Morfism

I matematik , särskilt i kategoriteori , är en morfism en strukturbevarande karta från en matematisk struktur till en annan av samma typ. Uppfattningen om morfism återkommer i mycket av samtida matematik. I mängdlära är morfismer funktioner ; i linjär algebra , linjära transformationer ; i gruppteori , grupphomomorfismer ; i topologi , kontinuerliga funktioner och så vidare.

I kategoriteorin är morfism en i stort sett liknande idé : de inblandade matematiska objekten behöver inte vara mängder, och relationerna mellan dem kan vara något annat än kartor, även om morfismen mellan objekten i en given kategori måste bete sig på samma sätt som kartor i det att de måste erkänna en associativ operation som liknar funktionssammansättning . En morfism i kategoriteori är en abstraktion av en homomorfism .

Studiet av morfismer och av de strukturer (kallade "objekt") över vilka de definieras är centralt för kategoriteorin. Mycket av terminologin för morfismer, såväl som den intuition som ligger till grund för dem, kommer från konkreta kategorier , där objekten helt enkelt är uppsättningar med någon ytterligare struktur , och morfismer är strukturbevarande funktioner . I kategoriteorin kallas morfismer ibland också för pilar .

Definition

En kategori C består av två klasser , en av objekt och den andra av morfismer . Det finns två objekt som är associerade med varje morfism, källan och målet . En morfism f med källa X och mål Y skrivs f : X → Y , och representeras schematiskt av en pil från X till Y .

För många vanliga kategorier är objekt uppsättningar (ofta med någon extra struktur) och morfismer är funktioner från ett objekt till ett annat objekt. Därför kallas källan och målet för en morfism ofta för domän respektive kodomän .

Morfismer är utrustade med en partiell binär operation , kallad komposition . Sammansättningen av två morfismer f och g definieras exakt när målet för f är källan till g , och betecknas g ∘ f (eller ibland helt enkelt gf ). Källan för g ∘ f är källan till f , och målet för g ∘ f är målet för g . Kompositionen uppfyller två axiom :

Identitet: För varje objekt X finns det en morfism id _X : X → X som kallas identitetsmorfismen på X , så att vi för varje morfism f : A → B har id _B ∘ f = f = f ∘ id _A .
Associativitet: h ∘ ( g ∘ f ) = ( h ∘ g ) ∘ f närhelst alla kompositioner är definierade, dvs när målet för f är källan till g och målet för g är källan till h .

För en konkret kategori (en kategori där objekten är uppsättningar, eventuellt med ytterligare struktur, och morfismerna är strukturbevarande funktioner), är identitetsmorfismen bara identitetsfunktionen och sammansättning är bara vanlig sammansättning av funktioner .

Sammansättningen av morfismer representeras ofta av ett kommutativt diagram . Till exempel,

Samlingen av alla morfismer från X till Y betecknas Hom _C ( X , Y ) eller helt enkelt Hom( X , Y ) och kallas hom-mängden mellan X och Y . Vissa författare skriver Mor _C ( X , Y ), Mor( X , Y ) eller C( X , Y ). Observera att termen hom-set är något av en felaktig benämning, eftersom samlingen av morfismer inte krävs för att vara en mängd; en kategori där Hom( X , Y ) är en uppsättning för alla objekt X och Y kallas lokalt liten . Eftersom hom-set kanske inte är set, föredrar vissa människor att använda termen "hom-class".

Observera att domänen och koddomänen faktiskt är en del av informationen som bestämmer en morfism. Till exempel, i kategorin uppsättningar , där morfismer är funktioner, kan två funktioner vara identiska som uppsättningar av ordnade par (kan ha samma intervall ), samtidigt som de har olika koddomäner. De två funktionerna skiljer sig från kategoriteoretisk synvinkel. Sålunda kräver många författare att hom-klasserna Hom( X , Y ) är disjunkta . I praktiken är detta inte ett problem eftersom om denna osammanhängighet inte håller kan den säkerställas genom att lägga till domänen och kodomänen till morfismerna (säg som den andra och tredje komponenten i en ordnad trippel).

Några speciella morfismer

Monomorfismer och epimorfismer

En morfism f : X → Y kallas monomorfism om f ∘ g ₁ = f ∘ g ₂ innebär g ₁ = g ₂ för alla morfismer g ₁ , g ₂ : Z → X . En monomorfism kan kort kallas mono , och vi kan använda monik som adjektiv. En morfism f har en vänsterinvers eller är en delad monomorfism om det finns en morfism g : Y → X så att g ∘ f = id _X . Således är f ∘ g : Y → Y idempotent ; dvs ( f ∘ g ) ² = f ∘ ( g ∘ f ) ∘ g = f ∘ g . Det vänstra inversa g kallas också en retraktion av f .

Morfismer med vänstra inverser är alltid monomorfismer, men det omvända är inte sant i allmänhet; en monomorfism kan misslyckas med att ha en vänsterinvers. I konkreta kategorier är en funktion som har en vänsterinvers injektiv . Sålunda i konkreta kategorier är monomorfismer ofta, men inte alltid, injektiva. Villkoret att vara en injektion är starkare än att vara en monomorfism, men svagare än att vara en delad monomorfism.

Dualt till monomorfismer kallas en morfism f : X → Y en epimorfism om g ₁ ∘ f = g ₂ ∘ f innebär g ₁ = g ₂ för alla morfismer g ₁ , g ₂ : Y → Z . En epimorfism kan kallas epi för kort, och vi kan använda episk som ett adjektiv. En morfism f har en rätt invers eller är en delad epimorfism om det finns en morfism g : Y → X så att f ∘ g = id _Y . Det högra inversa g kallas också en sektion av f . Morfismer som har en höger invers är alltid epimorfismer, men det omvända är inte sant i allmänhet, eftersom en epimorfism kanske misslyckas med att ha en höger invers.

Om en monomorfism f delar sig med vänster invers g , så är g en delad epimorfism med höger invers f . I konkreta kategorier är en funktion som har en rätt invers surjektiv . Sålunda i konkreta kategorier är epimorfismer ofta, men inte alltid, surjektiva. Tillståndet att vara en operation är starkare än att vara en epimorfism, men svagare än att vara en delad epimorfism. I kategorin uppsättningar är påståendet att varje operation har en sektion ekvivalent med valets axiom .

En morfism som är både en epimorfism och en monomorfism kallas en bimorfism .

Isomorfismer

En morfism f : X → Y kallas en isomorfism om det finns en morfism g : Y → X så att f ∘ g = id _Y och g ∘ f = id _X . Om en morfism har både vänster-invers och höger-invers, så är de två inverserna lika, så f är en isomorfism, och g kallas helt enkelt inversen av f . Omvända morfismer, om de finns, är unika. Det inversa g är också en isomorfism, med invers f . Två objekt med en isomorfism mellan sig sägs vara isomorfa eller likvärdiga.

Medan varje isomorfism är en bimorfism, är en bimorfism inte nödvändigtvis en isomorfism. Till exempel, i kategorin kommutativa ringar är inkluderingen Z → Q en bimorfism som inte är en isomorfism. Men varje morfism som är både en epimorfism och en delad monomorfism, eller både en monomorfism och en delad epimorfism, måste vara en isomorfism. En kategori, till exempel en uppsättning , där varje bimorfism är en isomorfism kallas en balanserad kategori .

Endomorfismer och automorfismer

En morfism f : X → X (det vill säga en morfism med identisk källa och mål) är en endomorfism av X . En delad endomorfism är en idempotent endomorfism f om f medger en nedbrytning f = h ∘ g med g ∘ h = id. I synnerhet Karoubi-höljet i en kategori upp varje idempotent morfism.

En automorfism är en morfism som är både en endomorfism och en isomorfism. I varje kategori bildar ett objekts automorfism alltid en grupp , som kallas objektets automorfismgrupp .

Exempel

För algebraiska strukturer som vanligtvis betraktas i algebra , såsom grupper , ringar , moduler , etc., är morfismerna vanligtvis homomorfismerna , och begreppen isomorfism, automorfism, endomorfism, epimorfism och monomorfism är desamma som de ovan definierade. Men i fallet med ringar betraktas "epimorfism" ofta som en synonym till " surjection ", även om det finns ringepimorfismer som inte är surjektiva (t.ex. när man bäddar in heltalen i de rationella talen ).
I kategorin topologiska utrymmen är morfismerna de kontinuerliga funktionerna och isomorfismer kallas homeomorfismer . Det finns bijektioner (det vill säga isomorfismer av mängder) som inte är homeomorfismer.
I kategorin släta grenrör är morfismerna de släta funktionerna och isomorfismer kallas diffeomorfismer .
I kategorin små kategorier är morfismerna funktorer .
I en funktionskategori är morfismerna naturliga transformationer .

För fler exempel, se Kategoriteori .

Se även

Anteckningar

Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra , vol. 2 (andra upplagan), Dover, ISBN 978-0-486-47187-7 .
Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E. (1990). Abstrakta och konkreta kategorier (PDF) . John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6 . Nu tillgänglig som gratis onlineutgåva (4,2 MB PDF).

externa länkar

"Morphism" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]