Sheaf kohomologi

I matematik är kärvekohomologi tillämpningen av homologisk algebra för att analysera de globala sektionerna av en kärve på ett topologiskt utrymme . I stort sett beskriver sheaf cohomology hindren för att lösa ett geometriskt problem globalt när det kan lösas lokalt. Det centrala arbetet för studiet av kärvekohomologi är Grothendiecks Tôhoku-uppsats från 1957 .

Kärvar, kärvekohomologi och spektralsekvenser introducerades av Jean Leray vid krigsfångelägret Oflag XVII-A i Österrike. Från 1940 till 1945 organiserade Leray och andra fångar ett "université en captivité" i lägret.

Lerays definitioner förenklades och förtydligades på 1950-talet. Det blev tydligt att kärvekohomologi inte bara var ett nytt förhållningssätt till kohomologi i algebraisk topologi , utan också en kraftfull metod inom komplex analytisk geometri och algebraisk geometri . Dessa ämnen involverar ofta att konstruera globala funktioner med specificerade lokala egenskaper, och korgkohomologi är idealiskt lämpad för sådana problem. Många tidigare resultat som Riemann-Roch-satsen och Hodge-satsen har generaliserats eller förståtts bättre med hjälp av kärvekohomologi.

Definition

Kategorin av skivor av abelska grupper på ett topologiskt utrymme X är en abelsk kategori , och därför är det vettigt att fråga när en morfism f : B → C av kärvar är injektiv (en monomorfism ) eller surjektiv (en epimorfism ). Ett svar är att f är injektiv (respektive surjektiv) om och endast om den associerade homomorfismen på stjälkarna B _x → C _x är injektiv (respektive surjektiv ) för varje punkt x i X . Det följer att f är injektiv om och endast om homomorfismen B ( U ) → C ( U ) för sektioner över U är injektiv för varje öppen mängd U i X. Surjektiviteten är dock mer subtil: morfismen f är surjektiv om och endast om det för varje öppen mängd U i X , varje sektion s av C över U och varje punkt x i U finns en öppen grannskap V av x i U sådan . som är begränsad till V är bilden av någon del av B över V . (Med ord: varje sektion av C lyfts lokalt till sektioner av B .)

Som ett resultat uppstår frågan: givet en sektion B → C av skivor och en sektion s av C över X , när är s bilden av en sektion av B över X ? Detta är en modell för alla typer av lokal- kontra globala frågor inom geometri. Sheaf cohomology ger ett tillfredsställande generellt svar. Låt nämligen A vara kärnan i operationen B → C , vilket ger en kort exakt sekvens

$0\to A\to B\to C\to 0$

av kärvar på X . Sedan finns det en lång exakt sekvens av abelska grupper, kallade sheaf cohomology-grupper:

$0\to H^{0}(X,A)\to H^{0}(X,B)\till H^{0}(X,C)\till H^{1}(X,A)\till \cdots ,$

⁰ där H ( X , A ) är gruppen A ( X ) av globala sektioner av A på X . Till exempel, om gruppen H ¹ ( X , A ) är noll, så innebär denna exakta sekvens att varje global sektion av C lyfts till en global sektion av B . Mer allmänt gör den exakta sekvensen kunskap om högre kohomologigrupper till ett grundläggande verktyg för att försöka förstå sektioner av skivor.

⁰ Grothendiecks definition av kärvkohomologi, nu standard, använder språket homologisk algebra. Det väsentliga är att fixa ett topologiskt utrymme X och tänka på kohomologi som en funktion från buntar av abelska grupper på X till abelska grupper. Börja mer i detalj med funktionsfaktorn E ↦ E ( X ) från skivor av abelska grupper på X till abelska grupper. Detta är vänsterexakt , men i allmänhet inte högerexakt. Då definieras grupperna H ⁱ ( X , E ) för heltal i som de högerhärledda funktorerna för funktionorn E ↦ E ( X ). Detta gör det automatiskt att H ⁱ ( X , E ) är noll för i < 0, och att H ( X , E ) är gruppen E ( X ) av globala sektioner. Den långa exakta sekvensen ovan är också okomplicerad från denna definition.

Definitionen av härledda funktorer använder att kategorin av skivor av abelska grupper på vilket topologiskt utrymme X som helst har tillräckligt med injektioner; det vill säga för varje kärve E finns det en injektionskärve I med en injektion E → I . Det följer att varje kärve E har en injektiv upplösning :

$0\to E\to I_{0}\to I_{1}\to I_{2}\to \cdots .$

är kärvkohomologigrupperna H ⁱ ( X , E ) kohomologigrupperna (kärnan i en homomorfism modulo bilden av den föregående) i kedjekomplexet av abelska grupper:

$0\to I_{0}(X)\to I_{1}(X)\to I_{2}(X)\to \cdots .$

Standardargument i homologisk algebra antyder att dessa kohomologigrupper är oberoende av valet av injektiv upplösning av E .

Definitionen används sällan direkt för att beräkna kärvkohomologi. Det är inte desto mindre kraftfullt, eftersom det fungerar i stort allmänt (vilken bunt av abelska grupper som helst på vilket topologiskt utrymme som helst), och det antyder lätt de formella egenskaperna hos kärvekohomologin, såsom den långa exakta sekvensen ovan. För specifika klasser av utrymmen eller skivor finns det många verktyg för att beräkna kärvkohomologi, några diskuteras nedan.

Funktionalitet

För vilken kontinuerlig karta f : X → Y som helst av topologiska utrymmen, och vilken som helst bunt E av abelska grupper på Y , finns en tillbakadragande homomorfism

$f^{*}\colon H^{j}(Y,E)\to H^{j}( X,f^{*}(E))$

för varje heltal j , där f *( E ) betecknar den omvända bildens bunt eller pullback bunt . Om f är inkluderingen av ett delrum X av Y , är f *( E ) begränsningen av E till X , ofta bara kallad E igen, och tillbakadragningen av en sektion s från Y till X kallas begränsningen s | _X .

Pullback-homomorfismer används i Mayer-Vietoris-sekvensen , ett viktigt beräkningsresultat. Låt nämligen X vara ett topologiskt rum som är en förening av två öppna delmängder U och V , och låt E vara en bunt på X . Sedan finns det en lång exakt sekvens av abelska grupper:

$0\till H^{0}(X,E)\till H^{0}(U,E)\oplus H^{0}(V,E)\till H^{0}(U\ cap V,E)\to H^{1}(X,E)\to \cdots .$

Sheaf cohomology med konstanta koefficienter

För ett topologiskt utrymme X och en abelsk grupp A betyder den konstanta strängen A _X bunten av lokalt konstanta funktioner med värden i A . Skogkohomologigrupperna H ^j ( X , A _X ) med konstanta koefficienter skrivs ofta helt enkelt som H ^j ( X , A ), såvida detta inte kan orsaka förväxling med en annan version av kohomologi som singular kohomologi .

För en kontinuerlig karta f : X → Y och en abelsk grupp A , är den tillbakadragna bunten f * ( A _Y ) isomorf till A _X . Som ett resultat gör pullback-homomorfismen kärvkohomologi med konstanta koefficienter till en kontravariant funktion från topologiska utrymmen till abelska grupper.

För alla utrymmen X och Y och vilken abelsk grupp A som helst, inducerar två homotopiska kartor f och g från X till Y samma homomorfism på kärvkohomologi:

$f^{*}=g^{*}:H^{j}(Y,A)\till H^{j}(X,A).$

Det följer att två homotopiekvivalenta utrymmen har isomorf kärvkohomologi med konstanta koefficienter.

Låt X vara ett parakompakt Hausdorff-utrymme som är lokalt sammandragbart , även i den svaga bemärkelsen att varje öppet område U i en punkt x innehåller ett öppet område V av x så att inkluderingen V → U är homotopisk till en konstant karta. Sedan är de singulära kohomologigrupperna av X med koefficienter i en abelisk grupp A isomorfa till kärvkohomologi med konstanta koefficienter, H *( X , A _X ). Till exempel gäller detta för X ett topologiskt grenrör eller ett CW-komplex .

Som ett resultat är många av de grundläggande beräkningarna av kärvkohomologi med konstanta koefficienter desamma som beräkningar av singular kohomologi. Se artikeln om kohomologi för kohomologi av sfärer, projektiva rum, tori och ytor.

⁰⁰⁰⁰⁰ För godtyckliga topologiska utrymmen kan singular kohomologi och kärvkohomologi (med konstanta koefficienter) vara olika. Detta händer även för H . Den singular kohomologin H ( X , Z ) är gruppen av alla funktioner från uppsättningen av vägkomponenter av X till heltalen Z , medan strängkohomologi H ( X , Z _X ) är gruppen av lokalt konstanta funktioner från X till Z. Dessa är olika, till exempel när X är Cantor-uppsättningen . I själva verket är kärvkohomologin H ( X , Z _X ) en räkningsbar abelsk grupp i det fallet, medan singularkohomologin H ( X , Z ) är gruppen av alla funktioner från X till Z , som har kardinalitet

$2^{2^{\aleph _{0}}}.$

För ett parakompakt Hausdorff-utrymme X och varje bunt E av abelska grupper på X , är kohomologigrupperna H ^j ( X , E ) noll för j större än den täckande dimensionen för X. (Detta gäller inte i samma generalitet för singular kohomologi: till exempel finns det en kompakt delmängd av det euklidiska rummet R ³ som har singular kohomologi som inte är noll i oändligt många grader.) Den täckande dimensionen överensstämmer med den vanliga dimensionsuppfattningen för en topologisk grenrör eller ett CW-komplex.

Slaka och mjuka kärvar

En kärve E av abelska grupper på ett topologiskt utrymme X kallas acyklisk om H ^j ( X , E ) = 0 för alla j > 0. Genom den långa exakta sekvensen av kärvekohomologi kan kohomologin för vilken kärv som helst beräknas från vilken som helst acyklisk sträng upplösning av E (snarare än en injektiv upplösning). Injektiva skivor är acykliska, men för beräkningar är det användbart att ha andra exempel på acykliska skivor.

En kärve E på X kallas slapp (franska: flasque ) om varje sektion av E på en öppen delmängd av X sträcker sig till en sektion av E på hela X . Slaka remskivor är acykliska. Godement definierade kärvekohomologi via en kanonisk slapp upplösning av vilken kärv som helst; eftersom slappa kärvar är acykliska stämmer Godements definition överens med definitionen av kärvkohomologi ovan.

En sträng E på ett parakompakt Hausdorff-utrymme X kallas mjuk om varje sektion av begränsningen av E till en sluten delmängd av X sträcker sig till en sektion av E på hela X . Varje mjuk kärve är acyklisk.

Några exempel på mjuka skivor är bunten av verkligt värdefulla kontinuerliga funktioner på valfritt parakompakt Hausdorff-utrymme, eller bunten med släta ( C ∞ ) ^funktioner på vilken slät grenrör som helst . Mer generellt är varje bunt av moduler över en mjuk bunt av kommutativa ringar mjuk; till exempel är bunten av släta sektioner av en vektorbunt över ett slät grenrör mjuk.

Till exempel utgör dessa resultat en del av beviset för de Rhams sats . För ett jämnt grenrör X säger Poincaré -lemmat att de Rham-komplexet är en upplösning av den konstanta bunten R _X :

$0\to \mathbf {R} _{X}\to \Omega _{X}^{0}\to \Omega _{X}^{ 1}\to \cdots ,$

där Ω _X ^j är bunten av jämna j -former och kartan Ω _X ^j → Ω _X ^{j +1} är den yttre derivatan d . Enligt resultaten ovan är skivorna Ω _X ^j mjuka och därför acykliska. Det följer att kärvkohomologin för X med reella koefficienter är isomorf till de Rham-kohomologin för X , definierad som kohomologin för komplexet av reella vektorrum :

$0\to \Omega _{X}^{0}(X)\to \Omega _{X}^{1}(X)\to \cdots .$

Den andra delen av de Rhams teorem är att identifiera kärvkohomologi och singularkohomologi för X med reella koefficienter; som gäller mer allmänt, som diskuterats ovan .

Čech kohomologi

Čech cohomology är en approximation till sheaf cohomology som ofta är användbar för beräkningar. Låt nämligen ${\mathcal {U}}$ vara ett öppet lock till ett topologiskt utrymme X , och låt E vara en bunt av abelska grupper på X . Skriv de öppna uppsättningarna i omslaget som U _i för element i i en uppsättning I och fixa en ordning på I . Då definieras Čech kohomologi $H^{j}({\mathcal {U}},E)$ som kohomologin av ett explicit komplex av abelska grupper med j: te gruppen

$C^{j}({\mathcal {U}},E)=\prod _{i_{0}<\cdots <i_{j}}E(U_{i_{0}}\cap \cdots \cap U_{i_{j}}).$

Det finns en naturlig homomorfism $H^{j}({\mathcal {U}},E)\till H^{j}(X,E )$ . Således är Čech kohomologi en approximation till kärvkohomologi som endast använder sektionerna av E på ändliga skärningar av de öppna mängderna U _i .

Om varje finit skärningspunkt V av de öppna mängderna i ${\mathcal {U}}$ inte har någon högre kohomologi med koefficienter i E , vilket betyder att H ^j ( V , E ) = 0 för alla j > 0, då homomorfism från Čech kohomologi $H^{j}({\mathcal {U}},E)$ till kärvkohomologi är en isomorfism.

Ett annat tillvägagångssätt för att relatera Čech-kohomologi till kärvekohomologi är följande. Čech kohomologigrupperna ${\check {H}}^{j}(X,E)$ definieras som den direkta gränsen för $H ^{j}({\mathcal {U}},E)$ över alla öppna omslag ${\mathcal {U}}$ av X (där öppna omslag sorteras efter förfining ). Det finns en homomorfism ${\check {H}}^{j}(X,E)\till H^{j}(X,E )$ från Čech cohomology till sheaf cohomology, som är en isomorfism för j ≤ 1. För godtyckliga topologiska utrymmen kan Čech cohomology skilja sig från sheaf cohomology i högre grader. Bekvämt är dock Čech-kohomologi isomorf till kärvekohomologi för alla kärve på ett parakompakt Hausdorff-utrymme.

Isomorfismen ${\check {H}}^{1}(X,E)\cong H^{1}(X,E)$ innebär en beskrivning av H ¹ ( X , E ) för vilken som helst bunt E av abelska grupper på ett topologiskt utrymme X : denna grupp klassificerar E - torsorerna (även kallade huvudsakliga E -buntar ) över X , upp till isomorfism. (Detta uttalande generaliserar till alla grupper G , inte nödvändigtvis abelska, med användning av den icke-abelska kohomologimängden H 1 ⁽ X , G ) .) Per definition är en E -torsor över X en bunt S av mängder tillsammans med en handling av E på X så att varje punkt i X har en öppen grannskap där S är isomorf till E , med E som verkar på sig själv genom translation. Till exempel på ett ringmärkt utrymme ( X , O _X ), följer det att Picard-gruppen av inverterbara kärvar på X är isomorf till kärvkohomologigruppen H ¹ ( X , O _X *), där O _X * är kärven av enheter i O _X .

Relativ kohomologi

För en delmängd Y av ett topologiskt utrymme X och en bunt E av abelska grupper på X , kan man definiera relativa kohomologigrupper :

$H_{Y}^{j}(X,E)=H^{j}(X,XY;E)$

för heltal j . Andra namn är kohomologin av X med stöd i Y , eller (när Y är stängd i X ) lokal kohomologi . En lång exakt sekvens relaterar relativ kohomologi till kärvkohomologi i vanlig mening:

$\cdots \to H_{Y}^{j}(X,E)\to H^{j}(X,E)\to H^{j}(XY,E)\to H_{Y} ^{j+1}(X,E)\to \cdots .$

När Y är stängd i X , kan kohomologi med stöd i Y definieras som de härledda funktionerna av funktorn

$H_{Y}^{0}(X,E):=\{s\in E(X):s|_{XY}=0\},$

gruppen av sektioner av E som stöds på Y .

Det finns flera isomorfismer som kallas excision . Till exempel, om X är ett topologiskt utrymme med underrymden Y och U så att stängningen av Y finns i det inre av U och E är en bunt på X , då är begränsningen

$H_{Y}^{j}(X,E)\to H_{Y}^{j}(U,E)$

är en isomorfism. (Så kohomologi med stöd i en sluten delmängd Y beror bara på beteendet hos utrymmet X och skarven E nära Y .) Om X är ett parakompakt Hausdorff-rum är det föreningen av slutna delmängder A och B , och E är en kärve på X , sedan begränsningen

$H^{j}(X,B;E)\to H^{j}(A,A\cap B ;E)$

är en isomorfism.

Kohomologi med kompakt stöd

Låt X vara ett lokalt kompakt topologiskt utrymme. (I den här artikeln förstås ett lokalt kompakt utrymme vara Hausdorff.) För en bunt E av abelska grupper på X kan man definiera kohomologi med kompakt stöd H _c ^j ( X , E ). Dessa grupper definieras som de härledda funktionerna från funktorn för kompakta sektioner:

$H_{c}^{0}(X,E)=\{s\i E(X):{\text{det finns en kompakt delmängd }}K{\text{ av }}X{\text { med }}s|_{XK}=0\}.$

Det finns en naturlig homomorfism H _c ^j ( X , E ) → H ^j ( X , E ), som är en isomorfism för X kompakt.

För en bunt E på ett lokalt kompakt utrymme X är den kompakt stödda kohomologin av X × R med koefficienter i tillbakadragningen av E en förskjutning av den kompakt stödda kohomologin av X :

$H_{c}^{j+1}(X\times \mathbf {R} ,E)\cong H_{c}^{j}(X,E).$

^Det följer till exempel att Hcj ( Rn , Z ) är isomorf till Z om j = n och är noll _annars ^.

Kompakt stödd kohomologi är inte funktionell med avseende på godtyckliga kontinuerliga kartor. För en korrekt karta f : Y → X av lokalt kompakta utrymmen och en bunt E på X , finns det dock en tillbakadragande homomorfism

$f^{*}\colon H_{c}^{j}(X,E)\to H_ {c}^{j}(Y,f^{*}(E))$

på kompakt stödd kohomologi. Dessutom, för en öppen delmängd U av ett lokalt kompakt utrymme X och en bunt E på X , finns det en pushforward homomorfism som kallas förlängning med noll :

$H_{c}^{j}(U,E)\till H_{c}^{j}(X,E).$

Båda homomorfismerna förekommer i den långa exakta lokaliseringssekvensen för kompakt understödd kohomologi, för ett lokalt kompakt utrymme X och en sluten delmängd Y :

$\cdots \to H_{c}^{j}(XY,E)\to H_{c}^{j}(X,E)\to H_{c}^{j}(Y,E) \to H_{c}^{j+1}(XY,E)\to \cdots .$

Koppprodukt

För alla skivor A och B av abelska grupper på ett topologiskt utrymme X , finns det en bilinjär karta, koppprodukten

${\displaystyle H^{i}(X,A)\ gånger H^{j}($

för alla i och j . Här betecknar A ⊗ B tensorprodukten över Z , men om A och B är modulskivor över någon bunt O _X av kommutativa ringar, så kan man mappa vidare från H ^{i + j} (X, A ⊗ _Z B ) till H ^{i + j} (X, A ⊗ _{O X} B ). Speciellt för en bunt O _X av kommutativa ringar utgör koppprodukten den direkta summan

$H^{*}(X,O_{X})=\bigoplus _{j}H^{j}(X, OXE})$

till en graderad kommutativ ring, vilket betyder att

$vu=(-1)^{ij}uv$

för alla u i H ⁱ och v i H ^j .

Komplex av kärvar

Definitionen av kärvkohomologi som en härledd funktion sträcker sig till att definiera kohomologi för ett topologiskt utrymme X med koefficienter i valfritt komplex E av skivor:

$\cdots \to E_{j}\to E_{j+1}\to E_{j+2}\to \cdots$

I synnerhet, om komplexet E är begränsat nedanför (kärven Ej är noll för j tillräckligt negativt), så har E en injektiv upplösning _I precis som en enskild bunt har. (Per definition I ett avgränsat nedanför komplex av injektionsskivor med en kedjekarta E → I som är en kvasi-isomorfism .) Sedan definieras kohomologigrupperna H ^j ( X , E ) som kohomologin av komplexet av abelska grupper

$\cdots \to I_{j}(X)\to I_{j+1}(X)\to I_{j+2}(X)\to \cdots .$

Kohomologin av ett utrymme med koefficienter i ett komplex av skivor kallades tidigare hyperkohomologi , men vanligtvis nu bara "kohomologi".

Mer generellt, för alla komplex av skivor E (inte nödvändigtvis begränsat nedan) på ett utrymme X , definieras kohomologigruppen H ^j ( X , E ) som en grupp av morfismer i den härledda kategorin av skivor på X :

$H^{j}(X,E)=\operatörsnamn {Hom} _{D(X)} (\mathbf {Z} _{X},E[j]),$

där Z _X är den konstanta strängen som är associerad med heltalen, och E [ j ] betyder det komplexa E skiftat j steg åt vänster.

Poincaré-dualitet och generaliseringar

Ett centralt resultat inom topologi är Poincarés dualitetssats : för ett sluten orienterat sammankopplat topologiskt grenrör X med dimension n och ett fält k , är gruppen H ⁿ ( X , k ) isomorf till k , och koppprodukten

$H^{j}(X,k)\ gånger H^{nj}(X, k)\till H^{n}(X,k)\cong k$

är en perfekt parning för alla heltal j . Det vill säga, den resulterande kartan från H ^j ( X , k ) till det dubbla rummet H ^{n − j} ( X , k )* är en isomorfism. Speciellt vektorutrymmena H ^j ( X , k ) och H ^{n − j} ( X , k )* har samma (ändliga) dimension .

Många generaliseringar är möjliga med hjälp av kärvekohomologins språk. Om X är ett orienterat n -grenrör, inte nödvändigtvis kompakt eller sammankopplat, och k är ett fält, så är kohomologi dualen av kohomologi med kompakt stöd:

$H^{j}(X,k)\cong H_{c}^{nj}(X,k)^{*}.$

För alla grenrör X och fält k finns det en kärv o _X på X , orienteringskärven , som är lokalt (men kanske inte globalt) isomorf till den konstanta kärven k . En version av Poincaré-dualitet för ett godtyckligt n -manifold X är isomorfismen:

$H^{j}(X,o_{X})\cong H_{c}^{nj}(X,k)^{*}.$

Mer generellt, om E är en lokalt konstant bunt av k -vektorrum på ett n -grenrör X och stjälkarna av E har en ändlig dimension, så finns det en isomorfism

$H^{j}(X,E^{*}\otimes o_{X})\cong H_{c}^{nj}(X,E)^{*}.$

Med koefficienter i en godtycklig kommutativ ring snarare än ett fält, formuleras Poincaré-dualitet naturligt som en isomorfism från kohomologi till Borel-Moore-homologi .

Verier dualitet är en stor generalisering. För varje lokalt kompakt utrymme X med ändlig dimension och vilket fält k som helst , finns det ett objekt D _X i den härledda kategorin D ( X ) av skivor på X som kallas det dualiserande komplexet (med koefficienter i k ). Ett fall av Verdier-dualitet är isomorfismen:

$H^{j}(X,D_{X})\cong H_{c}^{-j}(X,k)^{*}.$

För ett n -grenrör X är det dualiserande komplexet D _X isomorft till skiftet o _X [ n ] av orienteringsskivan. Som ett resultat inkluderar Verdier-dualitet Poincaré-dualitet som ett specialfall.

Alexanderdualitet är en annan användbar generalisering av Poincaré-dualitet. För varje sluten delmängd X av ett orienterat n -grenrör M och vilket fält k som helst , finns det en isomorfism:

$H_{X}^{j}(M,k)\cong H_{c}^{nj}(X,k)^{*}.$

Detta är redan intressant för X en kompakt delmängd av M = R ⁿ , där det står (i grova drag) att kohomologin för R ⁿ − X är dualen av kärvkohomologin för X . I detta uttalande är det väsentligt att överväga kärvkohomologi snarare än singular kohomologi, såvida man inte gör extra antaganden på X , såsom lokal sammandragbarhet.

Högre direkta bilder och Leray-spektralsekvensen

Låt f : X → Y vara en kontinuerlig karta över topologiska rum, och låt E vara en bunt av abelska grupper på X . Den direkta bilden kärven f _* E är kärven på Y definierad av

$(f_{*}E)(U)=E(f^{-1}(U))$

för vilken öppen delmängd U av Y som helst . Till exempel, om f är kartan från X till en punkt, då är f _* E bunten på en punkt som motsvarar gruppen E ( X ) av globala sektioner av E.

Funktionen f _* från skivor på X till skivor på Y är vänsterexakt, men i allmänhet inte högerexakt. De högre direkta bildskivorna Rif ^* E på Y definieras som de högerhärledda funktorerna för _funktionorn f _* . En annan beskrivning är att R ⁱ f _* E är kärven som är associerad med preskärven

$U\mapsto H^{i}(f^{-1}(U),E)$

på Y. _ Sålunda beskriver de högre direkta bildskivorna kohomologin av omvända bilder av små öppna uppsättningar i Y , grovt sett.

Leray - spektralsekvensen relaterar kohomologi på X till kohomologi på Y. Nämligen, för varje kontinuerlig karta f : X → Y och vilken bunt som helst E på X , finns det en spektralsekvens

$E_{2}^{ij}=H^{i}(Y,R^{j}f_{*}E)\Rightarrow H^{i+j}(X,E).$

Detta är ett mycket allmänt resultat. Det speciella fallet där f är en fibration och E är en konstant sträng spelar en viktig roll i homotopi teorin under namnet Serre spektralsekvens . I så fall är de högre direktbildskivorna lokalt konstanta, med stjälkar kohomologigrupperna för fibrerna F av f , och så kan Serre-spektralsekvensen skrivas som

$E_{2}^{ij}=H^{i}(Y,H^ {j}(F,A))\Högerpil H^{i+j}(X,A)$

för en abelsk grupp A .

Ett enkelt men användbart fall av Leray-spektralsekvensen är att för vilken sluten delmängd X som helst av ett topologiskt utrymme Y och vilken som helst bunt E på X , som skriver f : X → Y för inklusionen, finns det en isomorfism

$H^{i}(Y,f_{*}E)\cong H^{i}(X,E).$

Som ett resultat kan alla frågor om kärvkohomologi på ett slutet delrum översättas till en fråga om den direkta bildkärven på det omgivande utrymmet.

Kohomologis ändlighet

Det finns ett starkt ändlighetsresultat på kärvekohomologi. Låt X vara ett kompakt Hausdorff-utrymme, och låt R vara en principiell idealdomän , till exempel ett fält eller ringen Z av heltal. Låt E vara en bunt av R -moduler på X och antag att E har "lokalt ändligt genererad kohomologi", vilket betyder att det för varje punkt x i X , varje heltal j och varje öppet område U av x finns ett öppet område. V ⊂ U av x så att bilden av Hj ( U , E ) → Hj ( ^V , E ) är en ändligt genererad R - ^modul . Sedan är kohomologigrupperna Hj ( X ^, E ) ändligt genererade R - moduler.

^Till exempel, för ett kompakt Hausdorff-utrymme X som är lokalt sammandragbart (i den svaga betydelsen som diskuterats ovan ), genereras kohomologigruppen Hj ( X , Z ) ändligt för varje heltal j .

Ett fall där ändlighetsresultatet gäller är det för en konstruerbar kärve . Låt X vara ett topologiskt skiktat rum . I synnerhet X med en sekvens av slutna delmängder

$X=X_{n}\supset X_{n-1}\supset \cdots \supset X_{-1}=\emptyset$

så att varje skillnad X _i − X _{i −1} är ett topologiskt mångfald av dimension i . En skiva E av R -moduler på X är konstruerbar med avseende på den givna stratifieringen om begränsningen av E till varje stratum X _i − X _{i −1} är lokalt konstant, med stjälken en ändligt genererad R -modul. En kärv E på X som är konstruerbar med avseende på den givna stratifieringen har lokalt ändligt genererat kohomologi. Om X är kompakt, följer det att kohomologigrupperna Hj ( X , E ) av X med koefficienter i en konstruerbar sträng genereras ändligt ^.

Antag mer generellt att X är komprimerbar, vilket betyder att det finns ett kompakt stratifierat utrymme W som innehåller X som en öppen delmängd, med W – X en förening av sammankopplade komponenter i strata. _Sedan genereras R - modulerna Hj ( X , E ) och Hcj ( X , E ^{) ändligt} för varje konstruerbar skiva E av R - moduler på X. Till exempel är vilken komplex algebraisk variant X som helst , med dess klassiska (euklidiska) topologi, komprimerbar i denna mening.

Kohomologi av koherenta skivor

Huvudartikel: Coherent sheaf cohomology

Inom algebraisk geometri och komplex analytisk geometri är koherenta skivor en klass av skivor av särskild geometrisk betydelse. Till exempel kan ett algebraiskt vektorknippe (på ett lokalt Noetherian-schema ) eller ett holomorft vektorknippe (på ett komplext analytiskt utrymme ) ses som en koherent bunt, men koherenta buntar har fördelen framför vektorbuntar att de bildar en abelsk kategori. På ett schema är det också användbart att överväga de kvasi-koherenta skivorna, som inkluderar de lokalt fria skivorna av oändlig rang.

En hel del är känt om kohomologigrupperna i ett schema eller komplext analytiskt utrymme med koefficienter i en koherent sträng. Denna teori är ett viktigt tekniskt verktyg inom algebraisk geometri. Bland huvudsatserna finns resultat om kohomologins försvinnande i olika situationer, resultat om kohomologis ändliga dimensionalitet, jämförelser mellan koherent kohomologi och singular kohomologi som Hodge-teorin, och formler om Euler-egenskaper i koherent kohomologi , som Riemann- Roch teorem .

Kärvar på en plats

På 1960-talet definierade Grothendieck begreppet en plats , vilket betyder en kategori utrustad med en Grothendieck-topologi . En plats C axiomatiserar föreställningen om att en uppsättning morfismer V _α → U i C är en täckning av U . Ett topologiskt utrymme X bestämmer en plats på ett naturligt sätt: kategorin C har objekt de öppna delmängderna av X , där morfismer är inneslutningar, och med en uppsättning morfismer V _α → U kallas en täckning av U om och endast om U är föreningen av de öppna delmängderna V _α . Det motiverande exemplet på en Grothendieck-topologi utöver det fallet var étale-topologin på scheman. Sedan dess har många andra Grothendieck-topologier använts i algebraisk geometri: fpqc-topologin , Nisnevich-topologin och så vidare.

Definitionen av en kärve fungerar på vilken plats som helst. Så man kan tala om en bunt av uppsättningar på en plats, en bunt av abelska grupper på en plats, och så vidare. Definitionen av kärvekohomologi som en härledd funktion fungerar också på en webbplats. Så man har kärvekohomologigrupper H ^j ( X , E ) för vilket objekt X som helst på en plats och vilket kärv som helst E i abelska grupper. För étale-topologin ger detta begreppet étale-kohomologi , vilket ledde till beviset för Weil-förmodan . Kristallin kohomologi och många andra kohomologiteorier inom algebraisk geometri definieras också som kärvkohomologi på en lämplig plats.

Anteckningar

•   Barratt, MG; Milnor, John (1962), "An example of anomalous singular homology", Proceedings of the American Mathematical Society , 13 (2): 293–297, doi : 10.1090/S0002-9939-1962-0137110-9 , MR 1010
•    Borel, Armand (1984), Intersection Cohomology , Birkhäuser , ISBN 0-8176-3274-3 , MR 0788171
•    Bredon, Glen E. (1997) [1967], Sheaf Theory , Graduate Texts in Mathematics, vol. 170 (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-0647-7 , ISBN 978-0-387-94905-5 , MR 1481706
•   Godement, Roger (1973) [1958], Topologie algébrique et théorie des faisceaux , Paris: Hermann, MR 0345092
•    Griffiths, Phillip ; Harris, Joseph (1994) [1978], Principles of Algebraic Geometry , Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons , doi : 10.1002/9781118032527 , ISBN 978-0-471-05029-128 , 8MR 3 128
•   Grothendieck, A. (1957), "Sur quelques points d'algèbre homologique" , ​​Tôhoku Mathematical Journal , (2), 9 (2): 119–221, doi : 10.2748/tmj/1178244839 , MR 3 71025 . Engelsk översättning .
•     Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9 , MR 0463157 , OCLC 13348052
•    Iversen, Birger (1986), Cohomology of Sheaves , Universitext, Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-642-82783-9 , ISBN 978-3-540-16389-3 , MR 9008
•   Miller, Haynes (2000). "Leray i Oag XVIIA: Ursprunget till kärveteori, kärvekohomologi och spektralsekvenser" ( PDF) . S2CID 13024093 .

externa länkar

• Tråden "Sheaf cohomology and injective resolutions" om MathOverflow
• "Sheaf cohomology" på Stack Exchange