Komplett metriskt utrymme

I matematisk analys kallas ett metriskt utrymme $M$ komplett (eller ett Cauchy-utrymme ) om varje Cauchy -sekvens av punkter i $M$ har en gräns som också är i $M.$

Intuitivt är ett utrymme komplett om det inte finns några "punkter som saknas" från det (inuti eller vid gränsen). Till exempel är uppsättningen av rationella tal inte komplett, eftersom t.ex. ${\sqrt {2}}$ "saknas" i den, även om man kan konstruera en Cauchy-sekvens av rationella tal som konvergerar till den (se ytterligare exempel nedan). Det är alltid möjligt att "fylla alla hål", vilket leder till färdigställandet av ett givet utrymme, som förklaras nedan.

Definition

Cauchy sekvens

En sekvens ${2},x_{3},\ldots }$ $d ) {\displaystyle (X,d$ i ett metriskt utrymme kallas Cauchy om det för varje positivt reellt tal $r>0$ finns ett positivt heltal $N$ så att för alla positiva heltal $>N ,}$

d\left(x_{m},x_{n}\right)<r.

Komplett utrymme

Ett metriskt mellanslag $(X,d)$ är komplett om något av följande ekvivalenta villkor är uppfyllt:

Varje Cauchy-sekvens av punkter i $X$ har en gräns som också är i $X.$
Varje Cauchy-sekvens i $X$ konvergerar i $X$ (det vill säga till någon punkt av $X$ ).
Varje minskande sekvens av icke-tomma slutna delmängder av $X,$ med diametrar som tenderar mot 0, har en icke-tom skärningspunkt : om $F_{n}$ är stängd och icke-tom, $F_{n+1}\subseteq F_{n}$ för varje $n,$ och $\operatorname {diam} \ left(F_{n}\right)\to 0,$ så finns det en punkt $x\in X$ gemensam för alla mängder $F_{n}.$

Exempel

Utrymmet Q för rationella tal , med standardmåttet givet av det absoluta värdet av skillnaden , är inte komplett. Betrakta till exempel sekvensen som definieras av $x_{1}=1$ och ${\displaystyle x_{n+1}={\frac {x_{n}}{2}}+{\frac {1}{x_{n}}}.} Detta är$ en Cauchy-sekvens av rationella tal, men det konvergerar inte mot någon rationell gräns: Om sekvensen hade en gräns $x,$ så genom att lösa $x={\frac {x}{2}}+{ \frac {1}{x}}$ nödvändigtvis $x^{2}=2,$ men inget rationellt tal har denna egenskap. Men betraktat som en sekvens av reella tal , konvergerar den till det irrationella talet ${\sqrt {2}}$ .

Det öppna intervallet $(0,1)$ , återigen med absolutvärdesmåttet, är inte heller komplett. Sekvensen som definieras av { $x_{n}={\tfrac {1}{n}}}$ är Cauchy, men har ingen gräns i det givna utrymmet. Emellertid slutna intervallet $[0,1]$ komplett; till exempel har den givna sekvensen en gräns i detta intervall och gränsen är noll.

Mellanrummet R för reella tal och mellanrummet C för komplexa tal (med metriken given av det absoluta värdet) är kompletta, och det är också det euklidiska rummet R ⁿ , med det vanliga avståndsmåttet . Däremot kan oändligt dimensionella normerade vektorrum vara kompletta eller inte; de som är kompletta är Banach-mellanrum . Utrymmet C $[a, b]$ av kontinuerliga verkliga funktioner på ett slutet och begränsat intervall är ett Banach-rum, och sålunda ett komplett metriskt rum, med avseende på den högsta normen . Den högsta normen ger dock ingen norm på utrymmet C $(a, b)$ för kontinuerliga funktioner på $( a, b)$ , eftersom det kan innehålla obundna funktioner. Istället, med topologin för kompakt konvergens , kan C $(a, b)$ ges strukturen av ett Fréchet-utrymme : ett lokalt konvext topologiskt vektorrum vars topologi kan induceras av en fullständig translationsinvariant metrik.

Mellanrummet Q _p av p -adiska tal är komplett för vilket primtal $s.$ Detta mellanslag kompletterar Q med måttet p -adic på samma sätt som R kompletterar Q med det vanliga måttet.

Om $S$ är en godtycklig mängd, så blir mängden $S N$ för alla sekvenser i $S$ ett komplett metriskt utrymme om vi definierar avståndet mellan sekvenserna ( ${\displaystyle \left$ och $\left(y_{n}\right)$ att vara ${\tfrac {1}{N}}$ där $N$ är det minsta index för vilket $x_{N}$ är skild från $y_{N}$ eller $0$ om det inte finns något sådant index. Detta utrymme är homeomorft till produkten av ett räknebart antal kopior av det diskreta utrymmet $S.$

Riemannska grenrör som är kompletta kallas geodetiska grenrör ; fullständighet följer av Hopf-Rinows sats .

Några satser

Varje kompakt metriskt utrymme är komplett, även om kompletta utrymmen inte behöver vara kompakta. Faktum är att ett metriskt utrymme är kompakt om och bara om det är komplett och helt avgränsat . Detta är en generalisering av Heine–Borel-satsen , som säger att varje slutet och avgränsat delrum $S$ av $R n$ är kompakt och därför komplett.

Låt $(X,d)$ vara ett komplett metriskt utrymme. Om $A\subseteq X$ är en sluten uppsättning, är $A$ också komplett. Låt $(X,d)$ vara ett metriskt mellanslag. Om $A\subseteq X$ är ett komplett delutrymme, stängs även ${\displaystyle A} .$

Om $X$ är en mängd och $M$ är ett komplett metriskt utrymme, då är mängden $B(X,M)$ av alla avgränsade funktioner $f$ från $X$ till $M$ är ett komplett metriskt utrymme. Här definierar vi avståndet i $B(X,M)$ i termer av avståndet i $M$ med den högsta normen

d(f,g)\equiv \sup\{d[f(x),g( x)]:x\in X\}

Om $X$ är ett topologiskt utrymme och $M$ är ett komplett metriskt utrymme, då är mängden $C_{b}(X,M)$ bestående av alla kontinuerliga avgränsade funktioner $f:X\to M$ är ett slutet delrum av $B(X,M)$ och därmed också komplett.

Baire -kategorisatsen säger att varje komplett metriskt utrymme är ett Baire-rum . Det vill säga, föreningen av otaliga många ingenstans täta delmängder av utrymmet har tom interiör .

Banachs fixpunktsats säger att en sammandragningsmappning på ett komplett metriskt utrymme medger en fixpunkt. Fixpunktssatsen används ofta för att bevisa inversfunktionssatsen på kompletta metriska utrymmen som Banach-rum.

Sats (C. Ursescu) — Låt $X$ vara ett komplett metriskt utrymme och låt $S_{1},S_{2},\ldots$ vara en sekvens av delmängder av $X.$

Om varje $i}}$ ${\textstyle \operatörsnamn {cl} \left(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }\operatörsnamn {int} S_{i}\right)=\operatörsnamn {cl} \operatörsnamn {int} \left( \bigcup _{i\in \mathbb {N} }S_{i}\right).}$ stängd i $X$ så
Om varje ${\displaystyle S_{i}} är$ ${\textstyle \operatörsnamn {int} \left(\bigcap _{i\in \mathbb {N}}\operatörsnamn {cl} S_{i}\right)=\operatörsnamn {int} \operatörsnamn {cl} \left( \bigcap _{i\in \mathbb {N} }S_{i}\right).}$ i $X$ så

Komplettering

För vilket metriskt utrymme M som helst är det möjligt att konstruera ett komplett metriskt utrymme M′ (som också betecknas som ${\overline {M}}$ ), som innehåller M som ett tätt delrum . Den har följande universella egenskap : om N är vilket fullständigt metriskt utrymme som helst och f är vilken enhetlig kontinuerlig funktion som helst från M till N , så finns det en unik enhetligt kontinuerlig funktion f′ från M′ till N som sträcker sig f . Mellanrummet M' bestäms fram till isometri av denna egenskap (bland alla kompletta metriska utrymmen som innehåller M ), och kallas fullbordandet av M .

Kompletteringen av M kan konstrueras som en uppsättning ekvivalensklasser av Cauchy-sekvenser i M . För två valfria Cauchy-sekvenser $x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)$ och $y_{\bullet }=\ left(y_{n}\right)$ i M , kan vi definiera deras avstånd som

d\left(x_{\bullet },y_{\bullet }\right)=\lim _{n}d\left (x_{n},y_{n}\höger)

(Denna gräns existerar eftersom de reella talen är fullständiga.) Detta är bara en pseudometrisk , ännu inte en metrik, eftersom två olika Cauchy-sekvenser kan ha avståndet 0. Men "att ha avstånd 0" är en ekvivalensrelation på mängden av alla Cauchy sekvenser, och uppsättningen av ekvivalensklasser är ett metriskt utrymme, kompletteringen av M . Det ursprungliga utrymmet är inbäddat i detta utrymme via identifieringen av ett element x av M' med ekvivalensklassen av sekvenser i M konvergerande till x (dvs ekvivalensklassen som innehåller sekvensen med konstant värde x ). Detta definierar en isometri på ett tätt delrum efter behov. Observera dock att denna konstruktion explicit använder sig av de reella talens fullständighet, så komplettering av de rationella talen behöver en något annorlunda behandling.

Cantors konstruktion av de reella talen liknar ovanstående konstruktion; de reella talen är kompletteringen av de rationella talen med det ordinarie absoluta värdet för att mäta avstånd. Den ytterligare subtiliteten att kämpa med är att det inte är logiskt tillåtet att använda fullständigheten av de reella talen i sin egen konstruktion. Ändå definieras ekvivalensklasser av Cauchy-sekvenser enligt ovan, och uppsättningen av ekvivalensklasser visas lätt vara ett fält som har de rationella talen som ett underfält. Detta fält är komplett, medger en naturlig total ordning och är det unika helt ordnade fullständiga fältet (upp till isomorfism). Det definieras som fältet för reella tal (se även Konstruktion av de reella talen för mer information). Ett sätt att visualisera denna identifikation med de reella talen som vanligtvis ses är att ekvivalensklassen som består av de Cauchy-sekvenser av rationella tal som "borde" ha en given reell gräns identifieras med det reella talet. Trunkeringarna av decimalexpansionen ger bara ett val av Cauchy-sekvens i den relevanta ekvivalensklassen.

För ett primtal ${\displaystyle p,} uppstår$ de $p$ -adiska talen genom att komplettera de rationella talen med avseende på en annan metrik.

Om den tidigare kompletteringsproceduren tillämpas på ett normerat vektorrum , är resultatet ett Banach-utrymme som innehåller det ursprungliga utrymmet som ett tätt delutrymme, och om det tillämpas på ett inre produktutrymme är resultatet ett Hilbert-utrymme som innehåller det ursprungliga utrymmet som ett tätt underrum.

Topologiskt kompletta utrymmen

Fullständighet är en egenskap hos metriken och inte hos topologin , vilket betyder att ett komplett metriskt utrymme kan vara homeomorft till ett icke-fullständigt. Ett exempel ges av de reella talen, som är fullständiga men homeomorfa till det öppna intervallet ( $0,1)$ , som inte är fullständigt.

Inom topologi betraktar man fullständigt mätbara utrymmen , utrymmen för vilka det finns minst en fullständig metrik som inducerar den givna topologin. Fullständigt metriserbara utrymmen kan karakteriseras som de utrymmen som kan skrivas som en skärning av otaliga många öppna delmängder av något komplett metriskt utrymme. Eftersom slutsatsen av Baire-kategorisatsen är rent topologisk, gäller den även för dessa utrymmen.

Fullständigt mätbara utrymmen kallas ofta topologiskt kompletta . Den senare termen är dock något godtycklig eftersom metrisk inte är den mest allmänna strukturen på ett topologiskt utrymme för vilket man kan tala om fullständighet (se avsnittet Alternativ och generaliseringar ). Faktum är att vissa författare använder termen topologiskt komplett för en bredare klass av topologiska utrymmen, de helt enhetliga utrymmena .

Ett topologiskt utrymme som är homeomorft till ett separerbart komplett metriskt utrymme kallas ett polskt utrymme .

Alternativ och generaliseringar

Eftersom Cauchy-sekvenser också kan definieras i allmänna topologiska grupper , är ett alternativ till att förlita sig på en metrisk struktur för att definiera fullständighet och konstruera fullbordandet av ett utrymme att använda en gruppstruktur. Detta ses oftast i samband med topologiska vektorrum , men kräver bara existensen av en kontinuerlig "subtraktions"-operation. I den här inställningen mäts avståndet mellan två punkter $x$ och ${\displaystyle y} inte av ett reellt tal$ $\varepsilon$ via måtten $d$ i jämförelsen $d(x,y)<\varepsilon ,$ men av ett öppet område $N$ av $0$ via subtraktion i jämförelsen $xy\in N.$

En vanlig generalisering av dessa definitioner kan hittas i kontexten av ett enhetligt utrymme , där en entourage är en uppsättning av alla par av punkter som inte är mer än ett visst "avstånd" från varandra.

Det är också möjligt att ersätta Cauchy- sekvenser i definitionen av fullständighet med Cauchy- nät eller Cauchy-filter . Om varje Cauchy-nät (eller motsvarande varje Cauchy-filter) har en gräns i $X,$ så kallas ${\displaystyle X} komplett.$ Man kan dessutom konstruera en komplettering för ett godtyckligt enhetligt utrymme liknande kompletteringen av metriska utrymmen. Den mest allmänna situationen där Cauchy-nät används är Cauchy-utrymmen ; även dessa har en föreställning om fullständighet och komplettering precis som enhetliga utrymmen.

Se även

Snyggt utrymme
Komplettering (algebra) – någon av flera relaterade funktioner på ringar och moduler som resulterar i kompletta topologiska ringar och moduler
Komplett enhetligt utrymme – Topologiskt utrymme med en föreställning om enhetliga egenskaper
Komplett topologisk vektorrymd – en TVS där punkter som kommer gradvis närmare varandra alltid kommer att konvergera till en punkt
Ekelands variationsprincip
Knaster–Tarskis sats

Anteckningar

Kelley, John L. (1975). Allmän topologi . Springer. ISBN 0-387-90125-6 .
Kreyszig, Erwin , Inledande funktionsanalys med tillämpningar (Wiley, New York, 1978). ISBN 0-471-03729-X
Lang, Serge , "Real and Functional Analysis" ISBN 0-387-94001-4
Meise, Reinhold; Vogt, Dietmar (1997). Introduktion till funktionsanalys . Ramanujan, MS (översättning). Oxford: Clarendon Press; New York: Oxford University Press. ISBN 0-19-851485-9 .