Ändligt genererad algebra

Inom matematiken är en finit genererad algebra (även kallad en algebra av finit typ ) en kommutativ associativ algebra A över ett fält K där det finns en finit uppsättning element a ₁ ,..., a _n av A så att varje element av A kan uttryckas som ett polynom i a ₁ ,..., a _n , med koefficienter i K .

På motsvarande sätt finns det element $a_{1},\dots ,a_{n}\in A$ st utvärderingshomomorfismen vid ${ \displaystyle {\bf {a}}=(a_{1},\dots ,a_{n})}$

$\phi _{\bf {a}}\colon K[X_{1},\dots ,X_{n}]\twoheadrightarrow A$

är surjektiv ; alltså, genom att tillämpa den första isomorfismsatsen , $A\simeq K[X_{1},\dots ,X_{n}] /{\rm {ker}}(\phi _{\bf {a}})$ .

Omvänt , $A:=K[X_{1},\dots ,X_{n}]/I$ för alla ideal $I\subset K[X_{1},\dots ,X_{n}]$ är en $K$ -algebra av ändlig typ, faktiskt vilket element som helst i $A$ är ett polynom i bimängderna $a_{i}:=X_{i}+I,i=1,\dots ,n$ med koefficienter i $K$ . Därför får vi följande karakterisering av ändligt genererade $K$ -algebror

$A$ är en ändligt genererad $K$ -algebra om och endast om den är isomorf till en kvotring av typen $K[X_ {1},\dots ,X_{n}]/I$ med ett ideal $I\subset K[X_{1},\dots ,X_{n} ]$ .

Om det är nödvändigt att betona fältet K så sägs algebra vara ändligt genererad över K . Algebror som inte genereras ändligt kallas oändligt genererade .

Exempel

• Polynomalgebran K [ x ₁ ,..., x _n ] genereras ändligt . Polynomalgebra i otaligt oändligt många generatorer genereras oändligt.
• Fältet E = K ( t ) för rationella funktioner i en variabel över ett oändligt fält K är inte en finit genererad algebra över K. Å andra sidan genereras E över K av ett enda element, t , som ett fält .
• Om E / F är en finit fältförlängning så följer det av definitionerna att E är en finit genererad algebra över F.
• Omvänt, om E / F är en fältförlängning och E är en ändligt genererad algebra över F så är fältförlängningen finit. Detta kallas Zariskis lemma . Se även integrerad förlängning .
• Om G är en ändligt genererad grupp så är gruppalgebra KG en ändligt genererad algebra över K .

Egenskaper

• En homomorf bild av en ändligt genererad algebra är själv ändligt genererad. En liknande egenskap för subalgebra gäller dock inte i allmänhet.
• Hilberts grundsats : om A är en ändligt genererad kommutativ algebra över en Noether-ring så genereras varje ideal av A ändligt, eller motsvarande, A är en Noether-ring.

Relation med affina sorter

Finitely genererade reducerade kommutativa algebror är grundläggande föremål för övervägande i modern algebraisk geometri , där de motsvarar affina algebraiska varianter ; av denna anledning kallas dessa algebror också (kommutativa) affina algebror . Mer exakt, givet en affin algebraisk mängd $V\subset \mathbb {A} ^{n}$ kan vi associera en ändligt genererad $K$ -algebra

$\Gamma (V):=K[X_{1},\dots ,X_{n}]/I(V )$

kallas den affina koordinatringen för $V$ ; dessutom, om $\phi \colon V\to W$ är en vanlig karta mellan de affina algebraiska mängderna $V\subset \mathbb {A} ^{n}$ och $W\subset \mathbb {A} ^{m}$ , vi kan definiera en homomorfism av $K$ -algebror

$\Gamma (\phi )\equiv \phi ^{*}\colon \Gamma ( W)\till \Gamma (V),\,\phi ^{*}(f)=f\circ \phi ,$

då är $\Gamma$ en kontravariant funktor från kategorin affina algebraiska mängder med reguljära kartor till kategorin reducerade ändligt genererade $K$ -algebras: denna funktion visar sig vara en ekvivalens av kategorier

$\Gamma \colon ({\text{affina algebraiska mängder}})^{\rm {opp}}\to ({ \text{reducerad ändligt genererad }}K{\text{-algebras}}),$

och, begränsande till affina varianter (dvs. irreducerbara affina algebraiska uppsättningar),

$\Gamma \colon ({\text{affina algebraiska varianter}})^{\rm {opp}}\to ({\text{integral ändligt genererad }}K{\text{-algebras}}).$

Finita algebror vs algebror av finit typ

Vi minns att en kommutativ $R$ - algebra $A$ är en ringhomomorfism $\phi \colon R\to A$ ; R $R$ - modulstrukturen för $displaystyle A}$ definieras av

$\lambda \cdot a:=\phi (\lambda )a,\quad \lambda \in R,a\in A.$

En $R$ -algebra $A$ är finit om den ändligt genereras som en $R$ -modul, dvs det finns en surjektiv homomorfism av $R$ -moduler

$R^{\oplus _{n}}\twoheadrightarrow A.$

Återigen finns det en karakterisering av finita algebror i termer av kvoter

En $R$ -algebra $A$ är finit om och endast om den är isomorf till en kvot $R^{\oplus _{n}}/M$ med en $R$ - undermodul $M\subset R$ .

Per definition är en finit $R$ -algebra av finit typ, men motsatsen är falsk: polynomringen $R[X]$ är av finit typ men inte finit.

Finita algebror och algebror av finit typ är relaterade till begreppen finita morfismer och morfismer av finit typ .

Se även

• Äntligen genererad modul
• Äntligen genererad fältförlängning
• Artin–Tate lemma
• Finit algebra
• Morfism av ändlig typ