Stack (matematik)

Inom matematik är en stack eller 2-shed , grovt sett, en bunt som tar värden i kategorier snarare än mängder. Stackar används för att formalisera några av de viktigaste konstruktionerna av härkomstteorin och för att konstruera fina modulhögar när fina modulutrymmen inte existerar.

Nedstigningsteori handlar om generaliseringar av situationer där isomorfa , kompatibla geometriska objekt (som vektorbuntar på topologiska utrymmen ) kan "limmas ihop" inom en begränsning av den topologiska basen. I en mer allmän uppställning ersätts restriktionerna med pullbacks ; fibrerade kategorier utgör då ett bra ramverk för att diskutera möjligheten till sådan limning. Den intuitiva innebörden av en stack är att det är en fiberkategori så att "alla möjliga limningar fungerar". Specifikationen av limningar kräver en definition av beläggningar med hänsyn till vilka limningarna kan beaktas. Det visar sig att det allmänna språket för att beskriva dessa beläggningar är det för en Grothendieck-topologi . Således ges en stack formellt som en fiberkategori över en annan baskategori , där basen har en Grothendieck-topologi och där fiberkategorin uppfyller ett fåtal axiom som säkerställer existens och unikhet hos vissa limningar med avseende på Grothendieck-topologin.

Översikt

Stackar är den underliggande strukturen för algebraiska stackar (även kallade Artin-stackar) och Deligne–Mumford-stackar, som generaliserar scheman och algebraiska utrymmen och som är särskilt användbara för att studera modulutrymmen . Det finns inneslutningar:

scheman ⊆ algebraiska mellanrum ⊆ Deligne–Mumford-stackar ⊆ algebraiska stackar (Artin stackar) ⊆ stackar.

Edidin (2003) och Fantechi (2001) ger en kort inledande redogörelse för stackar, Gómez (2001) , Olsson (2007) och Vistoli (2005) ger mer detaljerade introduktioner och Laumon & Moret-Bailly (2000) beskriver den mer avancerade teorin .

Motivation och historia

La slutsats pratique à laquelle je suis arrivé dès maintenant, c'est que chaque fois que en vertu de mes critères, une variété de modules (ou plutôt, un schéma de modules) pour la classification des variations (globales, ou infinitésimales) de certainesimales strukturer (variétés complètes non singulières, fibrés vectoriels, etc.) ne peut exister, malgré de bonnes hypothèses de platttitude, propreté, et non singularité éventuellement, la raison en est seulement l'existence d'automorphismes de lache structure technique qui deempê descente de marcher.

Grothendiecks brev till Serre, 1959 5 nov.

Begreppet stackar har sitt ursprung i definitionen av effektiva härkomstdata i Grothendieck (1959) . I ett brev från 1959 till Serre, observerade Grothendieck att ett grundläggande hinder för att konstruera bra modulrum är förekomsten av automorfismer. En stor motivation för stackar är att om ett modulutrymme för något problem inte existerar på grund av förekomsten av automorfismer, kan det fortfarande vara möjligt att konstruera en modulstack .

Mumford (1965) studerade Picard-gruppen av modulstapeln av elliptiska kurvor , innan stackar hade definierats. Stackar definierades först av Giraud ( 1966 , 1971 ), och termen "stack" introducerades av Deligne & Mumford (1969) för den ursprungliga franska termen "champ" som betyder "fält". I den här artikeln introducerade de också Deligne–Mumford-stackar , som de kallade algebraiska stackar, även om termen "algebraisk stack" nu vanligtvis syftar på de mer allmänna Artin-stackarna som introducerades av Artin ( 1974 ).

När man definierar kvoter för scheman genom gruppåtgärder är det ofta omöjligt för kvoten att vara ett schema och ändå tillfredsställa önskvärda egenskaper för en kvot. Till exempel, om några punkter har icke-triviala stabilisatorer, kommer den kategoriska kvoten inte att existera bland scheman, utan den kommer att existera som en stack.

På samma sätt definieras modulrum av kurvor, vektorbuntar eller andra geometriska objekt ofta bäst som stackar istället för scheman. Konstruktioner av modulutrymmen fortsätter ofta genom att först konstruera ett större utrymme som parametriserar objekten i fråga, och sedan kvotera genom gruppåtgärder för att ta hänsyn till objekt med automorfismer som har överräknats.

Definitioner

Abstrakta högar

En kategori $c$ med en funktion till en kategori $C$ kallas en fiberkategori över $C$ om för någon morfism $F:X\to Y$ i $C$ och valfritt objekt $y$ av $c$ med bild $Y$ (under funktorn), finns det en pullback $f:x\to y$ av $y$ med $F$ . Detta innebär en morfism med bild $F$ så att varje morfism $g:z\to y$ med bild $G=F\circ H$ kan vara faktoriserad som $g=f\circ h$ av en unik morfism $h:z\to x$ i $c$ så att funktorn mappar $h$ till $H$ . Elementet $x=F^{*}y$ kallas pullback av $y$ längs $F$ och är unikt upp till kanonisk isomorfism.

Kategorin c kallas en förstack över en kategori C med en Grothendieck-topologi om den är fiberdämpad över C och för något objekt U av C och objekt x , y av c med bild U , funktionsfaktorn från överkategorin C/U till mängder att ta F : V → U till Hom( F * x , F * y ) är en kärve. Denna terminologi överensstämmer inte med terminologin för skivor: förstackar är analogerna till separerade förskivor snarare än förskivor. Vissa författare kräver detta som en egenskap hos stackar, snarare än för prestackar.

Kategorin c kallas en stack över kategori C med en Grothendieck-topologi om den är en förstack över C och varje nedstigningsdatum är effektiv. En nedstigningsdatum består ungefär av en täckning av ett objekt x _V av C av en familj Vi _j , element xi _i fibern över V _i , och morfismer f _ji mellan begränsningarna av x _i och till V _ij = V _i × _V V _j som uppfyller kompatibilitetsvillkoret f _ki = f _kj f _ji . Nedstigningsdatumet kallas effektiv om elementen x _i i huvudsak är pullbacks av ett element x med bild V .

En stack kallas en stack i groupoids eller en (2,1)-shed om den också är fiberformad i groupoids, vilket betyder att dess fibrer (de omvända bilderna av objekt av C ) är groupoider. Vissa författare använder ordet "stack" för att referera till den mer restriktiva uppfattningen om en stack i groupoids.

Algebraiska stackar

En algebraisk stack eller Artin stack är en stack i groupoids X över fppf-platsen så att den diagonala kartan av X är representativ och det finns en jämn överblick från (stacken som är associerad med) ett schema till X. En morfism Y $\rightarrow$ X av stackar kan representeras om, för varje morfism S $\rightarrow$ X från (stacken som är associerad med) ett schema till X, är fiberprodukten Y × _X S isomorf till (stacken associerad med) ett algebraiskt utrymme . Fiberprodukten av stackar definieras med den vanliga universella egenskapen och ändrar kravet på att diagram pendlar till kravet att de 2-pendlar . Se även morfism av algebraiska stackar för ytterligare information.

Motivationen bakom diagonalens representabilitet är följande: den diagonala morfismen $\Delta :{\mathfrak {X}}\to {\mathfrak {X}}\times {\mathfrak { X}}$ är representerad om och endast om för något par av morfismer av algebraiska rum $X,Y\to {\mathfrak {X}}$ , deras fiberprodukt $X\times _{\mathfrak {X}}Y$ kan representeras.

En Deligne–Mumford-stack är en algebraisk stack X så att det finns en etale-överskott från ett schema till X . Grovt sett kan Deligne–Mumford-stackar ses som algebraiska stackar vars objekt inte har några oändliga automorfismer.

Lokal struktur av algebraiska stackar

Sedan starten av algebraiska stackar förväntades det att de är lokalt kvoterade stackar av formen $[{\text{Spec}}}(A)/G]$ där $G$ är en linjärt reduktiv algebraisk grupp . Detta visade sig nyligen vara fallet: givet en kvasi-separerad algebraisk stack ${\mathfrak {X}}$ lokalt av ändlig typ över ett algebraiskt stängt fält $k$ vars stabilisatorer är affina, och $x\in {\mathfrak {X}}(k)$ en jämn och stängd punkt med linjärt reduktiv stabilisatorgrupp $G_{x}$ , det finns ett etalehölje av GIT-kvot ${\displaystyle (U,u)\to (N_{x}//G_{x},0)} ,$ där ${\displaystyle N_{x}=(J_{x}/J_{x}^{2})^{\vee }} ,$ så att diagrammet

${\begin{matrix}([W /G_{x}],w)&\till &([N_{x}/G_{x}],0)\\\nedåtpil &&\nedåtpil \\(U,u)&\till &(N_{x }//G_{x},0)\end{matris}}$

är kartesisk, och det finns en etale-morfism

$f:([W/G_{x}],w)\to ({\mathfrak {X}},x)$

inducerar en isomorfism av stabilisatorgrupperna vid $w$ och $x$ .

Exempel

Elementära exempel

Varje kärve ${\mathcal {F}}:C^{op}\to Sets$ från en kategori $C$ med en Grothendieck-topologi kan kanoniskt förvandlas till en stack. För ett objekt ${\displaystyle X\in {\text{Ob}}(C)} ,$ istället för en uppsättning ${\mathcal {F}}(X)$ där är en groupoid vars objekt är elementen i ${\mathcal {F}}(X)$ och pilarna är identitetsmorfismen.
Mer konkret, låt $h$ vara en kontravariant funktion

$h:(Sch/S)^{op}\to Sets$

bestämmer denna funktion följande kategori

H

ett objekt är ett par $(X\to S,x)$ bestående av ett schema $X$ i $(Sch/ S)^{op}$ och ett element $x\in h(X)$
en morfism $(X\to S,x)\to (Y\to S,y)$ består av en morfism ${\ displaystyle \phi :X\to Y}$ i $(Sch/S)$ så att $h(\phi )(y)=x$ .

Via den glömska funktorn

p:H\to (Sch/S)

, är kategorin

H

en kategori som är fibrerad över

(Sch/S)

. Till exempel, om

X

är ett schema i

(Sch/S)

det den kontravarianta funktorn

{\displaystyle

och motsvarande fiberkategori är stacken som är kopplad till X . Staplar (eller förstaplar) kan konstrueras som en variant av denna konstruktion. Faktum är att vilket schema

{\displaystyle X} som helst

med en kvasikompakt diagonal är en algebraisk stack associerad med schemat

X

.

Högar av föremål

En gruppstack .
Modulstapeln av vektorbuntar : kategorin vektorbuntar V → S är en stapel över kategorin topologiska utrymmen S . En morfism från V → S till W → T består av kontinuerliga kartor från S till T och från V till W (linjär på fibrer) så att den uppenbara kvadraten pendlar. Villkoret att detta är en fiberkategori följer eftersom man kan ta tillbakadragningar av vektorbuntar över kontinuerliga kartor av topologiska utrymmen, och villkoret att ett nedstigningsdatum är effektivt följer eftersom man kan konstruera ett vektorknippe över ett utrymme genom att limma ihop vektorbuntar på delar av ett öppet lock.
Stapeln av kvasi-koherenta skivor på scheman (med avseende på fpqc-topologin och svagare topologier)
Stacken av affina scheman på ett basschema (igen med avseende på fpqc-topologin eller en svagare)

Konstruktioner med staplar

Stack kvoter

Om $X}$ $G$ $(Sch/S)$ ett schema och är ett smidigt affint gruppschema som verkar på $X$ , då är en kvotalgebraisk stack $[X/G]$ , som tar ett schema $Y\to S$ till groupoiden av $G$ -torsorer över $S$ -schema $Y$ med $G$ -ekvivariant mappar till $X$ . Explicit, givet ett mellanslag $X$ med en $G$ -åtgärd, bilda stacken $[X/G]$ som (intuitivt sett) skickar ett mellanslag ${\ displaystyle Y}$ till gruppoiden av pullback-diagram

$[X/G](Y)={\begin{Bmatrix}Z&{\xrightarrow {\Phi }}&X\\\downarrow &&\downarrow \\Y&{\xrightarrow {\phi }}&[X/G]\end{Bmatrix}}$

där $\Phi$ är en $G$ -ekvivariant morfism av utrymmen och $Z\to Y$ är en huvudsaklig $G$ -bunt. Morfismerna i denna kategori är bara morfismer av diagram där pilarna på höger sida är lika och pilarna på vänster sida är morfismer av huvudsakliga G {\displaystyle G $-buntar$ .

Klassificering av högar

Ett specialfall av detta när X är en punkt ger klassificeringsstacken BG för ett jämnt affint gruppschema G : ${\textbf {B}}G:=[pt/G].$ Den heter så eftersom kategorin $\mathbf {B} G(Y)$ , fibern över Y , är just kategorin $\operatorname {Bun} _{G}(Y)$ av huvud $G$ -buntar över $Y$ . Observera att $\operatorname {Bun} _{G}(Y)$ i sig kan betraktas som en stack, modulstapeln av huvudsakliga G -buntar på Y .

Ett viktigt underexempel från denna konstruktion är $\mathbf {B} GL_{n}$ som är modulstapeln av principiella $GL_{n}$ -buntar. Eftersom data för ett huvudsakligt $GL_{n}$ -paket är ekvivalent med data för ett rank $n$ vektorpaket, är detta isomorft med modulstapeln i rank $n$ vektorbuntar $Vect_{n}$ .

Modulstapel av linjebuntar

Modulstapeln av linjebuntar är $B\mathbb {G} _{m}$ eftersom varje linjebunt är kanoniskt isomorf till en principiell $\mathbb {G} _{m}$ - bunt. Givet ett radpaket $L$ över ett schema $S$ , den relativa spec

${\underline {\text{Spec}}}_{S}({\text{Sym}}_{S}(L^{\vee } ))\till S$

ger en geometrisk linjebunt. Genom att ta bort bilden av nollsektionen erhåller man ett principiellt $\mathbb {G} _{m}$ -paket. Omvänt, från representationen $id:\mathbb {G} _{m}\to {\text{Aut}}(\mathbb {A} ^{1})$ , kan det associerade linjepaketet rekonstrueras.

Gerbes

En gerbe är en stack i groupoids som alltid har en icke-tom kategori. till exempel den triviala gerben $BG$ som tilldelar varje schema gruppoiden för principal $G$ -buntar över schemat, för någon grupp $G$ .

Relativ spec och proj

Om A är en kvasikoherent bunt av algebror i en algebraisk stack X över ett schema S , så finns det en stack Spec( A ) som generaliserar konstruktionen av spektrum Spec( A ) för en kommutativ ring A . Ett objekt med Spec( A ) ges av ett S -schema T , ett objekt x av X ( T ) och en morfism av tältskivor av algebra från x *( A ) till koordinatringen O ( T ) för T .

Om A är en kvasikoherent bunt av graderade algebror i en algebraisk stack X över ett schema S , så finns det en stack Proj( A ) som generaliserar konstruktionen av det projektiva schemat Proj( A ) för en graderad ring A .

Moduli staplar

Moduler av kurvor

Mumford (1965) studerade modulstapeln M _1,1 för elliptiska kurvor och visade att dess Picard-grupp är cyklisk av ordningen 12. För elliptiska kurvor över de komplexa talen liknar motsvarande stapel en kvot av det övre halvplanet med funktionen hos den modulära gruppen .
Modulutrymmet för algebraiska kurvor ${\mathcal {M}}_{g}$ definierat som en universell familj av släta kurvor av ett givet släkte $g$ existerar inte som en algebraisk variant eftersom i synnerhet det finns kurvor som tillåter icke-triviala automorfismer. Det finns emellertid en modulstapel ${\mathcal {M}}_{g}$ som är ett bra substitut för det obefintliga fina modulutrymmet för jämna släktets $g$ -kurvor. Mer generellt finns det en modulstapel ${\mathcal {M}}_{g,n}$ av släktet $g$ -kurvor med $n$ markerade punkter. I allmänhet är detta en algebraisk stack och är en Deligne–Mumford stack för $g\geq 2$ eller $g=1,n\geq 1$ eller $g=0,n\geq 3$ (med andra ord när kurvornas automorfismgrupper är ändliga). Denna modulstapel har en komplettering som består av modulstapeln av stabila kurvor (för givna $g$ och $n$ ) som är korrekt över Spec Z . Till exempel ${\mathcal {M}}_{0}$ klassificeringsstacken $B{\text{PGL}}(2)$ för den projektiva generella linjära gruppen. (Det finns en subtilitet i att definiera ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1}},$ eftersom man måste använda algebraiska mellanslag snarare än scheman för att konstruera det.)

Kontsevich moduli utrymmen

En annan allmänt studerad klass av modulutrymmen är Kontsevich modulutrymmen som parametriserar utrymmet för stabila kartor mellan kurvor av ett fixerat släkte till ett fixerat utrymme X {\ $X}$ vars bild representerar en fixerad kohomologiklass. Dessa modulutrymmen betecknas

${\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}(X,\beta )$

och kan ha vilda beteenden, som att vara reducerbara stackar vars komponenter inte har samma dimension. Till exempel modulstacken

${\overline {\mathcal {M}}}_{1,0}(\mathbb {P} ^{2},3[H])$

har jämna kurvor parametriserade av en öppen delmängd $U\subset \mathbb {P} ^{9}=\mathbb {P} (\Gamma (\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}(3)))$ . På gränsen för modulutrymmet, där kurvor kan degenerera till reducerbara kurvor, finns det en delstack som parametriserar reducerbara kurvor med en släkte {\ $displaystyle 0}$ -komponent och en genus $1$ -komponent som skär varandra vid en punkt, och kartan skickar kurvan för genus $1$ till en punkt. Eftersom alla sådana släkt $1$ -kurvor parametriseras av $U$ , och det finns ytterligare $1$ -dimensionellt val av var dessa kurvor skär varandra på släktets $1$ -kurva, gränskomponenten har dimension $10$ .

Andra modulhögar

En Picard-stack generaliserar en Picard-variant .
Modulstapeln av formella grupplagar klassificerar formella grupplagar .
Ett ind-schema som ett oändligt projektivt utrymme och ett formellt schema är en stack.
En modulstapel av shtukas används i geometriska Langlands-program . (Se även shtukas .)

Geometriska staplar

Viktade projektiva staplar

Att konstruera viktade projektiva utrymmen innebär att man tar kvotvarianten av några $\mathbb {A} ^{n+1}-\{0\}$ med en $\mathbb {G } _{m}$ -åtgärd. I synnerhet skickar handlingen en tupel

$g\cdot (x_{0},\ldots ,x_{n})\mapsto (g^{ a_{0}}x_{0},\ldots ,g^{a_{n}}x_{n})$

och kvoten för denna åtgärd ger det viktade projektiva utrymmet $\mathbb {WP} (a_{0},\ldots ,a_{n})$ . Eftersom detta istället kan tas som en stackkvot, är den viktade projektiva stacken ^{pg 30}

${\textbf {WP}}(a_{0},\ldots ,a_{n}):=[\mathbb {A} ^{n}-\{0\}/\mathbb {G} _{m}]$

Ta det försvinnande lokuset för ett viktat polynom i en linjebunt $f\in \Gamma ({\textbf {WP}}(a_{ 0},\ldots ,a_{n}),{\mathcal {O}}(a))$ ger en stapelvikt projektiv variation.

Stapliga kurvor

Staplade kurvor , eller orbicurves, kan konstrueras genom att ta stackkvoten av en morfism av kurvor av monodromigruppen av omslaget över de generiska punkterna. Ta till exempel en projektiv morfism

${\text{Proj}}(\mathbb {C} [x ,y,z]/(x^{5}+y^{5}+z^{5}))\till {\text{Proj}}(\mathbb {C} [x,y])$

som är generiskt etale . Domänens stackkvot med $\mu _{5}$ ger en stacky $\mathbb {P} ^{1}$ med stacky points som har stabilisatorgrupp $\mathbb {Z} /5$ vid de femte rötterna av enhet i $x/y$ -diagrammet. Detta beror på att det är de punkter där locket förgrenar sig. ^{[ citat behövs ]}

Icke-affin stack

Ett exempel på en icke-affin stack ges av halvlinjen med två stackiga ursprung. Detta kan konstrueras som en gräns för två inkludering av $[\mathbb {G} _{m}/(\mathbb { Z} /2)]\till [\mathbb {A} ^{1}/(\mathbb {Z} /2)]$ .

Kvasikoherenta skivor på algebraiska stackar

På en algebraisk stack kan man konstruera en kategori av kvasi-koherenta skivor liknande kategorin av kvasi-koherenta skivor över ett schema.

En kvasi-koherent kärve är ungefär en som ser lokalt ut som kärven av en modul över en ring. Det första problemet är att bestämma vad man menar med "lokalt": detta involverar valet av en Grothendieck-topologi, och det finns många möjliga val för detta, som alla har vissa problem och ingen av dem verkar helt tillfredsställande. Grothendieck-topologin bör vara tillräckligt stark så att stapeln är lokalt affin i denna topologi: scheman är lokalt affin i Zariski-topologin, så detta är ett bra val för scheman som Serre upptäckte, algebraiska rum och Deligne–Mumford-stackar är lokalt affina i etale-topologi så man använder vanligtvis etale-topologin för dessa, medan algebraiska stackar är lokalt affina i den jämna topologin så man kan använda den jämna topologin i detta fall. För generella algebraiska stackar har etale-topologin inte tillräckligt många öppna uppsättningar: om G till exempel är en jämnt sammankopplad grupp så är de enda etale-omslagen av den klassificerande stapeln BG sammanslutningar av kopior av BG, som inte räcker för att ge rätt teori av kvasikoherenta skivor.

Istället för att använda den jämna topologin för algebraiska stackar använder man ofta en modifikation av den som kallas Lis-Et-topologin (förkortning av Lisse-Etale: lisse är den franska termen för jämn), som har samma öppna uppsättningar som den jämna topologin men öppna omslag ges av etale snarare än släta kartor. Detta verkar vanligtvis leda till en likvärdig kategori av kvasi-koherenta skivor, men är lättare att använda: det är till exempel lättare att jämföra med etale-topologin på algebraiska rum. Lis-Et-topologin har ett subtilt tekniskt problem: en morfism mellan stackar ger i allmänhet inte en morfism mellan motsvarande topoi. (Problemet är att även om man kan konstruera ett par sammanhängande funktorer f _* , f *, som behövs för en geometrisk morfism av topoi, så lämnas funktorn f * inte exakt i allmänhet. Detta problem är ökänt för att ha orsakat vissa fel i publicerade tidningar och böcker.) Detta betyder att det kräver lite extra ansträngning att konstruera tillbakadragningen av en kvasikoherent bunt under en morfism av staplar.

Det är också möjligt att använda finare topologier. De flesta rimliga "tillräckligt stora" Grothendieck-topologier verkar leda till likvärdiga kategorier av kvasi-koherenta skivor, men ju större en topologi är desto svårare är den att hantera, så man föredrar i allmänhet att använda mindre topologier så länge de har tillräckligt många öppna uppsättningar. Till exempel leder den stora fppf-topologin till i huvudsak samma kategori av kvasi-koherenta skivor som Lis-Et-topologin, men har ett subtilt problem: den naturliga inbäddningen av kvasi-koherenta skivor i O X-moduler i denna topologi är inte _exakt ( det bevarar inte kärnor i allmänhet).

Andra typer av stack

Differentierbara stackar och topologiska stackar definieras på ett sätt som liknar algebraiska stackar, förutom att den underliggande kategorin av affina scheman ersätts av kategorin släta grenrör eller topologiska utrymmen.

Mer generellt kan man definiera begreppet en n -kugg eller n -1 stack, som ungefär är en sorts skarv som tar värden i n -1 kategorier. Det finns flera olika sätt att göra detta på. 1-skivor är detsamma som skivor, och 2-skivor är samma som stackar. De kallas högre stackar.

En mycket liknande och analog förlängning är att utveckla stackteorin på icke-diskreta objekt (dvs. ett utrymme är verkligen ett spektrum i algebraisk topologi). De resulterande staplade objekten kallas härledda stackar (eller spektrala stackar). Jacob Luries underbyggda bok Spectral Algebraic Geometry studerar en generalisering som han kallar en spektral Deligne–Mumford-stack. Per definition är det en ringad ∞-topos som är étale-lokalt etale-spektrumet för en E _∞ -ring (denna begrepp subsumerar det för ett härlett schema , åtminstone i karakteristisk noll.)

Mängdteoretiska problem

Det finns några mindre mängdteoretiska problem med den vanliga grunden för teorin om stackar, eftersom stackar ofta definieras som vissa funktioner till kategorin mängder och är därför inte mängder. Det finns flera sätt att hantera detta problem:

Man kan arbeta med Grothendieck-universum: en stack är då en funktionator mellan klasser av något fast Grothendieck-universum, så dessa klasser och stackarna är uppsättningar i ett större Grothendieck-universum. Nackdelen med detta tillvägagångssätt är att man måste anta att det finns tillräckligt många Grothendieck-universum, vilket i grunden är ett stort kardinalaxiom .
Man kan definiera stackar som funktioner för uppsättningen av uppsättningar av tillräckligt stor rang, och hålla noggrann reda på rangorden för de olika uppsättningarna man använder. Problemet med detta är att det innebär ytterligare en ganska tröttsam bokföring.
Man kan använda reflektionsprinciper från mängdteorin som säger att man kan hitta mängdmodeller av vilket ändligt fragment som helst av ZFC:s axiom för att visa att man automatiskt kan hitta mängder som är tillräckligt nära approximationer till universum av alla mängder.
Man kan helt enkelt ignorera problemet. Detta är det tillvägagångssätt som många författare använder.

Se även

Anteckningar

Pedagogisk

Behrend, Kai; Conrad, Brian; Edidin, Dan; Fulton, William; Fantechi, Barbara; Göttsche, Lothar; Kresch, Andrew (2006), Algebraiska stackar , arkiverad från originalet 2008-05-05
Goméz, Tomás (1999), Algebraiska stackar , arXiv : math/9911199 , Bibcode : 1999math.....11199G är en expository-artikel som beskriver grunderna för stackar med exempel.
Edidin, Dan (2003), "Vad är... en stack?" (PDF) , Meddelanden från AMS , 50 (4): 458–459

Guider till litteraturen

Referenser

Artin, Michael (1974), "Versala deformationer och algebraiska staplar", Inventiones Mathematicae , 27 (3): 165–189, bibcode : 1974inmat..27..165a , doi : 10.1007/bf01390174 , Issn 0020-9910 , Mr 039909 , S2CID 122887093
Deligne, Pierre ; Mumford, David (1969), "The irreducibility of the space of curves of given genus" , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 36 (36): 75–109, CiteSeerX 10.1.1.589.288 , doi : 10.1028/ISB5096 , ISBF 96/46 1618-1913 , MR 0262240 , S2CID 16482150
Fantechi, Barbara (2001), "Stackar för alla" (PDF) , European Congress of Mathematics Volym I , Progr. Math., vol. 201, Basel: Birkhäuser, s. 349–359, ISBN 3-7643-6417-3 , MR 1905329
Giraud, Jean (1964), "Méthode de la descente" , Société Mathématique de France. Bulletin. Tillägg. Mémoire , 2 : viii+150, MR 0190142
Giraud, Jean (1966), Cohomologie non abélienne de degré 2 , avhandling, Paris
Giraud, Jean (1971), Cohomologie non abélienne , Springer , ISBN 3-540-05307-7
Gómez, Tomás L. (2001), "Algebraic stacks", Proceedings - Mathematical Sciences , 111 (1): 1–31, arXiv : math/9911199 , doi : 10.1007/BF02829538 , MR 83ID 38, S28ID 831 , S28
Grothendieck, Alexander (1959). "Technique de descente et théorèmes d'existence en géométrie algébrique. I. Généralités. Descente par morphismes fidèlement plats" . Seminar Bourbaki . 5 (Exposé 190).
Laumon, Gérard; Moret-Bailly, Laurent (2000), Champs algébriques , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics, vol. 39, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-65761-3 , MR 1771927 Tyvärr använder den här boken det felaktiga påståendet att morfismer av algebraiska stackar inducerar morfismer av lisse-étale topoi. En del av dessa fel har åtgärdats av Olsson (2007) .
Laszlo, Yves; Olsson, Martin (2008), "The sex operations for sheaves on Artin stacks. I. Finita coefficients", Institut des Hautes Études Scientifiques. Publications Mathématiques , 107 (1): 109–168, arXiv : math/0512097 , doi : 10.1007/s10240-008-0011-6 , MR 2434692 , S2CID 3718011
Mumford, David (1965), "Picard groups of moduli problems" , i Schilling, OFG (red.), Arithmetical Algebraic Geometry (Proc. Conf. Purdue Univ., 1963) , New York: Harper & Row, s. 33– 81, MR 0201443
Olsson, Martin Christian (2007), Geraschenko, Anton (red.), Kursanteckningar för Math 274: Stacks (PDF)
Olsson, Martin (2016), Algebraic spaces and stacks , Colloquium Publications, vol. 62, American Mathematical Society, ISBN 978-1470427986
Vistoli, Angelo (2005), "Grotendieck-topologier, fiberkategorier och härkomstteori", Grundläggande algebraisk geometri , matematik. Surveys Monogr., vol. 123, Providence, RI: Amer. Matematik. Soc., s. 1–104, arXiv : math/0412512 , Bibcode : 2004math.....12512V , MR 2223406

Vidare läsning

Morava, Jack (2012). "Teorier om vad som helst". arXiv : 1202.0684 [ math.CT ].

externa länkar

stack på n Lab
nedstigning vid n Lab
de Jong, Aise Johan, Stacks Project
Fulton, William, vad är en stack? , MSRI videoföreläsning och anteckningar
Toën, Bertrand (2007), Cours de Master 2 : Champs algébriques (2006-2007)
"Bra inledande referenser på algebraiska stackar?"