ).

Anmärkning. För ett grenrör M med gräns Σ kan vi alltid bilda det dubbla $M\cup _{\Sigma }M^{*}$ som är ett slutet grenrör. Det femte axiomet visar det

Z\left(M\cup _{\Sigma}M^{*}\right)=|Z(M)|^{2}

där vi till höger beräknar normen i det hermitiska (eventuellt obestämda) måttet.

Relationen till fysiken

Fysiskt är (2) + (4) relaterade till relativistisk invarians medan (3) + (5) är indikativa för teorins kvantnatur.

₀ Σ är tänkt att indikera det fysiska rummet (vanligtvis d = 3 för standardfysik) och den extra dimensionen i Σ × I är "imaginär" tid. Rummet Z (Σ) är kvantteorins Hilbert-rum och en fysikalisk teori, med ett Hamiltonskt H , kommer att ha en tidsevolutionsoperator e ^itH eller en "imaginär tid"-operator e ^−tH . Huvuddragen hos topologiska QFT:er är att H = 0, vilket innebär att det inte finns någon verklig dynamik eller utbredning, längs cylindern Σ × I . Det kan dock förekomma icke-trivial "utbredning" (eller tunneleringsamplituder) från Σ till Σ ₁ genom ett mellanliggande grenrör M med $\partial M=\Sigma _{0}^{ *}\cup \Sigma _{1}$ ; detta återspeglar topologin för M .

Om ∂ M = Σ, så anses den distinguerade vektorn Z ( M ) i Hilbert-utrymmet Z (Σ) vara vakuumtillståndet definierat av M . För ett slutet grenrör M är talet Z ( M ) det förväntade vakuumvärdet . I analogi med statistisk mekanik kallas det också för partitionsfunktionen .

Anledningen till att en teori med en noll Hamiltonian kan formuleras förnuftigt ligger i Feynmans vägintegral syn på QFT. Detta inkluderar relativistisk invarians (vilket gäller generella ( d + 1)-dimensionella "rumtider") och teorin definieras formellt av en lämplig Lagrangian - en funktion av teorins klassiska fält. En Lagrangian som endast involverar förstaderivator i tid leder formellt till en Hamiltonian på noll, men Lagrangian själv kan ha icke-triviala egenskaper som relaterar till topologin för M .

Atiyahs exempel

År 1988 publicerade M. Atiyah en artikel där han beskrev många nya exempel på topologisk kvantfältteori som övervägdes vid den tiden ( Atiyah 1988a ) ( Atiyah 1988b ). Den innehåller några nya topologiska invarianter tillsammans med några nya idéer: Casson invariant , Donaldson invariant , Gromovs teori , Floer homologi och Jones–Witten teori .

d = 0

I detta fall består Σ av ändligt många punkter. Till en enda punkt associerar vi ett vektorrum V = Z (punkt) och till n -punkter den n -faldiga tensorprodukten: V ^{⊗ n} = V ⊗ … ⊗ V . Den symmetriska gruppen S _n verkar på V ^{⊗ n} . Ett vanligt sätt att få fram kvant-Hilbert-rymden är att börja med ett klassiskt symplektiskt grenrör (eller fasutrymme ) och sedan kvantisera det. Låt oss utöka S _n till en kompakt Lie-grupp G och överväga "integrerbara" banor för vilka den symboliska strukturen kommer från en linjebunt , då leder kvantisering till de irreducerbara representationerna V av G . Detta är den fysiska tolkningen av Borel-Weil-satsen eller Borel-Weil-Bott-satsen . Lagrangian av dessa teorier är den klassiska handlingen ( holonomy of the line bundle). Sålunda relaterar topologiska QFT:er med d = 0 naturligt till den klassiska representationsteorin för Lie-grupper och symmetrigruppen .

d = 1

Vi bör överväga periodiska gränsvillkor som ges av slutna slingor i ett kompakt symplektiskt grenrör X . Tillsammans med Witten (1982) används holonomi sådana loopar som används i fallet med d = 0 som en Lagrangian för att modifiera Hamiltonian. För en sluten yta M är teorins invarianta Z ( M ) antalet pseudo-holomorfa kartor f : M → X i betydelsen Gromov (de är vanliga holomorfa kartor om X är en Kähler-manifold ). Om detta nummer blir oändligt, dvs om det finns "moduli", måste vi fixa ytterligare data på M . Detta kan göras genom att välja några punkter Pi _begränsad och sedan titta på holomorfa kartor f : M → X med f ( Pi ) _. till att ligga på ett fast hyperplan Witten (1988b) har skrivit ner relevant Lagrangian för denna teori. Floer har gett en rigorös behandling, dvs Floer homology , baserad på Wittens morse teorier ; för fallet när gränsvillkoren är över intervallet istället för att vara periodiska, ligger banans initiala och ändpunkter på två fasta lagrangiska undergrenrör . Denna teori har utvecklats som Gromov-Witten invariant teori.

Ett annat exempel är Holomorphic Conformal Field Theory . Detta kanske inte ansågs vara strikt topologisk kvantfältteori vid den tiden eftersom Hilbert-utrymmen är oändligt dimensionella. De konforma fältteorierna är också relaterade till den kompakta Lie-gruppen G där den klassiska fasen består av en central förlängning av loopgruppen (LG) . Att kvantisera dessa producerar Hilbert-utrymmena i teorin om irreducerbara (projektiva) representationer av LG . Gruppen Diff ₊ ( S ¹ ) ersätter nu den symmetriska gruppen och spelar en viktig roll. Som ett resultat beror partitionsfunktionen i sådana teorier på komplex struktur , så den är inte rent topologisk.

d = 2

Jones–Witten-teorin är den viktigaste teorin i detta fall. Här är det klassiska fasutrymmet, associerat med en sluten yta Σ, modulutrymmet för ett platt G -knippe över Σ. Lagrangian är en heltalsmultipel av Chern-Simons-funktionen för en G -koppling på ett 3-grenrör (som måste "ramas in"). Heltalsmultipeln k , kallad nivån, är en parameter i teorin och k → ∞ ger den klassiska gränsen. Denna teori kan naturligt kopplas till d = 0 för att producera en "relativ" teori. Detaljerna har beskrivits av Witten som visar att partitionsfunktionen för en (inramad) länk i 3-sfären bara är värdet av Jones-polynomet för en lämplig enhetsrot. Teorin kan definieras över det relevanta cyklotomiska fältet , se Atiyah (1988) . Genom att betrakta en Riemann-yta med gräns kan vi koppla den till den konforma teorin d = 1 istället för att koppla d = 2-teorin till d = 0. Detta har utvecklats till Jones–Witten-teori och har lett till upptäckten av djupa samband mellan knuten teori och kvantfältteori.

d = 3

Donaldson har definierat heltalsinvarianten för släta 4-grenrör genom att använda modulrum för SU(2)-instantoner. Dessa invarianter är polynom på den andra homologin. Sålunda bör 4-grenrör ha extra data som består av den symmetriska algebra av H ₂ . Witten (1988a) har producerat en supersymmetrisk Lagrangian som formellt återger Donaldson-teorin. Wittens formel kan förstås som en oändlig dimensionell analog till Gauss-Bonnet-satsen . Vid ett senare tillfälle utvecklades denna teori vidare och blev Seiberg–Witten gauge teorin som reducerar SU(2) till U(1) i N = 2, d = 4 gauge teorin. Den Hamiltonska versionen av teorin har utvecklats av Floer när det gäller utrymmet för anslutningar på en 3-grenrör. Floer använder Chern-Simons-funktionen , som är Lagrangian of Jones-Witten-teorin för att modifiera Hamiltonian. För detaljer, se Atiyah (1988) . Witten (1988a) har också visat hur man kan koppla ihop teorierna d = 3 och d = 1: detta är ganska analogt med kopplingen mellan d = 2 och d = 0 i Jones–Witten-teorin.

Nu ses topologisk fältteori som en funktion , inte på en fast dimension utan på alla dimensioner samtidigt.

Fallet med en fast rumstid

Låt Bord _M vara kategorin vars morfismer är n -dimensionella undergrenar av M och vars objekt är sammankopplade komponenter i gränserna för sådana undergrenar. Betrakta två morfismer som ekvivalenta om de är homotopa via submanifolder av M , och så bildar kvotkategorin hBord _M : Objekten i hBord _M är objekten av Bord _M , och morfismerna av hBord _M är homotopiekvivalensklasser av morfismer i Bord _M . En TQFT på M är en symmetrisk monoidal funktion från hBord _M till kategorin vektorrum.

Observera att kobordismer kan, om deras gränser matchar, sys ihop för att bilda en ny bordism. Detta är kompositionslagen för morfismer i kategorin kobordism. Eftersom det krävs funktorer för att bevara sammansättningen, säger detta att den linjära kartan som motsvarar en ihopsydd morfism bara är sammansättningen av den linjära kartan för varje bit.

Det finns en motsvarighet av kategorier mellan kategorin 2-dimensionella topologiska kvantfältteorier och kategorin kommutativa Frobenius-algebror .

Alla n -dimensionella rumtider på en gång

Byxorna är en (1+1)-dimensionell bordism, vilket motsvarar en produkt eller biprodukt i en 2-dimensionell TQFT .

För att överväga alla rumstider på en gång är det nödvändigt att ersätta hBord _M med en större kategori. Så låt Bord _n vara kategorin av bordismer, dvs den kategori vars morfismer är n -dimensionella grenrör med gräns, och vars objekt är de sammankopplade komponenterna i gränserna för n-dimensionella grenrör. (Observera att vilket ( n −1)-dimensionellt grenrör som helst kan uppträda som ett objekt i Bord _n . Som ovan, betrakta två morfismer i Bord _n som ekvivalenta om de är homotopiska och bildar kvotkategorin hBord _n . Bord _n är en monoidal kategori under operationen som kartlägger två bordismer till bordism gjorda från deras osammanhängande förening. En TQFT på n -dimensionella grenrör är sedan en funktor från hBord _n till kategorin vektorrum, som kartlägger disjunkta sammanslutningar av bordismer till deras tensorprodukt.

Till exempel, för (1 + 1)-dimensionella gränser (2-dimensionella gränser mellan 1-dimensionella grenrör), ger kartan som är kopplad till ett par byxor en produkt eller biprodukt, beroende på hur gränskomponenterna är grupperade – vilket är kommutativt eller co-commutative, medan kartan som är associerad med en skiva ger en count (spår) eller enhet (scalars), beroende på grupperingen av gränskomponenter, och således (1+1)-dimension TQFTs motsvarar Frobenius algebras .

Dessutom kan vi överväga 4-dimensionella, 3-dimensionella och 2-dimensionella grenrör samtidigt som är relaterade till ovanstående gränser, och från dem kan vi erhålla omfattande och viktiga exempel.

Utveckling vid ett senare tillfälle

När vi tittar på utvecklingen av topologisk kvantfältteori bör vi överväga dess många tillämpningar på Seiberg-Witten gauge teori , topologisk strängteori , förhållandet mellan knutteori och kvantfältteori och kvantknutinvarianter . Dessutom har det genererat ämnen av stort intresse inom både matematik och fysik. Också av viktigt nyligen intresse är icke-lokala operatörer i TQFT ( Gukov & Kapustin (2013)) . Om strängteori ses som det grundläggande, kan icke-lokala TQFTs ses som icke-fysiska modeller som ger en beräkningseffektiv approximation till lokal strängteori.

TQFT av Witten-typ och dynamiska system

Stokastiska (partiella) differentialekvationer (SDE) är grunden för modeller av allt i naturen över skalan av kvantdegeneration och koherens och är i huvudsak TQFTs av Witten-typ. Alla SDE:er har topologisk eller BRST supersymmetri, $\delta$ , och i operatorns representation av stokastisk dynamik är den yttre derivatan , som är kommutativ med den stokastiska evolutionsoperatorn. Denna supersymmetri bevarar fasrummets kontinuitet genom kontinuerliga flöden, och fenomenet supersymmetriskt spontant nedbrytning av ett globalt icke-supersymmetriskt grundtillstånd omfattar sådana väletablerade fysiska begrepp som kaos , turbulens , 1/f och sprakande ljud, självorganiserad kritik. etc. Den topologiska sektorn av teorin för vilken SDE som helst kan erkännas som en TQFT av Witten-typ.

Se även

Atiyah, Michael (1988a). "Nya invarianter av tre- och fyrdimensionella grenrör" . Hermann Weyls matematiska arv . Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. Vol. 48. American Mathematical Society. s. 285–299 . doi : 10.1090/pspum/048/974342 . ISBN 9780821814826 .
Atiyah, Michael (1988b). "Topologiska kvantfältsteorier" (PDF) . Publications Mathématiques de l'IHÉS . 68 (68): 175–186. doi : 10.1007/BF02698547 . MR 1001453 . S2CID 121647908 .
Gukov, Sergei; Kapustin, Anton (2013). "Topologisk kvantfältteori, icke-lokala operatörer och gapade faser av mätteorier". arXiv : 1307.4793 [ hep-th ].
Linker, Patrick (2015). "Topologisk dipolfältteori" . Vinnaren . 2 : e144311.19292. doi : 10.15200/winn.144311.19292 .
Lurie, Jacob (2009). "Om klassificeringen av topologiska fältteorier". arXiv : 0905.0465 [ math.CT ].
Schwarz, Albert (2000). "Topologiska kvantfältsteorier". arXiv : hep-th/0011260 .
Segal, Graeme (2001). "Topologiska strukturer i strängteori". Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Serie A: Matematisk, fysikalisk och ingenjörsvetenskap . 359 (1784): 1389–1398. Bibcode : 2001RSPTA.359.1389S . doi : 10.1098/rsta.2001.0841 . S2CID 120834154 .
Witten, Edward (1982). "Supersymmetri och morseteori" . Journal of Differential Geometry . 17 (4): 661–692. doi : 10.4310/jdg/1214437492 .
Witten, Edward (1988a). "Topologisk kvantfältteori" . Kommunikationer i matematisk fysik . 117 (3): 353–386. Bibcode : 1988CMaPh.117..353W . doi : 10.1007/BF01223371 . MR 0953828 . S2CID 43230714 .
Witten, Edward (1988b). "Topologiska sigmamodeller" . Kommunikationer i matematisk fysik . 118 (3): 411–449. Bibcode : 1988CMaPh.118..411W . doi : 10.1007/bf01466725 . S2CID 34042140 .