Konform fältteori

En konform fältteori ( CFT ) är en kvantfältteori som är invariant under konforma transformationer . I två dimensioner finns det en oändlig dimensionell algebra av lokala konforma transformationer, och konforma fältteorier kan ibland lösas eller klassificeras exakt.

Konform fältteori har viktiga tillämpningar för den kondenserade materiens fysik , statistisk mekanik , kvantstatistisk mekanik och strängteori . Statistiska och kondenserade materiasystem är verkligen ofta konformt invarianta vid sina termodynamiska eller kvantkritiska punkter .

Skalinvarians vs konform invarians

I kvantfältteorin är skalinvarians en vanlig och naturlig symmetri, eftersom varje fast punkt i renormaliseringsgruppen per definition är skalinvariant. Konform symmetri är starkare än skalinvarians, och man behöver ytterligare antaganden för att argumentera för att den bör förekomma i naturen. Grundtanken bakom dess rimlighet är att i lokal skala har sina strömmar givna av $T_{\mu \nu }\xi ^{\nu }$ där $\xi ^{ \nu }$ är en dödande vektor och $T_{\mu \nu }$ är en bevarad operator (spänningstensorn) med dimensionen exakt $d$ . För att de associerade symmetrierna ska inkludera skala men inte konforma transformationer, måste spåret $T_{\mu }^{\mu }$ vara en totalderivata som inte är noll, vilket antyder att det finns en icke-konserverad operator av dimension exakt $d-1$ .

Under vissa antaganden är det möjligt att helt utesluta denna typ av icke-renormalisering och därmed bevisa att skalinvarians innebär konform invarians i en kvantfältteori, till exempel i enhetliga kompakta konforma fältteorier i två dimensioner.

Även om det är möjligt för en kvantfältteori att vara skalinvariant men inte konformt invariant, är exempel sällsynta. Av denna anledning används termerna ofta omväxlande i samband med kvantfältteori.

Två dimensioner vs högre dimensioner

Antalet oberoende konforma transformationer är oändligt i två dimensioner och ändligt i högre dimensioner. Detta gör konform symmetri mycket mer begränsande i två dimensioner. Alla konforma fältteorier delar idéerna och teknikerna från den konforma bootstrap . Men de resulterande ekvationerna är mer kraftfulla i två dimensioner, där de ibland är exakt lösbara (till exempel i fallet med minimala modeller ), i motsats till högre dimensioner, där numeriska tillvägagångssätt dominerar.

Utvecklingen av konform fältteori har varit tidigare och djupare i det tvådimensionella fallet, i synnerhet efter artikeln från 1983 av Belavin, Polyakov och Zamolodchikov. Termen konform fältteori har ibland använts med betydelsen av tvådimensionell konform fältteori, som i titeln på en lärobok från 1997. Högdimensionella konforma fältteorier har blivit mer populära med AdS/CFT-korrespondensen i slutet av 1990-talet och utvecklingen av numeriska konforma bootstrap-tekniker på 2000-talet.

Global vs lokal konform symmetri i två dimensioner

Den globala konforma gruppen av Riemann-sfären är gruppen Möbius-transformationer ${\displaystyle PSL_{2}(\mathbb {C} )} ,$ som är ändlig-dimensionell. Å andra sidan bildar infinitesimala konforma transformationer den oändliga dimensionella Witt-algebra : de konforma dödsekvationerna i två dimensioner, ${\_display }\xi _{\nu }+\partial _{\nu }\xi _{\mu }=\partial \cdot \xi \eta _{\mu \nu},~} reducera till bara Cauchy-Riemanns$ ekvationer , $\partial _{\bar {z}}\xi (z)=0=\partial _{z}\xi ({\bar {z}})$ , oändligheten av moder av godtyckliga analytiska koordinattransformationer $\xi (z)$ ger oändligheten av dödande vektorfält $z^{n}\partial _{z}$ .

Strängt taget är det möjligt för en tvådimensionell konform fältteori att vara lokal (i betydelsen att ha en spänningstensor) medan den fortfarande bara uppvisar invarians under den globala P S L 2 ${2} (\mathbb {C} )}$ . Detta visar sig vara unikt för icke-enhetliga teorier; ett exempel är den biharmoniska skalären. Denna egenskap bör ses som ännu mer speciell än skala utan konform invarians eftersom den kräver att $T_{\mu }^{\mu }$ är en total andraderivata.

Global konform symmetri i två dimensioner är ett specialfall av konform symmetri i högre dimensioner, och studeras med samma tekniker. Detta görs inte bara i teorier som har global men inte lokal konform symmetri, utan också i teorier som har lokal konform symmetri, i syfte att testa tekniker eller idéer från högre-dimensionell CFT. I synnerhet kan numeriska bootstrap-tekniker testas genom att tillämpa dem på minimala modeller och jämföra resultaten med de kända analysresultaten som följer av lokal konform symmetri.

Konforma fältteorier med en Virasoro-symmetrialgebra

Huvudartikel: Tvådimensionell konform fältteori

I en konformt invariant tvådimensionell kvantteori måste Witt-algebra av infinitesimala konforma transformationer utvidgas centralt . Kvantsymmetrialgebra är därför Virasoro-algebra , som beror på ett tal som kallas centralladdningen . Denna centrala förlängning kan också förstås som en konform anomali .

Det visades av Alexander Zamolodchikov att det finns en funktion som minskar monotont under renormaliseringsgruppflödet i en tvådimensionell kvantfältteori och är lika med den centrala laddningen för en tvådimensionell konform fältteori. Detta är känt som Zamolodchikovs C-sats och berättar att renormaliseringsgruppflödet i två dimensioner är irreversibelt.

Förutom att vara centralt utökad måste symmetrialgebra i en konformt invariant kvantteori komplexiseras, vilket resulterar i två kopior av Virasoro-algebra. I euklidisk CFT kallas dessa kopior holomorfa och antiholomorfa. I Lorentziansk CFT kallas de för vänster- och högerrörelse. Båda kopiorna har samma centrala laddning.

Tillståndsutrymmet i en teori är en representation av produkten av de två Virasoro-algebrorna. Detta utrymme är ett Hilbert-utrymme om teorin är enhetlig. Detta utrymme kan innehålla ett vakuumtillstånd, eller i statistisk mekanik, ett termiskt tillstånd. Om inte den centrala laddningen försvinner, kan det inte existera ett tillstånd som lämnar hela den oändliga dimensionella konformsymmetrin obruten. $( L_{n})_{n\in \mathbb {Z} }$ som är invariant under generatorerna $L_{n\geq -1}$ i Virasoro-algebra, vars grund är . Detta innehåller generatorerna $L_{-1},L_{0},L_{1}$ för de globala konforma transformationerna. Resten av den konforma gruppen bryts spontant.

Konform symmetri

Huvudartikel: Konform symmetri

Definition och Jacobian

För en given rumtid och metrik är en konform transformation en transformation som bevarar vinklar. Vi kommer att fokusera på konforma transformationer av det platta $d$ -dimensionella euklidiska rummet $\mathbb {R} ^{d}$ eller av Minkowski-rummet $\mathbb {R} ^{1,d-1}$ .

Om $x\to f(x)$ är en konform transformation, är Jacobian ${\displaystyle J_{\nu }^ {\mu }(x)={\frac {\partial f^{\mu }(x)}{\partial x^{\nu }}}} har$ formen

$J_{\nu }^{\mu }(x)=\Omega (x)R_{\nu }^{\mu } (x),$

där $\Omega (x)$ är skalfaktorn, och $R_{\nu }^{\mu }(x)$ är en rotation (dvs en ortogonal matris) eller Lorentz-transformation.

Konform grupp

Den konforma gruppen är lokalt isomorf till $SO(1,d+1)$ (euklidiskt) eller $SO(2,d)$ ( Minkowski). Detta inkluderar translationer, rotationer (Euklidiska) eller Lorentz-transformationer (Minkowski), och dilatationer dvs skaltransformationer

$x^{\mu }\to \lambda x^{\mu }.$

Detta inkluderar även speciella konforma transformationer. För varje översättning $T_{a}(x)=x+a$ finns det en speciell konform transformation

$S_{a}=I\circ T_{a}\circ I,$

där $I$ är inversionen sådan att

$I\left(x^{\mu}\right)={\frac {x^{\mu }}{x^{2}}}.$

I sfären ${\displaystyle S^{d}=\mathbb {R} ^{d}\cup \{\infty \}} byter inversionen ut {\$ displaystyle $0}$ med $\infty$ . Översättningar lämnar $\infty$ fixerade, medan speciella konforma transformationer lämnar $0$ fixerade.

Konform algebra

Kommuteringsrelationerna för motsvarande Lie-algebra är

${\begin{aligned}[][P_{\mu },P_{\nu }]&=0,\\[][D,K_{\mu }]&= -K_{\mu },\\[][D,P_{\mu }]&=P_{\mu },\\[][K_{\mu },K_{\nu }]&=0,\ \[][K_{\mu },P_{\nu }]&=\eta _{\mu \nu }D-iM_{\mu \nu },\end{aligned}}$

där $P$ genererar översättningar , $D$ genererar dilatationer, $K_{\mu }$ genererar speciella konforma transformationer och $M_{\mu \nu }$ generera rotationer eller Lorentz-transformationer. Tensorn $\eta _{\mu \nu }$ är det platta måttet.

Globala frågor i Minkowski rymden

I Minkowski-rummet bevarar inte den konforma gruppen kausalitet . Observerbara objekt som korrelationsfunktioner är invarianta under den konforma algebra, men inte under den konforma gruppen. Som visat av Lüscher och Mack är det möjligt att återställa invariansen under den konforma gruppen genom att förlänga det platta Minkowski-utrymmet till en Lorentzisk cylinder. Det ursprungliga Minkowski-utrymmet motsvarar en del av cylindern som kallas en Poincaré-lapp. I cylindern bryter inte globala konforma transformationer mot kausalitet: istället kan de flytta punkter utanför Poincaré-lappen.

Korrelationsfunktioner och konform bootstrap

I den konforma bootstrap- metoden är en konform fältteori en uppsättning korrelationsfunktioner som lyder ett antal axiom.

Den $n$ -punktskorrelationsfunktionen $\left\langle O_{1}(x_{1})\cdots O_{n}( x_{n})\right\rangle$ är en funktion av positionerna $x_{i}$ och andra parametrar i fälten $O_{1},\dots , O_{n}$ . I bootstrap-metoden är själva fälten meningsfulla endast i samband med korrelationsfunktioner, och kan ses som effektiva notationer för att skriva axiom för korrelationsfunktioner. Korrelationsfunktioner beror linjärt på fält, i synnerhet $\partial _{x_{1}}\left\langle O_{1}(x_{1})\cdots \right\rangle =\left\langle \partial _{x_{1}}O_{1}(x_{1})\cdots \right\rangle$ .

Vi fokuserar på CFT på det euklidiska rummet $\mathbb {R} ^{d}$ . I det här fallet är korrelationsfunktioner Schwingerfunktioner . De är definierade för ${\displaystyle x_{i}\neq x_{j}} ,$ och beror inte på fältens ordning. I Minkowski-rymden är korrelationsfunktioner Wightman-funktioner . De kan bero på fältens ordning, eftersom fälten bara pendlar om de är mellanrumsliknande separerade. En euklidisk CFT kan relateras till en Minkowskisk CFT genom Wick-rotation , till exempel tack vare Osterwalder-Schrader-satsen . I sådana fall erhålls Minkowskiska korrelationsfunktioner från euklidiska korrelationsfunktioner genom en analytisk fortsättning som beror på fältens ordning.

Beteende under konforma transformationer

Alla konforma transformationer $x\to f(x)$ verkar linjärt på fälten $O(x)\to \pi _{ f}(O)(x)$ , så att $f\to \pi _{f}$ är en representation av den konforma gruppen, och korrelationsfunktioner är invarianta:

$\left\langle \pi _{f}(O_{1})(x_{1})\cdots \pi _{f}(O_{n})(x_{n})\right\rangle = \left\langle O_{1}(x_{1})\cdots O_{n}(x_{n})\right\rangle .$

Primära fält är fält som omvandlas till sig själva via $\pi _{f}$ . Ett primärt fälts beteende kännetecknas av ett tal $\Delta$ som kallas dess konforma dimension , och en representation $\rho$ av rotations- eller Lorentz-gruppen. För ett primärt område har vi då

$\pi _{f}(O)(x)=\Omega (x')^{-\Delta }\rho (R(x'))O(x'),\quad {\text{där }}\ x'=f^{-1}(x).$

Här är $\Omega (x)$ och $R(x)$ skalfaktorn och rotationen som är associerade med den konforma transformationen $f$ . Representationen $\rho$ är trivial i fallet med skalära fält, som transformeras som $\pi _{f }(O)(x)=\Omega (x')^{-\Delta }O(x')$ . För vektorfält är representationen $\rho$ den fundamentala representationen, och vi skulle ha $\pi _{f}(O_{\mu })(x)=\Omega (x')^{-\Delta }R_{\mu }^{\nu }(x')O_{ \nu }(x')$ .

Ett primärt fält som kännetecknas av den konforma dimensionen $\Delta$ och representation $\rho$ uppträder som en vektor med högst vikt i en inducerad representation av den konforma gruppen från undergruppen genererad av dilatationer och rotationer. I synnerhet kännetecknar den konforma dimensionen $\Delta$ en representation av undergruppen av dilatationer. I två dimensioner förekommer det faktum att denna inducerade representation är en Verma-modul i hela litteraturen. För högre-dimensionella CFT (där den maximalt kompakta subalgebra är större än Cartan subalgebra ) har det nyligen insetts att denna representation är en parabolisk eller generaliserad Verma-modul .

Derivater (av valfri ordning) av primära fält kallas descendant fields . Deras beteende under konforma transformationer är mer komplicerat. Till exempel, om $O$ är ett primärt fält, då ${\displaystyle \pi _{f}(\ partiell _{\mu }O)(x)=\partial _{\mu }\left(\pi _{f}(O)(x)\right)} är en linjär kombination av ∂ μ$ O $\ partiell _{\mu }O}$ och $O$ . Korrelationsfunktioner för efterkommande fält kan härledas från korrelationsfunktioner för primära fält. Men även i det vanliga fallet där alla fält är antingen primära eller ättlingar till dessa, spelar ättlingfält en viktig roll, eftersom konforma block och operatörsproduktutvidgningar involverar summor över alla underliggande fält.

Samlingen av alla primära fält $O_{p}$ , som kännetecknas av deras skalningsdimensioner $\Delta _{p}$ och representationerna $\rho _{p}$ , kallas teorins spektrum .

Beroende av fältpositioner

Invariansen av korrelationsfunktioner under konforma transformationer begränsar allvarligt deras beroende av fältpositioner. När det gäller två- och trepunktsfunktioner bestäms det beroendet upp till ändligt många konstanta koefficienter. Funktioner med högre punkter har mer frihet och bestäms endast upp till funktioner av konformt invarianta kombinationer av positionerna.

Tvåpunktsfunktionen för två primära fält försvinner om deras konforma dimensioner skiljer sig åt.

$\Delta _{1}\neq \Delta _{2}\implies \left\langle O_{1} (x_{1})O_{2}(x_{2})\right\rangle =0.$

Om dilatationsoperatorn är diagonaliserbar (dvs. om teorin inte är logaritmisk) finns det en bas av primära fält så att tvåpunktsfunktioner är diagonala, dvs $i\neq j\implicerar \left\langle O_{i}O_{j}\right\rangle =0$ . I detta fall är tvåpunktsfunktionen för ett skalärt primärt fält

$\left\langle O(x_{1})O(x_{2})\right\rangle ={\frac {1}{|x_{1}-x_{2}|^{2 \Delta }}},$

där vi väljer normaliseringen av fältet så att den konstanta koefficienten, som inte bestäms av konform symmetri, är en. På liknande sätt bestäms tvåpunktsfunktioner för icke-skalära primära fält upp till en koefficient, som kan sättas till ett. I fallet med en symmetrisk spårlös tensor av rang $\ell$ är tvåpunktsfunktionen

$\left\langle O_{\mu _{1},\dots ,\mu _{\ell }}(x_{1})O_{\nu _{1},\dots ,\nu _{\ell }}(x_{2})\right\rangle ={\frac {\prod _{i=1}^{\ell}I_{\mu _{i},\nu _{i}} (x_{1}-x_{2})-{\text{spår}}}{|x_{1}-x_{2}|^{2\Delta }}},$

där tensorn $I_{\mu ,\nu }(x)$ definieras som

$I_{\mu ,\nu}(x)=\eta _{\mu \nu}-{\frac {2x_{\mu }x_{\nu }}{x^{2}}}.$

Trepunktsfunktionen för tre skalära primära fält är

$\left\langle O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})O_{3}(x_{3})\right\rangle ={\frac {C_{123}}{|x_{12}|^{\Delta _{1}+\Delta _{2}-\Delta _{3}}|x_{13}|^{\Delta _{1}+\Delta _{3}-\Delta _{2}}|x_{23}|^{\Delta _{2}+\Delta _{3}-\Delta _{1}}}} ,$

där $x_{ij}=x_{i}-x_{j}$ , och $C_{123}$ är en trepunktsstrukturkonstant . Med primära fält som inte nödvändigtvis är skalärer tillåter konform symmetri ett ändligt antal tensorstrukturer, och det finns en strukturkonstant för varje tensorstruktur. I fallet med två skalära fält och en symmetrisk spårlös tensor av rang $\ell$ , finns det bara en tensorstruktur, och trepunktsfunktionen är

$\left\langle O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})O_{\mu _{1},\dots ,\mu _{\ell }}(x_{3})\right\rangle ={\frac {C_{123}\left(\prod _{i=1}^{\ell }V_{\mu _{i}} -{\text{spår}}\right)}{|x_{12}|^{\Delta _{1}+\Delta _{2}-\Delta _{3}}|x_{13}|^{ \Delta _{1}+\Delta _{3}-\Delta _{2}}|x_{23}|^{\Delta _{2}+\Delta _{3}-\Delta _{1}} }},$

där vi introducerar vektorn

$V_{\mu }={\frac {x_{13}^{\mu}x_{23}^{2}-x_{23}^{\mu }x_{13}^{2}}{ |x_{12}||x_{13}||x_{23}|}}.$

Fyrpunktsfunktioner för skalära primära fält bestäms upp till godtyckliga funktioner $g(u,v)$ av de två korsförhållandena

$u={\frac {x_{12}^{2}x_{34}^{2}}{x_{13}^{2}x_{24}^{2}}}\ ,\ v= {\frac {x_{14}^{2}x_{23}^{2}}{x_{13}^{2}x_{24}^{2}}}.$

Fyrpunktsfunktionen är då

$\left\langle \prod _{i=1}^{4}O_{i}(x_{i})\right\rangle ={\frac {\left({\frac {|x_{24} |}{|x_{14}|}}\höger)^{\Delta _{1}-\Delta _{2}}\left({\frac {|x_{14}|}{|x_{13} |}}\right)^{\Delta _{3}-\Delta _{4}}}{|x_{12}|^{\Delta _{1}+\Delta _{2}}|x_{34 }|^{\Delta _{3}+\Delta _{4}}}}g(u,v).$

Expansion av operatörens produkt

Operatörens produktexpansion (OPE) är mer kraftfull i konform fältteori än i mer generella kvantfältsteorier. Detta beror på att i konform fältteori är operatörens produktexpansions konvergensradie ändlig (dvs. den är inte noll). Förutsatt att positionerna $x_{1},x_{2}$ för två fält är tillräckligt nära, skriver operatörens produktexpansion om produkten av dessa två fält som en linjär kombination av fält vid en given punkt, som kan väljas som $x_{2}$ för teknisk bekvämlighet.

Operatörens produktutvidgning av två fält tar formen

$O_{1}(x_{1})O_{2}( x_{2})=\summa _{k}c_{12k}(x_{1}-x_{2})O_{k}(x_{2}),$

där $c_{12k}(x)$ är någon koefficientfunktion, och summan går i princip över alla fält i teorin. (På motsvarande sätt löper summan av tillståndsfältkorrespondensen över alla tillstånd i tillståndsutrymmet.) Vissa fält kan faktiskt saknas, särskilt på grund av begränsningar från symmetri: konform symmetri eller extra symmetri.

Om alla fält är primära eller ättlingar, kan summan över fält reduceras till en summa över primära, genom att skriva om bidragen från alla ättlingar i termer av bidraget från motsvarande primära:

$O_{1}(x_{1} )O_{2}(x_{2})=\summa _{p}C_{12p}P_{p}(x_{1}-x_{2},\partial _{x_{2}})O_{p }(x_{2}),$

där fälten $O_{p}$ alla är primära, och $C_{12p}$ är trepunktsstrukturkonstanten (som av denna anledning också kallas OPE-koefficient ). Differentialoperatorn $P_{p}(x_{1}-x_{2},\partial _{x_{2}})$ är en oändlig serie i derivat, som bestäms av konform symmetri och därför i princip känd.

Att se OPE som en relation mellan korrelationsfunktioner visar att OPE måste vara associativ. Dessutom, om rymden är euklidisk måste OPE vara kommutativ, eftersom korrelationsfunktioner inte beror på fältens ordning, dvs $O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})=O_{2}(x_{2})O_{1}(x_{1})$ .

Förekomsten av operatörens produktexpansion är ett grundläggande axiom för den konforma bootstrap. Det är dock i allmänhet inte nödvändigt att beräkna operatörens produktexpansion och i synnerhet differentialoperatorerna $P_{p}(x_{1}-x_{2},\ partiell _{x_{2}})$ . Snarare är det nedbrytningen av korrelationsfunktioner till strukturkonstanter och konforma block som behövs. OPE kan i princip användas för att beräkna konforma block, men i praktiken finns det mer effektiva metoder.

Konforma block och korsande symmetri

Med OPE $O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})$ kan en fyrpunktsfunktion skrivas som en kombination av trepunktsstrukturkonstanter och s-kanals konforma block ,

$\left\langle \prod _{i=1}^{4}O_{i}(x_{i})\right\rangle =\summa _{p}C_{12p}C_{p34}G_{ p}^{(s)}(x_{i}).$

Det konforma blocket $G_{p}^{(s)}(x_{i})$ är summan av bidragen från det primära fältet O $\displaystyle O_{p }}$ och dess ättlingar. Det beror på fälten $O_{i}$ och deras positioner. Om trepunktsfunktionerna $\left\langle O_{1}O_{2}O_{p}\right\rangle$ eller $\left\langle O_{3}O_{4}O_{p}\right\rangle$ involverar flera oberoende tensorstrukturer, strukturkonstanter och konforma block beror på dessa tensorstrukturer, och det primära fältet $O_{ p}$ bidrar med flera oberoende block. Konforma block bestäms av konform symmetri, och kända i princip. För att beräkna dem finns det rekursionsrelationer och integrerbara tekniker.

Använda OPE $O_{1}(x_{1})O_{4}(x_{4})$ eller ${\displaystyle O_{1}(x_{1})O_{3}(x_{3})} ,$ samma fyrpunktsfunktion skrivs i termer av t-kanals konforma block eller u-kanals konforma block ,

$\left\langle \prod _{i=1}^{4}O_{i}(x_{i})\right\rangle =\summa _{p}C_{14p}C_{p23}G_{ p}^{(t)}(x_{i})=\summa _{p}C_{13p}C_{p24}G_{p}^{(u)}(x_{i}).$

Likheten mellan s-, t- och u-kanalsupplösningarna kallas korsningssymmetri : en begränsning på spektrumet av primära fält och på trepunktsstrukturkonstanterna.

Konforma block följer samma konforma symmetribegränsningar som fyrapunktsfunktioner. Speciellt kan s-kanals konforma block skrivas i termer av funktionerna $g_{p}^{(s)}(u,v)$ korsförhållandena. Medan OPE $O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})$ endast konvergerar om ${\displaystyle |x_{12}|<\min(|x_{23}|,|x_{24}|)} ,$ konforma block kan fortsätta analytiskt till alla (ej parvis sammanfallande) värden för positionerna. I det euklidiska rummet är konforma block envärdiga realanalytiska funktioner för positionerna utom när de fyra punkterna $x_{i}$ ligger på en cirkel men i en enkeltransponerad cyklisk ordning [1324], och endast i dessa undantagsfall konvergerar inte nedbrytningen till konforma block.

En konform fältteori i platt euklidisk rymd $\mathbb {R} ^{d}$ definieras alltså av dess spektrum $\{(\Delta _{p} ,\rho _{p})\}$ och OPE-koefficienter (eller trepunktsstrukturkonstanter) $\{C_{pp'p''}\}$ , som uppfyller begränsningen att alla fyrapunktsfunktioner är korsningssymmetriska. Från spektrum och OPE-koefficienter (kollektivt kallade CFT-data ) kan korrelationsfunktioner av godtycklig ordning beräknas.

Drag av konforma fältteorier

Enhet

En konform fältteori är enhetlig om dess tillståndsrum har en positiv bestämd skalär produkt så att dilatationsoperatorn är självadjoint. Sedan ger den skalära produkten tillståndsrummet strukturen av ett Hilbertrum .

I euklidiska konforma fältteorier är enhetlighet ekvivalent med reflektionspositivitet för korrelationsfunktioner: ett av Osterwalder-Schraders axiom .

Enhet innebär att de konforma dimensionerna av primära fält är verkliga och avgränsade underifrån. Den nedre gränsen beror på rumtidsdimensionen $d$ , och på representationen av rotationen eller Lorentzgruppen i vilken det primära fältet transformeras. För skalära fält är enhetsgränsen

$\Delta \geq {\frac {1}{2}}(d-2).$

I en enhetsteori måste trepunktsstrukturkonstanter vara reella, vilket i sin tur innebär att fyrapunktsfunktioner lyder vissa ojämlikheter. Kraftfulla numeriska bootstrap-metoder bygger på att utnyttja dessa ojämlikheter.

Kompakthet

En konform fältteori är kompakt om den följer tre villkor:

• Alla konforma dimensioner är verkliga.
• För alla $\Delta \in \mathbb {R}$ finns det ändligt många tillstånd vars dimensioner är mindre än $\Delta$ .
• Det finns ett unikt tillstånd med dimensionen $\Delta =0$ , och det är vakuumtillståndet , dvs motsvarande fält är identitetsfältet .

(Identitetsfältet är det fält vars infogning i korrelationsfunktioner inte ändrar dem, dvs. ${\displaystyle \left\langle I(x)\cdots \right\rangle =\left\ langle \cdots \right\rangle } .$ ) Namnet kommer från det faktum att om en 2D konform fältteori också är en sigmamodell , kommer den att uppfylla dessa villkor om och bara om dess målutrymme är kompakt.

Man tror att alla enhetliga konforma fältteorier är kompakta i dimension $d>2$ . Utan enhetlighet är det å andra sidan möjligt att hitta CFT i dimension fyra och i dimension $4-\epsilon$ som har ett kontinuerligt spektrum. Och i dimension två Liouvilles teori enhetlig men inte kompakt.

Extra symmetrier

En konform fältteori kan ha extra symmetri utöver konform symmetri. Till exempel har Ising-modellen en $\mathbb {Z} _{2}$ symmetri, och superkonforma fältteorier har supersymmetri.

Exempel

Medelfältsteori

Ett generaliserat fritt fält är ett fält vars korrelationsfunktioner härleds från dess tvåpunktsfunktion av Wicks sats . Till exempel, om $\phi$ är ett skalärt primärt fält med dimension $\Delta$ , läser dess fyrpunktsfunktion

$\left\langle \prod _{i=1}^{4}\phi (x_{i})\right\rangle ={\frac {1}{|x_{12}|^{2\Delta }|x_{34}|^{2\Delta }}}+{\frac {1}{|x_{13}|^{2\Delta }|x_{24}|^{2\Delta }}}+ {\frac {1}{|x_{14}|^{2\Delta }|x_{23}|^{2\Delta }}}.$

Till exempel, om $\phi _{1},\phi _{2}$ är två skalära primära fält så att $\langle \phi _{1 }\phi _{2}\rangle =0$ (vilket är särskilt fallet om $\Delta _{1}\neq \Delta _{2}$ ), har vi de fyra- punktfunktion

${\Big \langle }\phi _{1}(x_{1})\phi _{1}(x_{2})\phi _{2}(x_{3})\phi _{2 }(x_{4}){\Big \rangle }={\frac {1}{|x_{12}|^{2\Delta _{1}}|x_{34}|^{2\Delta _{ 2}}}}.$

Mean field theory är ett generiskt namn för konforma fältteorier som är uppbyggda av generaliserade fria fält. Till exempel kan en medelfältsteori byggas från ett skalärt primärt fält $\phi$ . Sedan innehåller denna teori $\phi$ , dess underordnade fält och de fält som visas i OPE $\phi \phi$ . De primära fälten som visas i $\phi \phi$ kan bestämmas genom att dekomponera fyrpunktsfunktionen $\langle \phi \phi \phi \phi \rangle$ i konform block: deras konforma dimensioner tillhör $2\Delta +2\mathbb {N}$ : i medelfältsteori är den konforma dimensionen bevarade modulo heltal.

På liknande sätt är det möjligt att konstruera medelfältsteorier med utgångspunkt från ett fält med icke-trivialt Lorentz-spinn. Till exempel är 4d Maxwell-teorin (i avsaknad av laddade materiafält) en medelfältsteori byggd av ett antisymmetriskt tensorfält $F_{\mu \nu }$ med skalningsdimension ${\ displaystil \Delta =2}$ .

Medelfältsteorier har en lagrangisk beskrivning i termer av en kvadratisk handling som involverar Laplacian upphöjd till en godtycklig verklig makt (som bestämmer skalningsdimensionen för fältet). För en generisk skalningsdimension är kraften hos Laplacian icke-heltal. Den motsvarande medelfältteorin är då icke-lokal (t.ex. har den inte en konserverad spänningstensoroperator).

Critical Ising-modell

Den kritiska Ising-modellen är den kritiska punkten för Ising-modellen på ett hyperkubiskt gitter i två eller tre dimensioner. Den har en $\mathbb {Z} _{2}$ global symmetri, vilket motsvarar att vända alla snurr. Den tvådimensionella kritiska Ising-modellen inkluderar ${\mathcal {M}}(4,3)$ Virasoro minimal modell , som kan lösas exakt. Det finns ingen Ising CFT i $d\geq 4$ dimensioner.

Kritisk Potts modell

Den kritiska Potts-modellen med $q=2,3,4,\cdots$ färger är en enhetlig CFT som är invariant under permutationsgruppen $S_{q}$ . Det är en generalisering av den kritiska Ising-modellen, som motsvarar $q=2$ . Den kritiska Potts-modellen finns i ett antal dimensioner beroende på $q$ .

Den kritiska Potts-modellen kan konstrueras som kontinuumgränsen för Potts-modellen på d -dimensionellt hyperkubiskt gitter. I Fortuin-Kasteleyns omformulering i termer av kluster kan Potts-modellen definieras för ${\displaystyle q\in \mathbb {C} } ,$ men den är inte enhetlig om $q$ inte är heltal.

Kritisk O(N)-modell

Den kritiska O(N)-modellen är en CFT-invariant under den ortogonala gruppen . För alla heltal $N$ existerar det som en interagerande, enhetlig och kompakt CFT i $d=3$ dimensioner (och för $N=1$ även i två dimensioner) . Det är en generalisering av den kritiska Ising-modellen, som motsvarar O(N) CFT vid $N=1$ .

O(N) CFT kan konstrueras som kontinuumgränsen för en gittermodell med spinn som är N -vektorer, som diskuteras här .

Alternativt kan den kritiska ${\displaystyle O(N)}-$ modellen konstrueras som $\varepsilon \to 1$ gränsen för Wilson-Fishers fixpunkt i $d=4-\varepsilon$ dimensioner. Vid $\varepsilon =0$ blir Wilson-Fishers fixpunkt tensorprodukten av $N$ fria skalärer med dimensionen $\Delta =1$ . För $0<\varepsilon <1$ är modellen i fråga icke-enhetlig.

När N är stort kan O(N)-modellen lösas störande i en 1/N-expansion med hjälp av Hubbard–Stratonovich-transformationen . I synnerhet $N\to \infty$ -gränsen för den kritiska O(N)-modellen väl förstått.

Konforma mätteorier

Vissa konforma fältteorier i tre och fyra dimensioner medger en lagrangisk beskrivning i form av en mätteori , antingen abelisk eller icke-abelsk. Exempel på sådana CFT:er är konform QED med tillräckligt många laddade fält i $d=3$ eller Banks-Zaks fixpunkt i $d=4$ .

Ansökningar

Kontinuerliga fasövergångar

Huvudartikel: Fasövergång

Kontinuerliga fasövergångar (kritiska punkter) av klassiska statistiska fysiksystem med D rumsliga dimensioner beskrivs ofta av euklidiska konforma fältteorier. En nödvändig förutsättning för att detta ska ske är att den kritiska punkten ska vara invariant under rumsliga rotationer och translationer. Detta tillstånd är dock inte tillräckligt: ​​vissa exceptionella kritiska punkter beskrivs med skalinvarianta men inte konformt invarianta teorier. Om det klassiska statistiska fysiksystemet är reflektionspositivt, kommer motsvarande euklidiska CFT som beskriver dess kritiska punkt att vara enhetlig.

Kontinuerliga kvantfasövergångar i system av kondenserad materia med D rumsliga dimensioner kan beskrivas av Lorentzian D+1 dimensionella konforma fältteorier (relaterade av Wick-rotation till euklidiska CFTs i D+1- dimensioner). Förutom translation och rotationsinvarians är ytterligare ett nödvändigt villkor för att detta ska ske att den dynamiska kritiska exponenten z ska vara lika med 1. CFT:er som beskriver sådana kvantfasövergångar (i frånvaro av släckt störning) är alltid enhetliga.

Strängteorin

Huvudartikel: Strängteori

Världsarkets beskrivning av strängteori involverar en tvådimensionell CFT kopplad till dynamisk tvådimensionell kvantgravitation (eller supergravitation, i fallet med supersträngteori). Konsekvens av strängteorimodeller sätter begränsningar på den centrala laddningen av denna CFT, som bör vara c=26 i bosonisk strängteori och c=10 i supersträngteori. Koordinater för rumtiden som strängteorin lever i motsvarar bosoniska fält i denna CFT.

AdS/CFT-korrespondens

Huvudartikel: AdS/CFT-korrespondens

Konforma fältteorier spelar en framträdande roll i AdS/CFT-korrespondensen , där en gravitationsteori i anti-de Sitter space ( AdS) motsvarar en konform fältteori på AdS-gränsen. Anmärkningsvärda exempel är d = 4, N = 4 supersymmetrisk Yang–Mills teori , som är dubbel till typ IIB strängteori på AdS ₅ × S ⁵ , och d = 3, N = 6 super- Chern–Simons teori , som är dubbel till M-teori på AdS ₄ × S ⁷ . (Prefixet "super" betecknar supersymmetri , N betecknar graden av utökad supersymmetri som teorin besitter, och d antalet rum-tidsdimensioner på gränsen.)

Se även

• Logaritmisk konform fältteori
• AdS/CFT-korrespondens
• Expansion av operatörens produkt
• Kritisk punkt
• Boundary conformal field theory
• Primärt fält
• Superkonform algebra
• Konform algebra
• Konform bootstrap
• Historien om konform fältteorin

Vidare läsning

•    Rychkov, Slava (2016). "EPFL-föreläsningar om konform fältteori i D ≥ 3 dimensioner". SpringerBriefs i fysik . arXiv : 1601.05000 . doi : 10.1007/978-3-319-43626-5 . ISBN 978-3-319-43625-8 . S2CID 119192484 .
•     Martin Schottenloher, A Mathematical Introduction to Conformal Field Theory , Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1997. ISBN 3-540-61753-1 , 2:a upplagan 2008, ISBN 978-3-540-68625-5 .

externa länkar

• Media relaterade till konform fältteori på Wikimedia Commons