Teori av högre kategori
Inom matematik är högre kategoriteori den del av kategoriteorin på en högre ordning , vilket innebär att vissa likheter ersätts av explicita pilar för att explicit kunna studera strukturen bakom dessa jämlikheter. Högre kategoriteori tillämpas ofta i algebraisk topologi (särskilt i homotopi teori ), där man studerar algebraiska invarianter av utrymmen , såsom deras fundamentala svaga ∞-gruppoid .
Strikt högre kategorier
En vanlig kategori har objekt och morfismer , som kallas 1-morfismer i sammanhanget med högre kategoriteori. En 2-kategori generaliserar detta genom att även inkludera 2-morfismer mellan 1-morfismerna. Att fortsätta med detta upp till n -morfismer mellan ( n − 1)-morfismer ger en n -kategori.
Precis som kategorin som kallas Cat , som är kategorin av små kategorier och funktioner faktiskt är en 2-kategori med naturliga transformationer som dess 2-morfismer, är kategorin n - Cat av (små) n -kategorier faktiskt en ( n + 1)-kategori.
En n -kategori definieras av induktion på n av:
Så en 1-kategori är bara en ( lokalt liten ) kategori.
Den monoidala strukturen av Set är den som ges av den kartesiska produkten som tensor och en singelton som enhet. Faktum är att vilken kategori som helst med ändliga produkter kan ges en monoidal struktur. Den rekursiva konstruktionen av n - Cat fungerar bra eftersom om en kategori C har ändliga produkter, har kategorin C -berikade kategorier ändliga produkter också.
Även om detta koncept är för strikt för vissa syften i t.ex. homotopi teori , där "svaga" strukturer uppstår i form av högre kategorier, har strikta kubiska högre homotopi groupoider också uppstått som ger en ny grund för algebraisk topologi på gränsen mellan homologi och homotopi teori ; se artikeln Nonabelian algebraic topology , refererad till i boken nedan.
Svaga högre kategorier
I svaga n -kategorier är associativitets- och identitetsvillkoren inte längre strikta (det vill säga de ges inte av jämlikheter), utan är snarare tillfredsställda upp till en isomorfism av nästa nivå. Ett exempel inom topologi är sammansättningen av banor , där identitets- och associationsvillkoren endast håller upp till omparameterisering , och därmed upp till homotopi , som är 2-isomorfismen för denna 2-kategori . Dessa n -isomorfismer måste väl uppföra sig mellan hom-uppsättningar och att uttrycka detta är svårigheten i definitionen av svaga n -kategorier . Svaga 2-kategorier , även kallade bikategorier , var de första som definierades explicit. En speciell egenskap hos dessa är att en bikategori med ett objekt är exakt en monoidal kategori , så att bikategorier kan sägas vara "monoidala kategorier med många objekt." Svaga 3-kategorier , även kallade trikategorier , och generaliseringar på högre nivåer är allt svårare att definiera explicit. Flera definitioner har getts, och att berätta när de är likvärdiga, och i vilken mening, har blivit ett nytt studieobjekt inom kategoriteorin.
Kvasikategorier
Svaga Kan-komplex, eller kvasi-kategorier, är enkla uppsättningar som uppfyller en svag version av Kan-villkoret. André Joyal visade att de är en bra grund för högre kategoriteori. Nyligen, 2009, har teorin systematiserats ytterligare av Jacob Lurie som helt enkelt kallar dem oändlighetskategorier, även om den senare termen också är en generisk term för alla modeller av (oändlighet, k ) kategorier för alla k .
Enkelt berikade kategorier
Enkelt berikade kategorier, eller enkla kategorier, är kategorier berikade över enkla uppsättningar. Men när vi ser på dem som en modell för (oändlighet, 1)-kategorier stämmer många kategoriska föreställningar (t.ex. gränser ) inte överens med motsvarande föreställningar i betydelsen berikade kategorier. Samma för andra berikade modeller som topologiskt berikade kategorier.
Topologiskt berikade kategorier
Topologiskt berikade kategorier (ibland helt enkelt kallade topologiska kategorier) är kategorier berikade över någon lämplig kategori av topologiska utrymmen, t.ex. kategorin kompakt genererade Hausdorff-utrymmen .
Segal kategorier
Dessa är modeller av högre kategorier som introducerades av Hirschowitz och Simpson 1998, delvis inspirerade av resultaten från Graeme Segal 1974.
Se även
Anteckningar
- Baez, John C .; Dolan, James (1998). "Kategorisering". arXiv : math/9802029 .
- Leinster, Tom (2004). Högre operationer, högre kategorier . Cambridge University Press. arXiv : math.CT/0305049 . ISBN 0-521-53215-9 .
- Simpson, Carlos (2010). "Homotopi teori om högre kategorier". arXiv : 1001.4071 [ math.CT ]. Utkast till en bok. Alternativ PDF med hyperlänkar )
- Lurie, Jacob (2009). Högre Toposteori . Princeton University Press. arXiv : math.CT/0608040 . ISBN 978-0-691-14048-3 . Som PDF .
- nLab , det kollektiva och öppna wiki-anteckningsbokprojektet om högre kategoriteori och tillämpningar inom fysik, matematik och filosofi
- Joyal's Catlab , en wiki dedikerad till polerade utläggningar av kategorisk och högre kategorisk matematik med bevis
- Brown, Ronald ; Higgins, Philip J.; Sivera, Rafael (2011). Nonabelsk algebraisk topologi: filtrerade utrymmen, korsade komplex, kubiska homotopi-groupoider . Trakter i matematik. Vol. 15. European Mathematical Society. ISBN 978-3-03719-083-8 .
externa länkar
- Baez, John (24 februari 1996). "Vecka 73: Tale of n -Categories" .
- The n-Category Cafe — en gruppblogg ägnad åt högre kategoriteori.
- Leinster, Tom (8 mars 2010). "Ett perspektiv på högre kategoriteori" .
|
 |
|||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||
