Representativ funktionär

Inom matematiken , särskilt kategoriteori , är en representabel funktor en viss funktor från en godtycklig kategori till kategorin av mängder . Sådana funktorer ger representationer av en abstrakt kategori i termer av kända strukturer (dvs. mängder och funktioner ) vilket gör att man kan utnyttja, så mycket som möjligt, kunskap om kategorin av mängder i andra inställningar.

Ur en annan synvinkel är representativa funktorer för en kategori C de funktioner som anges med C . Deras teori är en stor generalisering av övre uppsättningar i posets , och av Cayleys sats i gruppteorin .

Definition

Låt C vara en lokalt liten kategori och låt Set vara kategorin av mängder . För varje objekt A av C låt Hom( A ,–) vara hom-funktorn som mappar objekt X till mängden Hom( A , X ).

En funktion F : C → Mängd sägs vara representabel om den är naturligt isomorf till Hom( A ,–) för något objekt A av C . En representation av F är ett par ( A , Φ) där

Φ : Hom( A ,–) → F

är en naturlig isomorfism.

En kontravariant funktor G från C till Set är samma sak som en funktor G : C ^op → Set och kallas vanligen en presheaf . En presheaf är representabel när den är naturligt isomorf till den kontravarianta hom-funktorn Hom(–, A ) för något objekt A av C .

Universella element

Enligt Yonedas lemma är naturliga transformationer från Hom( A ,–) till F i en-till-en-överensstämmelse med elementen i F ( A ). Givet en naturlig transformation Φ : Hom( A ,–) → F ges motsvarande element u ∈ F ( A ) av

u=\Phi _{A}(\mathrm {id} _{A}).\,

Omvänt, givet vilket element som helst u ∈ F ( A ) kan vi definiera en naturlig transformation Φ : Hom( A ,–) → F via

\Phi _{X}(f)=(Ff)(u)\,

där f är ett element av Hom( A , X ). För att få en representation av F vill vi veta när den naturliga transformationen som induceras av u är en isomorfism. Detta leder till följande definition:

Ett universellt element i en funktion F : C → Mängd är ett par ( A , u ) som består av ett objekt A av C och ett element u ∈ F ( A ) så att för varje par ( X , v ) som består av ett objekt X av C och ett element v ∈ F ( X ) finns det en unik morfism f : A → X så att ( Ff )( u ) = v .

Ett universellt element kan ses som en universell morfism från enpunktsmängden {•} till funktorn F eller som ett initialt objekt i kategorin element av F .

Den naturliga omvandlingen som induceras av ett element u ∈ F ( A ) är en isomorfism om och endast om ( A , u ) är ett universellt element i F . Vi drar därför slutsatsen att representationer av F är i en-till-en-överensstämmelse med universella element av F . Av denna anledning är det vanligt att referera till universella element ( A , u ) som representationer.

Exempel

Betrakta den kontravarianta funktorn P : Set → Set som mappar varje uppsättning till sin effektuppsättning och varje funktion till sin inversa bildkarta . För att representera denna funktion behöver vi ett par ( A , u ) där A är en mängd och u är en delmängd av A , dvs ett element av P ( A ), så att för alla mängder X , hom-mängden Hom( X , A ) är isomorf till P ( X ) via Φ _X ( f ) = ( Pf ) u = f ⁻¹ ( u ). Ta A = {0,1} och u = {1}. Givet en delmängd S ⊆ X är motsvarande funktion från X till A den karakteristiska funktionen för S .
Glömska funktorer att ställa är mycket ofta representativa. I synnerhet representeras en glömsk funktor av ( A , u ) närhelst A är ett fritt objekt över en singleton-uppsättning med generator u .
- Den glömska funktorn Grp → Ställ in på kategorin av grupper representeras av ( Z , 1).
- Den glömska funktorn Ring → Inställd på kategorin ringar representeras av ( Z [ x ], x ), polynomringen i en variabel med heltalskoefficienter .
- Den glömska funktorn Vect → Inställd på kategorin av verkliga vektorrum representeras av ( R , 1).
- Den glömska funktorn Top → Inställd på kategorin topologiska utrymmen representeras av vilket enda topologiskt utrymme som helst med dess unika element.
En grupp G kan betraktas som en kategori (även en groupoid ) med ett objekt som vi betecknar med •. En funktion från G till Set motsvarar då en G -uppsättning . Den unika hom-funktorn Hom(•,–) från G till Set motsvarar den kanoniska G -mängden G med verkan av vänster multiplikation. Standardargument från gruppteorin visar att en funktion från G till Set är representabel om och endast om motsvarande G -mängd helt enkelt är transitiv (dvs en G -torsor eller heap ). Att välja en representation motsvarar att välja en identitet för högen.
Låt C vara kategorin av CW-komplex med morfismer som ges av homotopiklasser av kontinuerliga funktioner. För varje naturligt tal n finns en kontravariant funktion H ⁿ : C → Ab som tilldelar varje CW-komplex sin n ^:te kohomologigrupp (med heltalskoefficienter). När vi komponerar detta med den glömska funktorn har vi en kontravariant funktion från C till Set . Browns representabilitetssats i algebraisk topologi säger att denna funktor representeras av ett CW-komplex K ( Z , n ) som kallas ett Eilenberg–MacLane-utrymme .
Låt R vara en kommutativ ring med identitet, och låt R - Mod vara kategorin av R -moduler. Om M och N är enhetliga moduler över R , finns det en kovariansfunktion B : R - Mod → Uppsättning som tilldelar varje R -modul P uppsättningen av R -bilinjära kartor M × N → P och till varje R -modul homomorfism f : P → Q funktionen B ( f ) : B ( P ) → B ( Q ) som skickar varje bilinjär karta g : M × N → P till den bilinjära kartan f ∘ g : M × N → Q . Funktionen B representeras av R -modulen M ⊗ _R N .

Egenskaper

Unikhet

Representationer av funktorer är unika upp till en unik isomorfism. Det vill säga, om ( A ₁ ,Φ ₁ ) och ( A ₂ , Φ ₂ ) representerar samma funktion, så finns det en unik isomorfism φ : A ₁ → A ₂ så att

\Phi _{1}^{-1}\circ \Phi _{2}=\mathrm {Hom} (\varphi ,-)

som naturliga isomorfismer från Hom( A ₂ ,–) till Hom( A ₁ ,–). Detta faktum följer lätt av Yonedas lemma .

Uttryckt i termer av universella element: om ( A ₁ , u ₁ ) och ( A ₂ , u ₂ ) representerar samma funktion, så finns det en unik isomorfism φ : A ₁ → A ₂ så att

(F\varphi )u_{1}=u_{2}.

Bevarande av gränser

Representerbara funktioner är naturligt isomorfa till Hom-funktioner och delar därför sina egenskaper. Speciellt bevarar (kovarianta) representerbara funktorer alla gränser . Det följer att någon funktion som inte lyckas bibehålla någon gräns inte kan representeras.

Kontravarianta representativa funktorer tar colimits till limits.

Vänster adjoint

Vilken funktion som helst K : C → Set med en vänsteradjoint F : Set → C representeras av ( FX , η _X (•)) där X = {•} är en enkeltonsmängd och η är enheten för adjunktionen.

Omvänt, om K representeras av ett par ( A , u ) och alla små kopotenser av A finns i C så har K en vänsteradjoint F som skickar varje mängd I till den I :e kopotensen av A .

Därför, om C är en kategori med alla små samkrafter, är en funktion K : C → Mängd representerad om och endast om den har en vänsteradjoint.

Relation till universella morfismer och adjoints

De kategoriska föreställningarna om universella morfismer och adjunktfunktioner kan båda uttryckas med hjälp av representativa funktorer.

Låt G : D → C vara en funktor och låt X vara ett objekt av C . Då är ( A ,φ) en universell morfism från X till G om och endast om ( A ,φ) är en representation av funktorn Hom _C ( X , G –) från D till Set . Av detta följer att G har ett vänsteradjoint F om och endast om Hom _C ( X , G –) är representabel för alla X i C . Den naturliga isomorfismen Φ _X : Hom _D ( FX ,–) → Hom _C ( X , G –) ger adjointiteten; det är

\Phi _{X,Y}\colon \mathrm {Hom} _{\mathcal {D }}(FX,Y)\to \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(X,GY)

är en bijektion för alla X och Y .

De dubbla påståendena är också sanna. Låt F : C → D vara en funktion och låt Y vara ett objekt av D . Då är ( A ,φ) en universell morfism från F till Y om och endast om ( A ,φ) är en representation av funktorn Hom _D ( F –, Y ) från C till Set . Av detta följer att F har en högeradjoint G om och endast om Hom _D ( F –, Y ) är representabel för alla Y i D .

Se även

^ Hungerford, Thomas. Algebra . Springer-Verlag. sid. 470. ISBN 3-540-90518-9 .
^ Nourani, Cyrus. En funktionell modellteori: nyare tillämpningar för algebraisk topologi, beskrivande uppsättningar och beräkningskategorier Topos . CRC Tryck. sid. 28. ISBN 1482231506 .

Mac Lane, Saunders (1998). Kategorier för den arbetande matematikern . Graduate Texts in Mathematics 5 (2:a uppl.). Springer. ISBN 0-387-98403-8 .

[1] Hungerford, Thomas. Algebra . Springer-Verlag. sid. 470. ISBN 3-540-90518-9 .

[2] Nourani, Cyrus. En funktionell modellteori: nyare tillämpningar för algebraisk topologi, beskrivande uppsättningar och beräkningskategorier Topos . CRC Tryck. sid. 28. ISBN 1482231506 .