Algebraisk geometri och analytisk geometri

I matematik är algebraisk geometri och analytisk geometri två närbesläktade ämnen . Medan algebraisk geometri studerar algebraiska varianter , handlar analytisk geometri om komplexa grenrör och de mer allmänna analytiska utrymmen som definieras lokalt genom att analytiska funktioner försvinner för flera komplexa variabler . Den djupa relationen mellan dessa ämnen har många tillämpningar där algebraiska tekniker tillämpas på analytiska utrymmen och analytiska tekniker på algebraiska varianter.

Huvuduttalande

Låt X vara en projektiv komplex algebraisk variant . Eftersom X är en komplex variant, kan dess uppsättning komplexa punkter X ( C ) ges strukturen av ett kompakt komplext analytiskt utrymme . Detta analytiska utrymme betecknas X ^an . På liknande sätt, om ${\mathcal {F}}$ är en kärve på X , så finns det en motsvarande kärve ${\mathcal {F}}^{\text{an}}$ på X ^en . Denna association av ett analytiskt objekt till ett algebraiskt är en funktionator. Den prototypiska satsen som relaterar X och X ^an säger att för alla två koherenta skivor ${\mathcal {F}}$ och ${\mathcal {G}}$ på X , den naturliga homomorfismen:

{\text{Hom}}_{{\mathcal {O}}_{X}}({\mathcal {F }},{\mathcal {G}})\rightarrow {\text{Hom}}_{{\mathcal {O}}_{X}^{\text{an}}}({\mathcal {F}} ^{\text{an}},{\mathcal {G}}^{\text{an}})

är en isomorfism. Här är ${\mathcal {O}}_{X}$ strukturen för den algebraiska varianten X och ${\mathcal {O}}_{X}^{\text{ an}}$ är strukturen för den analytiska varianten X ^an . Med andra ord, kategorin för koherenta skivor på den algebraiska varianten X är ekvivalent med kategorin för analytiska koherenta skivor på den analytiska varianten X ^an , och ekvivalensen ges på objekt genom att kartlägga ${\mathcal {F}}$ till ${\mathcal {F}}^{\text{an}}$ . (Observera särskilt att ${\mathcal {O}}_{X}^{\text{an}}$ i sig är koherent, ett resultat som kallas Oka koherenssatsen , och det bevisades också i "Faisceaux Algebriques Coherents" ( Serre (1955) ) att strukturen för den algebraiska varianten ${\mathcal {O}}_{X}$ är koherent.)

Ett annat viktigt uttalande är följande: För varje koherent kärve ${\mathcal {F}}$ på en algebraisk variant X homomorfismerna

\varepsilon _{q}\ :\ H^{q}(X,{\mathcal {F}}) \rightarrow H^{q}(X^{an},{\mathcal {F}}^{an})

är isomorfismer för alla q: n. Detta betyder att den q -th kohomologigruppen på X är isomorf till kohomologigruppen på X ^an .

Satsen gäller mycket mer generellt än vad som anges ovan (se det formella uttalandet nedan). Det och dess bevis har många konsekvenser, såsom Chows sats , Lefschetz -principen och Kodairas försvinnande sats .

Bakgrund

Algebraiska varianter definieras lokalt som de vanliga nolluppsättningarna av polynom och eftersom polynom över de komplexa talen är holomorfa funktioner , kan algebraiska varianter över C tolkas som analytiska utrymmen. På liknande sätt tolkas regelbundna morfismer mellan sorter som holomorfa avbildningar mellan analytiska utrymmen. Något överraskande är det ofta möjligt att gå åt andra hållet, att tolka analytiska objekt på ett algebraiskt sätt.

Till exempel är det lätt att bevisa att de analytiska funktionerna från Riemanns sfär till sig själv är antingen de rationella funktionerna eller den identiskt lika oändlighetsfunktionen (en förlängning av Liouvilles sats ) . För om en sådan funktion f är icke-konstant, då mängden av z där f(z) är oändlighet är isolerad och Riemann-sfären är kompakt, finns det ändligt många z med f(z) lika med oändlighet. Betrakta Laurent-expansionen överhuvudtaget en sådan z och subtrahera singulardelen: vi har kvar en funktion på Riemann-sfären med värden i C , som enligt Liouvilles teorem är konstant. Således f en rationell funktion. Detta faktum visar att det inte finns någon väsentlig skillnad mellan den komplexa projektiva linjen som en algebraisk variant eller som Riemann-sfären .

Viktiga resultat

Det finns en lång historia av jämförelseresultat mellan algebraisk geometri och analytisk geometri, med början på artonhundratalet. Några av de viktigare framstegen listas här i kronologisk ordning.

Riemanns existenssats

Riemanns ytteori visar att en kompakt Riemann-yta har tillräckligt med meromorfa funktioner på sig, vilket gör den till en algebraisk kurva . Under namnet Riemanns existenssats var ett djupare resultat på förgrenade beläggningar av en kompakt Riemann-yta känt: sådana ändliga beläggningar som topologiska utrymmen klassificeras genom permutationsrepresentationer av den grundläggande gruppen av komplementet till förgreningspunkterna . Eftersom Riemanns ytegenskaper är lokal kan sådana beläggningar ganska lätt ses som beläggningar i komplex-analytisk mening. Det är då möjligt att dra slutsatsen att de kommer från täckande kartor av algebraiska kurvor - det vill säga sådana täckningar kommer alla från finita förlängningar av funktionsfältet .

Lefschetz-principen

På 1900-talet citerades Lefschetz-principen , uppkallad efter Solomon Lefschetz , i algebraisk geometri för att motivera användningen av topologiska tekniker för algebraisk geometri över vilket som helst algebraiskt stängt fält K med karakteristisk 0, genom att behandla K som om det vore det komplexa talfältet . En elementär form av det hävdar att sanna påståenden av första ordningens teori om fält om C är sanna för alla algebraiskt stängda fält K med karakteristisk noll. En exakt princip och dess bevis beror på Alfred Tarski och är baserade på matematisk logik .

Denna princip tillåter överföring av vissa resultat som erhållits med analytiska eller topologiska metoder för algebraiska varianter över C till andra algebraiskt slutna markfält med karakteristisk 0.

Chows teorem

Chow (1949) , bevisad av Wei-Liang Chow , är ett exempel på den mest omedelbart användbara typen av jämförelse som finns. Den säger att ett analytiskt delrum av komplext projektivt rum som är stängt (i vanlig topologisk mening) är en algebraisk subvarietet. Detta kan omformuleras som "varje analytiskt delrum av komplext projektivt rum som är stängt i den starka topologin är stängt i Zariski-topologin ." Detta tillåter en ganska fri användning av komplex-analytiska metoder inom de klassiska delarna av algebraisk geometri.

GAGGIG

Grunderna för de många relationerna mellan de två teorierna lades på plats under den tidiga delen av 1950-talet, som en del av verksamheten med att lägga grunden för algebraisk geometri för att till exempel inkludera tekniker från Hodge- teorin . Det stora papper som konsoliderade teorin var Géometrie Algébrique et Géométrie Analytique Serre (1956) av Jean-Pierre Serre , nu vanligtvis kallad GAGA . Det bevisar generella resultat som relaterar klasser av algebraiska varianter, regelbundna morfismer och skivor med klasser av analytiska utrymmen, holomorfa mappningar och skivor. Det reducerar alla dessa till jämförelsen av kategorier av skivor.

Nuförtiden används frasen GAGA-liknande resultat för alla jämförelsesatser, som tillåter passage mellan en kategori av objekt från algebraisk geometri och deras morfismer till en väldefinierad underkategori av analytiska geometriobjekt och holomorfa mappningar.

Formellt uttalande från GAGA

Låt $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ vara ett schema av ändlig typ över C . Sedan finns det ett topologiskt utrymme X ^an som som en mängd består av de slutna punkterna av X med en kontinuerlig inklusionskarta λ _X : X ^an → X . Topologin på X ^an kallas den "komplexa topologin" (och skiljer sig mycket från subrymdstopologin).
Antag att φ: X → Y är en morfism av scheman av lokalt ändlig typ över C . Då finns det en kontinuerlig karta φ ^an : X ^an → Y ^en sådan λ _Y ° φ ^an = φ ° λ _X .
Det finns en kärve ${\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} }$ på X ^en sådan att ${\displaystyle ( X^{\mathrm {an} },{\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} })} är ett ringmärkt utrymme och λ X : X an →$ X _blir en karta ^över ringade utrymmen . Mellanrummet $(X^{\mathrm {an} },{\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} })$ kallas "analytification" av $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ och är ett analytiskt utrymme. För varje φ: X → Y är kartan φ ^an definierad ovan en avbildning av analytiska utrymmen. Dessutom kartlägger kartan φ ↦ φ ^an öppna nedsänkningar till öppna nedsänkningar. Om X = Spec ( C [ x ₁ ,..., x _n ]) så är X ^an = C ⁿ och ${\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} }(U)$ för varje polydisc U är en lämplig kvot av rymden av holomorfa funktioner på U .
För varje kärve ${\mathcal {F}}$ på X (kallad algebraisk kärve) finns det en kärve ${\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }$ på X ^en (kallad analytisk kärva) och en karta över kärvar av ${\mathcal {O}}_{X}$ -moduler $\lambda _{X}^{*}:{\mathcal {F}}\rightarrow (\lambda _{X})_{*}{\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }$ . Bärven ${\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }$ definieras som $\lambda _{ X}^{-1}{\mathcal {F}}\otimes _{\lambda _{X}^{-1}{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {O}}_{ X}^{\mathrm {an} }$ . Korrespondensen ${\mathcal {F}}\mapsto {\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }$ definierar en exakt funktor från kategorin skivor över $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ till kategorin skivor av $(X^{\mathrm {an} }, {\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} })$ . Följande två påståenden är hjärtat i Serres GAGA-sats (som utvidgats av Alexander Grothendieck , Amnon Neeman och andra.)
Om f : X → Y är en godtycklig morfism av scheman av ändlig typ över C och ${\mathcal {F}}$ är koherent så är den naturliga kartan $(f_{*}{\mathcal {F}})^{\mathrm {an} }\rightarrow f_{*}^{\mathrm {an} }{\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }$ är injektiv. Om f är korrekt är denna karta en isomorfism. Man har också isomorfismer av alla högre direkta bildskivor ${\displaystyle (R^{i}f_{*}{\mathcal {F}}) ^{\mathrm {an} }\cong R^{i}f_{*}^{\mathrm {an} }{\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }} i det här fallet$ .
Antag nu att X ^an är Hausdorff och kompakt. Om ${\mathcal {F}},{\mathcal {G}}$ är två koherenta algebraiska skivor på $(X,{\mathcal {O}}_{ X})$ och om $f\colon {\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }\rightarrow {\mathcal {G}}^{\mathrm { an} }$ är en karta över skivor av ${\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} }$ -moduler, då finns det en unik karta över skivor av ${\mathcal {O}}_{X}$ -moduler $\varphi :{\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ med $f=\varphi ^{\mathrm {an} }$ . Om ${\mathcal {R}}$ är en koherent analytisk bunt av ${\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} }$ -moduler över X ^an då finns det en koherent algebraisk bunt ${\mathcal {F}}$ av ${\mathcal {O}}_{X}$ -moduler och en isomorfism ${\ displaystyle {\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }\cong {\mathcal {R}}}$ .

I något mindre allmänt, hävdar GAGA-satsen att kategorin koherenta algebraiska skivor på en komplex projektiv variant X och kategorin koherenta analytiska skivor på motsvarande analytiska utrymme X ^an är ekvivalenta. Det analytiska utrymmet X ^an erhålls ungefär genom att dra tillbaka till X den komplexa strukturen från C ⁿ genom koordinatdiagrammen. Att formulera satsen på det här sättet ligger faktiskt närmare Serres artikel, eftersom det fullständiga schemateoretiska språket som ovanstående formella uttalande använder mycket inte hade uppfunnits vid tidpunkten för GAGA:s publicering.

Anteckningar

Chow, Wei-Liang (1949). "Om kompakta komplexa analytiska varianter". American Journal of Mathematics . 71 (4): 893–914. doi : 10.2307/2372375 . JSTOR 2372375 .
Frey, Gerhard; Rück, Hans -Georg (1986). "Den starka Lefschetz-principen i algebraisk geometri". Manuscripta Mathematica . 55 (3–4): 385–401. doi : 10.1007/BF01186653 . S2CID 122967192 .
Grauert, Hans; Remmert, Reinhold (1958). "Komplexe Räume" . Matematiska Annalen . 136 (3): 245–318. doi : 10.1007/BF01362011 . S2CID 121348794 .
Grothendieck, Alexander; Raynaud, Michele (2002). "Revêtements étales et groupe fondamental§XII. Géométrie algébrique et géométrie analytique" . Revêtements étales et groupe fondamental (SGA 1) (på franska). arXiv : math/0206203 . doi : 10.1007/BFb0058656 . ISBN 978-2-85629-141-2 .
Harbater, David (21 juli 2003). "Galois Groups and Fundamental Groups§9. Patching and Galois theory (Dept. of Mathematics, University of Pennsylvania)" (PDF) . I Schneps, Leila (red.). Galois-grupper och grundläggande grupper . Cambridge University Press. ISBN 9780521808316 .
Hall, Jack (2018). "GAGA-satser". arXiv : 1804.01976 [ math.AG ].
Kuhlmann, F.-V. (2001) [1994], "Överföringsprincipen" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
Neeman, Amnon (2007). Algebraisk och analytisk geometri . doi : 10.1017/CBO9780511800443 . ISBN 9780511800443 .
Seidenberg, A. (1958). "Kommentarer till Lefschetz princip". American Mathematical Monthly . 65 (9): 685–690. doi : 10.1080/00029890.1958.11991979 . JSTOR 2308709 .
Hartshorne, Robin (1970). Gott om undervariationer av algebraiska varianter . Föreläsningsanteckningar i matematik. Vol. 156. doi : 10.1007/BFb0067839 . ISBN 978-3-540-05184-8 .
Hartshorne, Robin (1977). Algebraisk geometri . Examentexter i matematik. Vol. 52. Berlin, New York: Springer-Verlag . doi : 10.1007/978-1-4757-3849-0 . ISBN 978-0-387-90244-9 . MR 0463157 . S2CID 197660097 . Zbl 0367.14001 .
Remmert, R. (1994). "Lokal teori om komplexa utrymmen". Flera komplexa variabler VII . Encyclopaedia of Mathematical Sciences. Vol. 74. s. 7–96. doi : 10.1007/978-3-662-09873-8_2 . ISBN 978-3-642-08150-7 .
Serre, Jean-Pierre (1955), "Faisceaux algébriques cohérents" (PDF) , Annals of Mathematics , 61 (2): 197–278, doi : 10.2307/1969915 , JSTOR 1969915 , 8874006 , MR 874006
Serre, Jean-Pierre (1956). "Géométrie algébrique et géométrie analytique" . Annales de l'Institut Fourier (på franska). 6 : 1–42. doi : 10.5802/aif.59 . ISSN 0373-0956 . MR 0082175 .

externa länkar

Kiran Kedlaya. 18.726 Algebraic Geometry ( LEC # 30 - 33 GAGA )Vår 2009. Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCourseWare Creative Commons BY-NC-SA .