Tillgänglig kategori

Teorin om tillgängliga kategorier är en del av matematiken , särskilt kategoriteorin . Den försöker beskriva kategorier i termer av "storleken" (ett kardinalnummer ) av de operationer som behövs för att generera deras objekt.

Teorin har sitt ursprung i Grothendiecks arbete som avslutades 1969 och Gabriel och Ulmer (1971). Det har vidareutvecklats 1989 av Michael Makkai och Robert Paré, med motivation från modellteori , en gren av matematisk logik . En standardlärobok av Adámek och Rosický dök upp 1994. Tillgängliga kategorier har också tillämpningar inom homotopiteorin . Grothendieck fortsatte utvecklingen av teorin för homotopi-teoretiska syften i sitt (fortfarande delvis opublicerade) manuskript Les dérivateurs från 1991 . Vissa egenskaper hos tillgängliga kategorier beror på det uppsättningsuniversum som används, särskilt på kardinalegenskaperna och Vopěnkas princip .

κ -riktade kogränser och κ -presenterbara objekt

Låt $\kappa$ vara en oändlig regelbunden kardinal , dvs ett kardinaltal som inte är summan av ett mindre antal mindre kardinaler; exempel är $\aleph _{0}$ ( aleph-0 ), det första oändliga kardinaltalet och $\aleph _{1}$ , den första oräkneliga kardinalen). En partiellt ordnad uppsättning $(I,\leq )$ kallas $\kappa$ -riktad om varje delmängd $J$ av $I$ av kardinalitet är mindre än $\kappa$ har en övre gräns i $I$ . I synnerhet är de vanliga riktade uppsättningarna just de $\aleph _{0}$ -riktade uppsättningarna.

Låt nu $C$ vara en kategori . En direkt gräns (även känd som en riktad colimit) över en $\kappa$ -riktad mängd $(I,\leq )$ kallas en $\kappa$ -directed colimit . Ett objekt $X$ av $C$ kallas $\kappa$ -presentable om Hom-funktorn $\operatorname {Hom} (X,-)$ bevarar alla $\kappa$ -riktade colimits i $C$ . Det är tydligt att varje $\kappa$ -presenterbart objekt också är $\kappa '$ -presenterbart närhelst $\kappa \leq \kappa '$ , eftersom varje ${ \displaystyle \kappa '}$ -riktad colimit är också en $\kappa$ -riktad colimit i så fall. Ett $\aleph _{0}$ -presenterbart objekt kallas finitely presentable .

Exempel

• I kategorin Uppsättning av alla uppsättningar sammanfaller de ändligt presenterbara objekten med de finita uppsättningarna. De $\kappa$ -presenterbara objekten är uppsättningar av kardinalitet som är mindre än $\kappa$ .
• I kategorin alla grupper är ett objekt ändligt presenterbart om och endast om det är en ändligt presenterad grupp , dvs om det har en presentation med ändligt många generatorer och ändligt många relationer. För oräkneliga vanliga ${\displaystyle \kappa } är$ de $\kappa$ -presenterbara objekten just grupperna med kardinalitet mindre än $\kappa$ .
• I kategorin vänster $R$ -moduler över någon (enhetlig, associativ) ring $R$ , är de ändligt presenterbara objekten just de ändligt presenterade modulerna .

κ -tillgängliga och lokalt presentabla kategorier

Kategorin $C$ kallas $\kappa$ -tillgänglig förutsatt att:

• $C$ har alla $\kappa$ -riktade colimits
• $C$ innehåller en uppsättning $P$ av $\kappa$ -presenterbara objekt så att varje objekt i $C$ är en $\kappa$ -riktad colimit av objekt av $P$ .

En $\aleph _{0}$ -tillgänglig kategori kallas finitely accessible . En kategori kallas tillgänglig om den är $\kappa$ -tillgänglig för någon oändlig vanlig kardinal $\kappa$ . När en tillgänglig kategori också är komplett , kallas den lokalt presentabel .

En funktion $F:C\to D$ mellan $\kappa$ -tillgängliga kategorier kallas $\kappa$ -tillgänglig förutsatt att $F$ bevarar ${ \displaystyle \kappa }$ -riktade colimits.

Exempel

• Kategoriuppsättningen av alla uppsättningar och funktioner är lokalt ändligt presenterbar, eftersom varje uppsättning är den direkta gränsen för dess finita delmängder, och ändliga uppsättningar är ändligt presenterbara .
• Kategorin $R$ -Mod för (vänster) $R$ -moduler är lokalt ändligt presentabel för alla ring $R$ .
• Kategorin för enkla uppsättningar är ändligt tillgänglig.
• Kategorin Mod(T) för modeller av någon första ordningens teori T med räknebar signatur är $\aleph _{1}$ -tillgänglig. $\aleph _{1}$ -presenterbara objekt är modeller med ett räknebart antal element.
• Ytterligare exempel på lokalt presenterbara kategorier är finitära algebraiska kategorier (dvs. kategorierna som motsvarar varianter av algebra i universell algebra ) och Grothendieck-kategorier .

Satser

Man kan visa att varje lokalt presentabel kategori också är komplett . Dessutom är en kategori lokalt presentabel om och endast om den motsvarar kategorin modeller i en gränsskiss .

Samverkande funktioner mellan lokalt presentabla kategorier har en särskilt enkel karaktärisering. En funktion $F:C\to D$ mellan lokalt presenterbara kategorier:

• är en vänsteradjoint om och bara om den bevarar små kogränser,
• är en rättighetsadjoint om och endast om den bevarar små gränser och är tillgänglig.

Anteckningar

•   Adámek, Jiří; Rosický, Jiří (1994), Lokalt presentabla och tillgängliga kategorier , LNM Lecture Notes, Cambridge University Press, ISBN 0-521-42261-2