L p mellanslag

För sekvensutrymme ℓ ^p , se Sekvensutrymme § ℓp mellanslag .

Inom matematiken är L för ^p -rymden funktionsutrymmen som definieras med hjälp av en naturlig generalisering av p -normen finita dimensionella vektorrum . De kallas ibland Lebesgue spaces , uppkallade efter Henri Lebesgue ( Dunford & Schwartz 1958 , III.3), även om de enligt Bourbaki- gruppen ( Bourbaki 1987 ) först introducerades av Frigyes Riesz ( Riesz 1910) ).

L ^p- rum utgör en viktig klass av Banach-rum i funktionsanalys och av topologiska vektorrum . På grund av deras nyckelroll i den matematiska analysen av mått- och sannolikhetsutrymmen, används Lebesgue-utrymmen också i den teoretiska diskussionen om problem inom fysik, statistik, ekonomi, finans, teknik och andra discipliner.

Ansökningar

Statistik

I statistik definieras mått på central tendens och statistisk spridning , såsom medelvärde , median och standardavvikelse, i termer av ${\displaystyle L^{p}}-$ mått, och mått på central tendens kan karakteriseras som lösningar till variationsproblem .

I straffad regression hänvisar "L1 straff" och "L2 straff" till att straffa antingen $L^{1}$ normen för en lösnings vektor av parametervärden (dvs summan av dess absoluta värden), eller dess $L^{2}$ norm (dess euklidiska längd ). Tekniker som använder en L1-straff, som LASSO , uppmuntrar lösningar där många parametrar är noll. Tekniker som använder ett L2-straff, som åsregression , uppmuntra lösningar där de flesta parametervärden är små. Elastisk nettoregularisering använder en straffterm som är en kombination av $L^{1}$ -normen och $L^{2}$ -normen för parametervektorn.

Hausdorff – Ung ojämlikhet

Fouriertransformen för den reella linjen (eller, för periodiska funktioner , se Fourierserien ), mappar $L^{p}(\mathbb {R} )$ till L $\displaystyle L^{q}(\mathbb {R} )}$ (eller $L^{p}(\mathbf {T} )$ till $\ell ^{q}$ ) där $1\leq p\leq 2$ och ${\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1.$ Detta är en konsekvens av Riesz–Thorins interpolationssats och är preciserad med Hausdorff–Young ojämlikhet .

Däremot, om $p>2,$ mappar inte Fouriertransformen till $L^{q}.$

Hilbert utrymmen

Se även: Kvadratintegrerbar funktion

Hilbert-utrymmen är centrala för många tillämpningar, från kvantmekanik till stokastisk kalkyl . Mellanslagen $L^{2}$ och $\ell ^{2}$ är båda Hilbert-mellanslag. I själva verket, genom att välja en Hilbert-bas $E,$ dvs en maximal ortonormal delmängd av $L^{2}$ eller något Hilbert-utrymme, ser man att varje Hilbert-utrymme är isometriskt isomorft till $\ell ^{2}(E)$ (samma $E$ som ovan), dvs ett Hilbert-mellanrum av typen $\ell ^{2}.$

P -normen i ändliga dimensioner

Illustrationer av enhetscirklar (se även superellips ) i $\mathbb {R} ^{2}$ baserat på olika $p$ -normer (varje vektor från ursprunget till enhetscirkeln har en längd på en, längden beräknas med längdformel för motsvarande ${\displaystyle p} )$ .

Längden på en vektor $x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ i $n$ -dimensionellt reellt vektorrum $\mathbb {R} ^{n}$ ges vanligtvis av den euklidiska normen :

$$\|x\|_{2}=\left({x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+\dotsb +{x_{n}}^{2 }\right)^{1/2}.$$

Det euklidiska avståndet mellan två punkter $x$ och $y$ är längden $\|xy\|_{2}$ på den räta linjen mellan de två punkterna. I många situationer är det euklidiska avståndet otillräckligt för att fånga de faktiska avstånden i ett givet utrymme. En analogi till detta föreslås av taxichaufförer i en rutnätsgataplan som bör mäta avståndet inte i termer av längden på den raka linjen till sin destination, utan i termer av det rätlinjiga avståndet , som tar hänsyn till att gator är antingen ortogonala eller parallella med varandra. Klassen av $p$ -normer generaliserar dessa två exempel och har ett överflöd av tillämpningar inom många delar av matematik , fysik och datavetenskap .

Definition

För ett reellt tal $p\geq 1,$ definieras $p$ -norm eller $L^{p}$ -norm av $x$ av

$$\|x\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dotsb +|x_{n}|^{p }\right)^{1/p}.$$

De absoluta värdestaplarna kan tas bort när $p$ är ett rationellt tal med en jämn täljare i sin reducerade form, och $x$ dras från mängden reella tal, eller en av dess delmängder.

Den euklidiska normen från ovan faller i denna klass och är $2$ -normen, och $1$ -normen är den norm som motsvarar det rätlinjiga avståndet .

L $L^{\infty }$ -norm eller maximinorm (eller enhetlig norm) är gränsen för $\displaystyle L^{p}}$ -normerna för $p\to \infty .$ Det visar sig att denna gräns motsvarar följande definition:

$$\|x\|_{\infty }=\max \left\{|x_{1}|,|x_{2}|,\dotsc ,|x_{n}|\right\}$$

Se L -oändlighet .

För alla ${\displaystyle p\geq 1,} uppfyller$ p ${\displaystyle p} -normerna och maximinormen enligt definitionen ovan verkligen egenskaperna hos en$ längdfunktion" (eller norm ), som är att:

• endast nollvektorn har noll längd,
• längden på vektorn är positiv homogen med avseende på multiplikation med en skalär ( positiv homogenitet) , och
• längden av summan av två vektorer är inte större än summan av längderna av vektorerna ( triangelolikhet) .

Abstrakt sett betyder detta att $\mathbb {R} ^{n}$ tillsammans med $p$ -normen är ett normerat vektorrum . Dessutom visar det sig att detta utrymme är komplett, vilket gör det till ett Banach-utrymme . Detta Banach-mellanslag är $L^{p}$ -mellanrummet över $\{1,2,\ldots ,n\}.$

Relationer mellan $p$ -normer

Rutnätsavståndet eller det rätlinjiga avståndet (kallas ibland " Manhattan-avståndet ") mellan två punkter är aldrig kortare än längden på linjesegmentet mellan dem (det euklidiska eller "fågelvägen"). Formellt betyder detta att den euklidiska normen för vilken vektor som helst är begränsad av dess 1-norm:

$$\|x\|_{2}\leq \|x\|_{1}.$$

Detta faktum generaliserar till $p$ -normer genom att $p$ -norm $\|x\|_{p}$ för en given vektor $x$ växer inte med $p$ :

$\|x\|_{p+1}\leq \|x\|_{p}$ för valfri vektor $x$ och reella tal $p\geq 1$ och $a\geq 0.$ (Detta förblir faktiskt sant för $0<p<1$ och $a\geq 0$ .)

För den motsatta riktningen är följande relation mellan $1$ -normen och $2$ -normen känd:

$$\|x\|_{1}\leq {\sqrt {n}}\|x\|_{2}~.$$

Denna olikhet beror på dimensionen $n$ av det underliggande vektorutrymmet och följer direkt från Cauchy–Schwarz-olikheten .

I allmänhet, för vektorer i $\mathbb {C} ^{n}$ där $0<r<p:$

$$\|x\|_{p}\leq \|x\|_{r}\leq n^{{\frac {1}{r}}-{\frac {1}{p}}} \|x\|_{p}~.$$

Detta är en konsekvens av Hölders ojämlikhet .

När $0<p<1$

Astroid , enhetscirkel i $p={\tfrac {2}{3}}$ mått

I $\mathbb {R} ^{n}$ för $n>1,$ formeln

$$\|x\|_{p}=\left(|x_{1} |^{p}+|x_{2}|^{p}+\cdots +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}$$

definierar en absolut homogen funktion för $0<p<1;$ men den resulterande funktionen definierar inte en norm, eftersom den inte är subadditiv . Å andra sidan, formeln

$$|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dotsb +|x_{n}|^{p}$$

definierar en subadditiv funktion till priset av att förlora absolut homogenitet. Den definierar dock en F-norm , som är homogen av graden $sid.$

Därav funktionen

$$d_{p}(x,y)=\summa _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p}$$

definierar ett mått . Det metriska utrymmet $(\mathbb {R} ^{n},d_{p})$ betecknas med $\ell _{n}^{p}.$

Även om $p$ -enhetskulan $B_{n}^{p}$ runt origo i detta mått är "konkav", är topologin definierad på $\mathbb {R } ^{n}$ av måttet $B_{p}$ är den vanliga vektorrymdtopologin för $\mathbb {R} ^{n},$ därav $\ell _{n}^{p}$ är en lokalt konvex topologiskt vektorutrymme. Utöver detta kvalitativa uttalande är ett kvantitativt sätt att mäta bristen på konvexitet för $) {\displaystyle C_{p}(n) )}$$\displaystyle \ell _{n}^{p}}$ att beteckna med den minsta konstanten $C$ så att den skalära multipeln $C\,B_{n}^{p}$ av $p$ -enhetskulan innehåller det konvexa skrovet av $B_{n}^{p},$ som är lika med $B_{n}^{1}.$ Det faktum att vi för fast ${\displaystyle p<1} har$

$$C_{p}(n)=n^{{\tfrac {1}{p}}-1}\to \infty , \quad {\text{as }}n\to \infty$$

visar att det oändliga dimensionella sekvensutrymmet $\ell ^{p}$ definierat nedan, inte längre är lokalt konvext.

När p = 0

Det finns en $\ell _{0}$ norm och en annan funktion som kallas $\ell _{0}$ "norm" (med citattecken).

Den matematiska definitionen av $\ell _{0}$ -normen fastställdes av Banachs teori om linjära operationer . Sekvensutrymmet har en komplett metrisk topologi som tillhandahålls av F - normen

$$(x_{n})\mapsto \sum _{n}2^{-n}{\frac {|x_{n}|}{1+|x_{n}|}},$$

som diskuteras av Stefan Rolewicz i Metric Linear Spaces . Det $\ell _{0}$ -normerade rymden studeras i funktionsanalys, sannolikhetsteori och harmonisk analys.

En annan funktion kallades $\ell _{0}$ "norm" av David Donoho — vars citattecken varnar för att denna funktion inte är en riktig norm — är antalet poster som inte är noll i vektorn $x.$ Många författare missbrukar terminologi genom att utelämna citattecken. Genom att definiera ${\displaystyle 0^{0}=0,} är$ noll "norm" för $x$ lika med

$$|x_{1}|^{0}+|x_{2}|^{0}+\cdots +|x_{n}|^{0}.$$

En animerad gif av p-normerna 0,1 till 2 med ett steg på 0,05.

Detta är inte en norm eftersom det inte är homogent . Om du till exempel skalar vektorn $x$ med en positiv konstant ändrar inte "normen". Trots dessa defekter som en matematisk norm, har den icke-nollräknande "normen" användningsområden i vetenskaplig beräkning , informationsteori och statistik - särskilt i komprimerad avkänning i signalbehandling och beräkningsövertonsanalys . Trots att det inte är en norm är det tillhörande måttet, känt som Hamming-avstånd , ett giltigt avstånd, eftersom homogenitet inte krävs för avstånd.

P -normen i oändliga dimensioner och ℓ ^p utrymmen

Sekvensutrymmet ℓ ^sid

Ytterligare information: Sekvensutrymme

p $p$ -normen kan utökas till vektorer som har ett oändligt antal komponenter ( sekvenser , vilket ger mellanrummet $\ell ^{p}.$ Detta innehåller som specialfall:

• $\ell ^{1},$ rymden av sekvenser vars serie är absolut konvergent ,
• $\ell ^{2},$ rymden av kvadratsammandragbara sekvenser, som är ett Hilbert-utrymme , och
• $\ell ^{\infty },$ utrymmet för avgränsade sekvenser .

Rymd av sekvenser har en naturlig vektorrymdstruktur genom att tillämpa addition och skalär multiplikation koordinat för koordinat. Vektorsumman och skalärverkan för oändliga sekvenser av reella (eller komplexa ) tal ges uttryckligen av:

$${\begin{aligned}&(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},x_{n+1},\ldots )+(y_{1},y_{2} ,\ldots ,y_{n},y_{n+1},\ldots )\\={}&(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\ldots ,x_ {n}+y_{n},x_{n+1}+y_{n+1},\ldots ),\\[6pt]&\lambda \cdot \left(x_{1},x_{2}, \ldots ,x_{n},x_{n+1},\ldots \right)\\={}&(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\ldots ,\lambda x_{n} ,\lambda x_{n+1},\ldots ).\end{aligned}}$$

Definiera $p$ -normen:

$$\|x\|_{p }=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\cdots +|x_{n}|^{p}+|x_{n+1}|^ {p}+\cdots \right)^{1/p}$$

Här uppstår en komplikation, nämligen att serien till höger inte alltid är konvergent, så till exempel sekvensen som består av endast ettor, $(1,1,1, \ldots ),$ kommer att ha en oändlig $p$ -norm för $1\leq p<\infty .$ Mellanrummet $\ell ^{p}$ definieras då som mängden av alla oändliga sekvenser av reella (eller komplexa) tal så att $p$ -normen är finit.

Man kan kontrollera att när $p$ ökar, blir mängden ℓ $\displaystyle \ell ^{p}}$ större. Till exempel sekvensen

$$\left(1,{\frac {1}{2}},\ldots ,{\frac {1}{n}} ,{\frac {1}{n+1}},\ldots \right)$$

är inte i $\ell ^{1},$$, {\displaystyle p>1,}$ det är i $\ell ^{p}$ för som serien

$$1^{p}+{\frac {1}{2^{p}}}+\cdots + {\frac {1}{n^{p}}}+{\frac {1}{(n+1)^{p}}}+\cdots ,$$

divergerar för $p=1$ ( övertonsserien ), men är konvergent för $p>1.$

Man definierar också $\infty$ -normen med hjälp av supremum :

$$\|x\|_{\infty }=\sup( |x_{1}|,|x_{2}|,\dotsc ,|x_{n}|,|x_{n+1}|,\ldots )$$

och motsvarande mellanslag $\ell ^{\infty }$ av alla avgränsade sekvenser. Det visar sig att

$$\|x\|_{\infty }=\lim _{p\to \infty }\|x\|_{p}$$

om den högra sidan är ändlig, eller den vänstra sidan är oändlig. Därför kommer vi att betrakta $\ell ^{p}$ mellanslag för $1\leq p\leq \infty .$

P $p$ -normen som sålunda definieras på $\ell ^{p}$ är verkligen en norm, och $\ell ^{p}$ med denna norm är ett Banach-mellanslag . Det helt allmänna ${\displaystyle L^{p}}-$ utrymmet erhålls – som ses nedan – genom att betrakta vektorer, inte bara med ändligt eller räkningsbart-oändligt många komponenter, utan med " godtyckligt många komponenter "; med andra ord funktioner . En integral istället för en summa används för att definiera $p$ -normen.

Allmänt ℓ ^p -mellanslag

I fullständig analogi med föregående definition kan man definiera mellanrummet $\ell ^{p}(I)$ över en generell indexuppsättning $I$ (och ${\ displaystyle 1\leq p<\infty }$ ) as

$$\ell ^{p}(I)=\left\{(x_{i})_{i\in I}\in \mathbb {K} ^{I}:\summa _{i\in I}|x_{i}|^{p}<+\infty \right\},$$

där konvergens till höger betyder att endast uträkneligt många summeringar är icke-noll (se även Ovillkorlig konvergens ) . Med normen

$$\|x\|_{p}=\left(\summa _{i\in I}|x_{i}| ^{p}\right)^{1/p}$$

mellanrummet $\ell ^{p}(I)$ blir ett Banach-mellanslag. I fallet där $I$ är ändlig med $n$ element, ger denna konstruktion $\mathbb {R} ^{n}$ med $p$ -normen definierad ovan. Om $I$ är oändlig, är detta exakt sekvensutrymmet $\ell ^{p}$ definieras ovan. För oräkneliga uppsättningar $I$ är detta ett icke- separerbart Banachmellanslag som kan ses som den lokalt konvexa direkta gränsen för $\ell ^{p}$ -sekvensmellanslag.

För $p=2,$ induceras $\|\,\cdot \,\|_{2}$ -normen till och med av en kanonisk inre produkt $\langle \,\cdot ,\,\cdot \rangle ,$ kallas den euklidiska inre produkten , vilket betyder att ${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{2}={\sqrt {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle }}} gäller för alla$ vektorer $\mathbf {x} .$ Denna inre produkt kan uttryckas i termer av normen genom att använda polarisationsidentiteten . På $\ell ^{2},$ kan den definieras av

$$\langle \left(x_{i}\right)_{i},\left(y_{n} \right)_{i}\rangle _{\ell ^{2}}~=~\summa _{i}x_{i}{\overline {y_{i}}}$$

medan för utrymmet $L^{2}(X,\mu )$ associerat med ett måttutrymme $(X,\Sigma ,\mu ),$ som består av alla kvadratintegrerbara funktioner , det är det

$$\langle f,g\rangle _{L^{2}}=\int _{X}f(x){\overline {g(x)}}\,\mathrm {d} x.$$

Betrakta nu fallet $p=\infty .$ Definiera

$$\ell ^{\infty }(I)=\{x\in \mathbb {K} ^{I}:\sup \operatorname {range} |x|<+\infty \} ,$$

där för alla $x$

$$\|x\|_{\infty }\equiv \inf\{C\in \mathbb {R} _{\geq 0}:|x_{i}|\leq C{\text{ för alla } }i\in I\}={\begin{cases}\sup \operatörsnamn {range} |x|&{\text{if }}X\neq \varnothing ,\\0&{\text{if }}X= \varnothing .\end{cases}}$$

Indexuppsättningen $I$ kan förvandlas till ett måttutrymme genom att ge den den diskreta σ-algebra och räknemåttet . Då är mellanslag $\ell ^{p}(I)$ bara ett specialfall av det mer allmänna $L^{p}$ -mellanrummet (definieras nedan).

L ^p mellanslag och Lebesgue-integraler

Ett $L^{p}$ utrymme kan definieras som ett utrymme av mätbara funktioner för vilka $p$ -th potensen av det absoluta värdet är Lebesgue integrable , där funktioner som överensstämmer nästan överallt identifieras . Mer allmänt, låt $1\leq p<\infty$ och $(S,\Sigma ,\mu )$ vara en mäta utrymme . Betrakta mängden ${\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )$ av alla mätbara funktioner från $S$ till $\ mathbb {C}$ eller $\mathbb {R}$ vars absolutvärde upphöjt till $p$ -th potens har en finit integral, eller ekvivalent, som

$$\|f\|_{p}=\left(\int _{S}|f|^{p}\;\mathrm {d} \mu \right)^{1/p}<\infty .$$

För $p=\infty ,$ är utrymmet ${\mathcal {L}}^{\infty }(S,\mu )$ utrymmet för mätbara funktioner $f$ begränsad nästan överallt, vars seminorm $\|f\|_{\infty }$ är infimum av (de absoluta värdena av) dessa gränser, som när $\mu (S)\neq 0$ är detsamma som det väsentliga högsta värdet för dess absoluta värde:

$$\|f\|_{\infty }=\inf\{C\in \mathbb {R} _{\geq 0}:|f(x)|\leq C{\text{ för nästan varje } }x\}={\begin{cases}\operatörsnamn {esssup} |f|&{\text{if }}0<\mu (S),\\0&{\text{if }}0=\mu ( S).\end{cases}}$$

Två funktioner $f$ och $g$ definierade på $S$ sägs vara lika nästan överallt , skrivna $f=g$ ae , om mängden $\{s\in S:f(s)\neq g(s)\}$ är mätbar och har måttet noll. Om $f$ är en mätbar funktion som är lika med $0$ nästan överallt så är $\|f\|_{p}=0$ för varje $p$ och alltså $f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )$ för alla $sid.$

Seminormerat utrymme av $p$ -th power integrerbara funktioner

Varje uppsättning funktioner ${\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )$ bildar ett vektorrum när addition och skalär multiplikation definieras punktvis. Att summan av två $p$ -th potens integrerbara funktioner $f$ och $g$ återigen är $p$ -th potens integrerbara följer av ${\textstyle \|f+g\|_{p}^{p}\leq 2^{p-1}\left( \|f\|_{p}^{p}+\|g\|_{p}^{p}\right),} även om det också är en konsekvens av$ Minkowskis ojämlikhet

$$\|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p }$$

som fastställer att $\|\cdot \|_{p}$ uppfyller triangelolikheten . Att ${\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )$ stängs under skalär multiplikation beror på $\|\cdot \|_{p}$ är absolut homogen , vilket betyder att $\|sf\|_{p}=|s|\|f\|_{p}$ för varje skalär $s$ och varje funktion $f.$

Absolut homogenitet , triangelolikheten och icke -negativitet är de definierande egenskaperna hos en seminorm . Således är $\|\cdot \|_{p}$ en seminorm och mängden ${\mathcal {L}}^{p}(S,\ ,\mu )$ av $p$ -th power integrerbara funktioner tillsammans med funktionen $\|\cdot \|_{p}$ definierar ett seminorerat vektorrum. I allmänhet seminormen $\|\cdot \|_{p}$ inte en norm eftersom det kan finnas mätbara funktioner $f$ som uppfyller $\ |f\|_{p}=0$ men är inte identiskt lika med $0$ ( $\|\cdot \|_{p}$ är en norm om och endast om det inte finns någon sådan ${\displaystyle f}) .$

Kvotient vektor utrymme

Liksom varje seminorm inducerar seminormen ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}} en$ norm (definieras kort) på kvoten av ${\mathcal {L }}^{p}(S,\,\mu )$ av vektordelrummet $\ker \|\cdot \|_{p}\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\{f\in {\mathcal {L}}^ {p}(S,\,\mu ):\|f\|_{p}=0\}.$ Detta normerade kvotutrymme kallas Lebesgue-utrymme och det är ämnet för denna artikel. Om seminormen $\|\cdot \|_{p}$ råkar vara en norm så är det normerade kvotutrymmet som nu kommer att definieras linjärt isometriskt isomorft till ${\displaystyle \left({\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ),\|\cdot \|_{p}\right);} de kommer att vara, upp$ till en linjär isometri , samma normerade utrymme och därför kan de båda kallas " $L^{p}$ utrymme".

Om $f$ är någon mätbar funktion, då är $\|f\|_{p}=0$ om och bara om $f=0$ nästan överallt . Eftersom den högra sidan ( $f=0$ ae) inte nämner $p,$ följer det att alla seminormer $\|\cdot \|_{p}$ har samma nolluppsättning / kernel (det beror inte på $p$ ). Så beteckna detta gemensamma vektorunderrum med

$${\mathcal {N}}\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\{f:f=0\ \mu {\text{-nästan överallt} }\}=\{f:\|f\|_{p}=0\}\qquad \forall \ p.$$

Givet alla ${\displaystyle f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ),$ } coset $f+{\mathcal {N}}\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\{f+h:h\in {\mathcal {N}}\}$ består av alla mätbara funktioner $g$ som är lika med $f$ nästan överallt . Två cosets är lika $f+{\mathcal {N}}=g+{\mathcal {N}}$ om och bara om $f=g$ nästan överallt, vilket händer om och endast om $g\in f+{\mathcal {N}}.$ Uppsättningen av alla coset

$$L^{p}(S,\mu )~{ \stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )/{\mathcal {N}}~=~\{f+{ \mathcal {N}}:f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )\}$$

bildar ett vektorrum när vektoraddition och skalär multiplikation definieras av $(f+{\mathcal {N}})+(g+{ \mathcal {N}})\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;(f+g)+{\mathcal {N}}$ och $s(f+{\mathcal {N}})\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;(sf)+{\mathcal {N}}.$ Detta space är det kanoniska kvotutrymmet för ${\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )$ med avseende på ${\mathcal {N}}=\ker \|\cdot \|_{p}.$ I kvotutrymmet, två funktioner $f$ och $g$ identifieras om $f+{\mathcal {N}}=g+{\mathcal {N}}$ (eller motsvarande, om $fg \in {\mathcal {N}}$ ), vilket händer om och bara om $f=g$ nästan överallt.

P $\displaystyle p}$ -normen på kvotvektorutrymmet

Givet någon $f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ),$ värdet på seminormen ${\ displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ på coset $f+{\mathcal {N}}=\{f+h:h\in { \mathcal {N}}\}$ är konstant och lika med $\|f\|_{p};$ betecknar detta unika värde med $\|f+{\mathcal {N}}\|_{p},$ så att:

$$\|f+{\mathcal {N}}\|_{p}\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\|f\|_{p} .$$

Denna uppgift ${\displaystyle f+{\mathcal {N}}\mapsto \|f+{\mathcal {N}}\|_{p}} definierar$ en karta, som också kommer att vara betecknas med $\|\cdot \|_{p},$ på kvotvektorrummet $L^{p}(S,\mu )={\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )/{\mathcal {N}}=\{f+{\mathcal {N} }:f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )\}.$ Denna karta är en norm på $L^{p}(S, \mu )$ kallas $p$ -normen . Värdet $\|f+{\mathcal {N}}\|_{p}$ av en coset $f+{\mathcal {N}}$ är oberoende av den specifika funktionen $f$ som valdes för att representera coset eftersom om $g$ är någon annan funktion då $g\in f+{\mathcal {N}}$ om och endast om $f+{\mathcal {N}}=g+{\mathcal {N}}$ om och bara om $f=g$ nästan överallt , i vilket fall $\|f\|_{p}=\|g\|_{p}$ och så $\|f+{\mathcal {N}} \|_{p}\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\|f\|_{p}$ är verkligen lika med $\|g+{\mathcal {N}}\|_{p}\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\|g\|_{p} .$

Lebesgue $L^{p}$ mellanslag

Det normerade vektorutrymmet $\left(L^{p}(S,\mu ),\|\cdot \|_{p}\right)$ kallas $L^{p}$ mellanslag eller Lebesgue-utrymmet för $p$ -th potens integrerbara funktioner och det är ett Banach-utrymme för varje $1\leq p\leq \infty$ (vilket betyder att det är ett komplett metriskt utrymme , ett resultat som ibland kallas Riesz–Fischers sats ). När det underliggande måttutrymmet $S$ förstås så förkortas $L^{p}(S,\mu )$ ofta $L^ {p}(\mu ),$ eller till och med bara $L^{p}.$ Beroende på författaren kan den nedsänkta notationen $L_{p}$ beteckna antingen $L^{p}(S,\ mu )$ eller $L^{1/p}(S,\mu ).$

Ovanstående definitioner generaliserar till Bochner-utrymmen .

I allmänhet kan denna process inte vändas: det finns inget konsekvent sätt att definiera en "kanonisk" representant för varje coset av ${\mathcal {N}}$ i $L^{p}.$ För $L^{\infty },$ finns det dock en teori om lyft som möjliggör sådan återhämtning.

Speciella fall

I likhet med $\ell ^{p}$ mellanslag, är $L^{2}$ det enda Hilbertmellanrummet bland $L^{p}$ mellanslag. I det komplexa fallet definieras den inre produkten på ${\displaystyle L^{2}} av$

$$\langle f,g\rangle =\int _{S}f(x){\overline {g(x) )}}\,\mathrm {d} \mu (x)$$

Den ytterligare inre produktstrukturen möjliggör en rikare teori, med tillämpningar till till exempel Fourierserier och kvantmekanik . Funktioner i $L^{2}$ kallas ibland kvadratintegrerbara funktioner , kvadratiskt integrerbara funktioner eller kvadratsummerbara funktioner , men ibland är dessa termer reserverade för funktioner som är kvadratintegrerbara i någon annan mening, som t.ex. i betydelsen av en Riemann-integral ( Titchmarsh 1976) .

Om vi ​​använder komplext värderade funktioner är mellanrummet $L^{\infty }$ en kommutativ C*-algebra med punktvis multiplikation och konjugering. För många mätrum, inklusive alla sigma-finita, är det i själva verket en kommutativ von Neumann-algebra . Ett element av $L^{\infty }$ definierar en avgränsad operator på valfritt $L^{p}$ mellanslag genom multiplikation .

För ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty } är$ ℓ $\ell ^{p}$ mellanslag ett specialfall av $L^{p}$ , när $S=\mathbf {N} )$ består av de naturliga talen och $\mu$ är räknemåttet på $\mathbf {N} .$ Mer generellt, om man betraktar någon uppsättning $S$ med räknemåttet, betecknas det resulterande L $\displaystyle L^{p}} -utrymmet$$\ell ^{p}(S).$ Till exempel är utrymmet $\ell ^{p}(\mathbf {Z} )$ utrymmet för alla sekvenser som indexeras av heltal, och när du definierar $p$ -norm på ett sådant mellanslag, man summerar över alla heltal. Mellanrummet $\ell ^{p}(n),$ där $n$ är mängden med $n$ element, är $\mathbb { R} ^{n}$ med sin $p$ -norm enligt definitionen ovan. Som alla Hilbert-mellanslag är varje mellanslag $L^{2}$ linjärt isometriskt till en lämplig $\ell ^{2}(I),$ där kardinaliteten för mängden $I$ är kardinaliteten för en godtycklig hilbertsk grund för just denna $L^{2}.$

Egenskaper för L ^p utrymmen

Som i det diskreta fallet, om det finns $q<\infty$ så att $f\in L^{\ infty }(S,\mu )\cap L^{q}(S,\mu ),$ sedan

$$\|f\|_{\infty }=\lim _{p\to \infty }\|f\|_{p}.$$

Dubbla utrymmen

Det dubbla rummet (Banach-utrymmet för alla kontinuerliga linjära funktionaler) för $L^{p}(\mu )$ för $1<p<\infty$ har en naturlig isomorfism med $L^{q}(\mu ),$ där $q$ är sådan att ${\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1$ (dvs $q={\tfrac {p}{p-1 }}$ ). Denna isomorfism associerar $g\in L^{q}(\mu )$ med den funktionella $\kappa _{p} (g)\in L^{p}(\mu )^{*}$ definieras av

$$f\mapsto \kappa _{p}(g)(f)=\int fg\,\mathrm {d} \mu$$

för varje $f\in L^{p}(\mu ).$

Att $\kappa _{p}(g)$ är väldefinierad och kontinuerlig följer av Hölders olikhet . $\kappa _{p}:L^{q}(\mu )\to L^{p}(\mu )^{*}$ är en linjär avbildning som är en isometri av extremalfallet av Hölders ojämlikhet. Det är också möjligt att visa (till exempel med Radon–Nikodyms sats , se) att vilken $G\in L^{p}(\mu )^{*}$ kan vara uttryckt så här: dvs att $\kappa _{p}$ är på . Eftersom $\kappa _{p}$ är onto och isometrisk, är det en isomorfism av Banach-rymden . Med denna (isometriska) isomorfism i åtanke är det vanligt att enkelt säga att $L^{q}(\mu )$ är det kontinuerliga dubbla rummet av $L^{p}(\mu).$

För ${\displaystyle 1<p<\infty ,} är$ mellanrummet $^{p}(\mu )}$ L reflexivt . Låt $\kappa _{p}$ vara som ovan och låt $\kappa _{q}:L^{p}(\ mu )\to L^{q}(\mu )^{*}$ vara motsvarande linjär isometri. Betrakta kartan från $L^{p}(\mu )$ till $L^{p}(\mu )^{**},$ erhålls genom att komponera $\kappa _{q}$ med transponeringen (eller adjointen) av inversen av $\kappa _{p}:$

$$j_{p}:L^{p}(\mu )\ mathrel {\overset {\kappa _{q}}{\longrightarrow }} L^{q}(\mu )^{*}\mathrel {\overset {\left(\kappa _{p}^{-1} \right)^{*}}{\longrightarrow }} L^{p}(\mu )^{**}$$

Denna karta sammanfaller med den kanoniska inbäddningen av $J$ av $L^{p}(\mu )$ i dess bidual. Dessutom är kartan $j_{p}$ på, som en sammansättning av två på isometrier, och detta bevisar reflexivitet.

Om måttet $\mu$ på $S$ är sigma-finit , då är dualen av $L^{1}(\mu )$ isometriskt isomorf till $L^{\infty }(\mu )$ (mer exakt, kartan $\kappa _{1}$ som motsvarar $p=1$ är en isometri från $L^{\infty }(\mu )$ på $L^{1}(\mu )^{*}.$

Dualen av $L^{\infty }(\mu )$ är mer subtil. Element av $L^{\infty }(\mu )^{*}$ kan identifieras med begränsat tecken med finit additiv mått på $S$ som är absolut kontinuerliga med avseende på $\mu .$ Se ba mellanslag för mer detaljer. Om vi ​​antar valets axiom är detta utrymme mycket större än $L^{1}(\mu )$ förutom i vissa triviala fall. Saharon Shelah bevisade dock att det finns relativt konsekventa förlängningar av Zermelo–Fraenkels mängdteori (ZF + DC + "Varje delmängd av de reella talen har Baire-egenskapen ") där dualen av $\ell ^{\ infty }$ är $\ell ^{1}.$

Inbäddningar

Allmänt, om $1\leq p<q\leq \infty ,$ så innehåller $L^{p}(S,\mu )$ funktioner som är mer lokalt singular, medan element i $L^{q}(S,\mu )$ kan vara mer utspridda. Betrakta Lebesgue-måttet på halvlinjen $(0,\infty ).$ En kontinuerlig funktion i $L^{1}$ kan explodera nära $0$ men måste avta tillräckligt snabbt mot oändligheten. Å andra sidan behöver kontinuerliga funktioner i $L^{\infty }$ inte avklinga alls men ingen uppblåsning är tillåten. Det exakta tekniska resultatet är följande. Antag att $0<p<q\leq \infty .$ Sedan:

1. $L^{q}(S,\mu )\subseteq L^{p}(S,\mu )$ om och endast om ${\ displaystyle S}$ innehåller inte uppsättningar av ändliga men godtyckligt stora mått, och
2. $L^{p}(S,\mu )\subseteq L^{q}(S,\mu )$ om och endast om ${\ displaystyle S}$ innehåller inte uppsättningar av icke-noll utan godtyckligt små mått.

Ingetdera villkoret gäller för den verkliga linjen med Lebesgue-måttet. I båda fallen är inbäddningen kontinuerlig, genom att identitetsoperatorn är en avgränsad linjär karta från $L^{q}$ till $L^{p}$ i det första fallet, och $L^{p}$ till $L^{q}$ i den andra. (Detta är en konsekvens av den stängda grafsatsen och egenskaperna hos $L^{p}$ Mellanslag.) Om domänen $S$ har ändligt mått, kan man göra följande explicita beräkning med hjälp av Hölders olikhet

$$\ \|\mathbf {1} f^{p}\|_{1}\leq \| \mathbf {1} \|_{q/(qp)}\|f^{p}\|_{q/p}$$

leder till

$$\ \|f\|_{p}\leq \mu (S)^{1/p-1/q}\|f\|_{q}.$$

Konstanten som uppträder i ovanstående olikhet är optimal, i den meningen att operatornormen för identiteten $I:L^{q}(S, \mu )\to L^{p}(S,\mu )$ är exakt

$$\|I\|_{q,p}=\mu (S)^{1/p-1/q}$$

fallet att likhet uppnås exakt när $f=1$$\mu$ -nästan-överallt.

Täta delrum

Genomgående i detta avsnitt antar vi att $1\leq p<\infty .$

Låt $(S,\Sigma ,\mu )$ vara ett måttutrymme. En integrerbar enkel funktion $f$ på $S$ är en av formerna

$$f=\sum _{j=1}^{n}a_{j}\mathbf {1} _{A_{j}}$$

där $a_{j}$ är skalärer, $A_{j}\in \Sigma$ har ändligt mått och ${\mathbf {1} }_{A_ {j}}$$j=1,\dots ,n.$ indikatorfunktionen för mängden $A_{j},$ för Genom konstruktion av integralen , vektorrummet för integrerbara enkla funktioner är tätt i $L^{p}(S,\Sigma ,\mu ).$

Mer kan sägas när $S$ är ett normalt topologiskt utrymme och $\Sigma$ dess Borel 𝜎–algebra , dvs. den minsta 𝜎–algebra av delmängder av $S$ som innehåller de öppna mängderna .

Antag att $V\subseteq S$ är en öppen mängd med $\mu (V)<\infty .$ Det kan bevisas att för varje Borel-mängd $A\in \Sigma$ som ingår i $V,$ och för varje $\varepsilon >0,$ det finns en sluten uppsättning $F$ och en öppen uppsättning $U$ sådan att

$$F\subseteq A\subseteq U\subseteq V\quad {\text{and}}\quad \mu (U)-\mu (F)=\mu (U\setminus F)<\varepsilon$$

Det följer att det finns en kontinuerlig Urysohn-funktion $0\leq \varphi \leq 1$ på $S$ som är $1$ på $F$ och ${\ displaystyle 0}$ på $S\setminus U,$ med

$$\int _{S}|\mathbf {1} _{A}-\varphi |\,\mathrm {d} \mu <\varepsilon \,.$$

Om $S$ kan täckas av en ökande sekvens $(V_{n})$ av öppna mängder som har ändligt mått, då är utrymmet för $p$ –integrerbara kontinuerliga funktioner är tät i $L^{p}(S,\Sigma ,\mu ).$ Mer exakt kan man använda avgränsade kontinuerliga funktioner som försvinner utanför en av de öppna mängderna $V_{n}.$

Detta gäller särskilt när $S=\mathbb {R} ^{d}$ och när $\mu$ är Lebesgue-måttet. Utrymmet av kontinuerliga och kompakt stödda funktioner är $L^{p}(\mathbb {R} ^{d}).$ På liknande sätt är utrymmet för integrerbara stegfunktioner tätt i $L^{p}(\mathbb {R} ^{d});$ detta utrymme är det linjära spannet av indikatorfunktioner för avgränsade intervall när $d=1,$ för avgränsade rektanglar när $d=2$ och mer allmänt av produkter av avgränsade intervall.

Flera egenskaper hos allmänna funktioner i $L^{p}(\mathbb {R} ^{d})$ bevisas först för kontinuerliga och kompakt stödda funktioner (ibland för stegfunktioner), och utökas sedan av densitet till alla funktioner. Till exempel är det bevisat på detta sätt att översättningar är kontinuerliga på $L^{p}(\mathbb {R} ^{d}),$ i följande betydelse:

$$\forall f\in L^{p}\left(\mathbb {R} ^{ d}\right):\quad \left\|\tau _{t}ff\right\|_{p}\to 0,\quad {\text{as }}\mathbb {R} ^{d}\ ni t\till 0,$$

var

$$(\tau _{t}f)(x)=f(xt).$$

Slutna delutrymmen

Om $\mu$ är ett sannolikhetsmått på ett mätbart utrymme $är {\displaystyle (S,\Sigma ),}$$0<p<\infty$ vilken som helst positiv reella tal, och $V\subseteq L^{\infty }(\mu )$ är ett vektordelrum, då är $V$ ett slutet delrum av $L^{p}(\mu )$ om och endast om $V$ är finitdimensionell (observera att $V$ valdes oberoende av $p$ ). I denna sats, som beror på Alexander Grothendieck , är det avgörande att vektorrummet $V$ är en delmängd av $L^{\infty }$ eftersom det är möjligt att konstruera en oändlig dimensionell slutet vektordelrum av ${\displaystyle L^{1}\left(S^{1},{\tfrac {1}{2\pi }}\lambda \right)} (det är till och med$ en delmängd av $L^{4}$ ), där $\lambda$ är Lebesgue-mått på enhetscirkeln $S^{1}$ och ${\ tfrac {1}{2\pi }}\lambda$ är sannolikhetsmåttet som blir resultatet av att dividera det med dess massa $\lambda (S^{1})=2\pi .$

L ^p (0 < p < 1)

Låt $(S,\Sigma ,\mu )$ vara ett måttutrymme. Om $0<p<1,$ så kan $L^{p}(\mu )$ definieras enligt ovan: det är kvotvektorutrymmet för de mätbara funktioner $f$ så att

$$N_{p}(f)=\int _{S}|f|^{p}\,d\mu <\infty .$$

Som tidigare kan vi introducera $p$ -norm $\|f\|_{p}=N_{p}(f)^ {1/p},$ men $\|\cdot \|_{p}$ uppfyller inte triangelolikheten i detta fall och definierar endast en kvasinorm . Olikheten $(a+b)^{p}\leq a^{p}+b^{p},$ gäller för $a,b\geq 0,$ innebär att ( Rudin 1991 , §1.47)

$$N_{p}(f+g)\leq N_{p}(f)+N_{p}(g)$$

och så funktionen

$$d_{p}(f,g)=N_{p}(fg)=\|fg\|_ {p}^{p}$$

är ett mått på $L^{p}(\mu ).$ Det resulterande metriska utrymmet är komplett ; verifieringen liknar det välbekanta fallet när $p\geq 1.$ Kulorna

$$B_{r}=\{f\in L^{p}:N_{p}(f)<r\}$$

bildar en lokal bas vid ursprunget för denna topologi, eftersom $r>0$ sträcker sig över de positiva realerna. Dessa bollar uppfyller $B_{r}=r^{1/p}B_{1}$ för alla verkliga $r>0,$ som i synnerhet visar att $B_{1}$ är en avgränsad ursprungsområdet; med andra ord, detta utrymme är lokalt begränsat, precis som alla normerade utrymmen , trots att $\|\cdot \|_{p}$ inte är en norm.

I denna inställning uppfyller $L^{p}$ en omvänd Minkowski-olikhet , det vill säga för $u,v\in L^{p}$

$${\Big \|}|u|+|v|{\Big \|}_{p}\geq \|u\|_{p}+ \|v\|_{p}$$

Detta resultat kan användas för att bevisa Clarksons ojämlikheter , som i sin tur används för att fastställa den enhetliga konvexiteten för utrymmena $L^{p}$ för $1<p<\infty$ ( Adams & Fournier 2003 ).

Mellanrummet $L^{p}$ för $0<p<1$ är ett F-mellanslag : det tillåter ett fullständigt translationsinvariant mått med avseende på vilket vektorrymdsoperationerna är kontinuerlig. Det är det prototypiska exemplet på ett F-utrymme som för de flesta rimliga måttutrymmen inte är lokalt konvext : i $\ell ^{p}$ eller $L^{p}([0,1]),$ varje öppen konvex uppsättning som innehåller funktionen $0$ är obegränsad för $p$ -quasi-norm; därför $0$ inte ett grundläggande system av konvexa kvarter. Specifikt gäller detta om måttutrymmet $S$ innehåller en oändlig familj av osammanhängande mätbara uppsättningar av ändliga positiva mått.

Den enda icke-tomma konvexa öppna mängden i $L^{p}([0,1])$ är hela rymden ( Rudin 1991 , §1.47). Som en speciell konsekvens finns det inga kontinuerliga linjära funktionaler som inte är noll på $L^{p}([0,1]);$ det kontinuerliga dubbla utrymmet är nollutrymmet. När det gäller räkneåtgärden på de naturliga talen (som ger sekvensutrymmet $L^{p}(\mu )=\ell ^{p}$ ), de avgränsade linjära funktionalerna på $\ ell ^{p}$ är exakt de som är avgränsade på $\ell ^{1},$ nämligen de som ges av sekvenser i $\ell ^{\infty }.$ Även om $\ell ^{p}$ innehåller icke-triviala konvexa öppna uppsättningar, den saknar tillräckligt många för att ge en bas för topologin.

Situationen att inte ha några linjära funktioner är högst oönskad för analysändamål. I fallet med Lebesgue-måttet på $\mathbb {R} ^{n},$ istället för att arbeta med $L^{p}$ för $0 <p<1,$ det är vanligt att arbeta med Hardy-utrymmet H ^p när det är möjligt, eftersom det har en hel del linjära funktioner: tillräckligt för att skilja punkter från varandra. Men den Hahn–Banach-satsen misslyckas fortfarande i H ^p för $p<1$ ( Duren 1970 , §7.5).

L ⁰ , utrymmet för mätbara funktioner

Vektorutrymmet för (ekvivalensklasser av) mätbara funktioner på $(S,\Sigma ,\mu )$ betecknas $L^{0} (S,\Sigma,\mu)$ ( Kalton, Peck & Roberts 1984 ). Per definition innehåller den alla $L^{p},$ och är utrustad med konvergenstopologin i mått . När $\mu$ är ett sannolikhetsmått (dvs $\mu (S)=1$ ), detta konvergenssätt kallas konvergens i sannolikhet .

Beskrivningen är lättare när $\mu$ är finit. Om $\mu$ är ett ändligt mått på ${\displaystyle (S,\Sigma ),} medger$$0$ -funktionen för konvergensen i måttet följande grundläggande system av grannskap

$$V_{\varepsilon }={\Bigl \{}f:\mu {\ bigl (}\{x:|f(x)|>\varepsilon \}{\bigr )}<\varepsilon {\Bigr \}},\qquad \varepsilon >0.$$

Topologin kan definieras av valfri metrisk $d$ i formuläret

$$d(f,g)=\int _{S}\varphi {\bigl ( }|f(x)-g(x)|{\bigr )}\,\mathrm {d} \mu (x)$$

där $\varphi$ är avgränsad kontinuerlig konkav och icke-minskande på $[0,\infty ),$ med $\varphi (0)=0$ och $\varphi (t)>0$ när $t>0$ (till exempel $\varphi (t)=\min(t,1).$ Ett sådant mått kallas Lévy -metrisk för $L^{0}.$ Under detta mått är mellanslag $L^{0}$ komplett (det är återigen ett F-mellanslag ). Mellanrummet $L^{0}$ är i allmänhet inte lokalt begränsat och inte lokalt konvext.

För det oändliga Lebesgue-måttet $\lambda$ på $\mathbb {R} ^{n},$ skulle definitionen av det grundläggande systemet av kvarter kunna modifieras enligt följande

$$W_{\varepsilon }=\left\{f:\lambda \left (\left\{x:|f(x)|>\varepsilon {\text{ och }}|x|<{\tfrac {1}{\varepsilon }}\right\}\right)<\varepsilon \right \}$$

Det resulterande rymden $L^{0}(\mathbb {R} ^{n},\lambda )$ sammanfaller som topologisk vektorrymd med ${\displaystyle L^{0}(\mathbb {R} ^{n},g(x)\,\mathrm {d} \lambda (x)),} för alla positiva λ$ { $displaystyle \lambda }$ –integrerbar densitet $g.$

Generaliseringar och förlängningar

Svag $L^{p}$

Låt $(S,\Sigma ,\mu )$ vara ett måttutrymme och $f$ en mätbar funktion med reella eller komplexa värden på $S.$ Fördelningsfunktionen för $f$ definieras för $\displaystyle t\geq 0}$ { av

$$\lambda _{f}(t)=\mu \{x\in S:|f(x)|>t\}.$$

Om $f$ är i $L^{p}(S,\mu )$ för vissa $p$ med $1 \leq p<\infty ,$ sedan av Markovs ojämlikhet ,

$$\lambda _{f}(t)\leq {\frac {\|f\|_{p}^{p}}{t^{p }}}$$

En funktion $f$ sägs vara i utrymmet svagt $L^{p}(S,\mu )$ , eller $L^{p,w}(S,\mu ),$ om det finns en konstant $C>0$ så att, för alla $T>0,$

$$\lambda _{f}(t)\leq {\frac {C^{p}}{t^{p}}}$$

Den bästa konstanten $C$ för denna olikhet är $L^{p,w}$ -normen för $\displaystyle f,}$ och betecknas med

$$\|f\|_{p,w}=\sup _{t>0}~t\lambda _{f}^{1/p}(t).$$

Den svaga $L^{p}$ sammanfaller med Lorentz-mellanrummen $L^{p,\infty },$ så denna notation används också för att beteckna dem.

L $L^{p,w}$ -normen är inte en sann norm, eftersom inte håller. Ändå, för $f$ i $L^{p}(S,\mu ),$

$$\|f\|_{p,w}\leq \|f\|_{p}$$

$L^{p}(S,\mu )\subset L^{p,w}(S,\mu ).$ i

Det har man faktiskt

$$\|f\|_{L^{p}}^{p}=\int |f(x)|^{p}d\mu (x) \geq \int _{\{|f(x)|>t\}}t^{p}+\int _{\{|f(x)|\leq t\}}|f|^{p} \geq t^{p}\mu (\{|f|>t\}),$$

och höja till effekt $1/p$ och ta högsta värdet i $t$ man har

$$\|f\|_{L^{p}}\geq \sup _{t>0}t\;\mu (\{|f|>t\})^{1/p}=\ |f\|_{L^{p,w}}.$$

Enligt konventionen att två funktioner är lika om de är lika $\mu$ nästan överallt, så är utrymmena $L^{p,w}$ kompletta ( Grafakos 2004 ).

För alla $0<r<p$ uttrycket

$$\||f|\|_{L^{p,\infty }}=\sup _{0<\mu (E)<\infty }\mu (E)^{-1/r+1 /p}\left(\int _{E}|f|^{r}\,d\mu \right)^{1/r}$$

är jämförbar med $L^{p,w}$ -normen. Vidare i fallet $p>1,$ definierar detta uttryck en norm om $r=1.$ Därav för $p>1$ den svaga $L^{p}$ mellanslag är Banach-mellanslag ( Grafakos 2004) .

Ett huvudresultat som använder $L^{p,w}$ -mellanrummen är Marcinkiewiczs interpolationssats , som har breda tillämpningar för harmonisk analys och studiet av singularintegraler .

Viktade $L^{p}$ mellanslag

Som tidigare, överväg ett måttutrymme $(S,\Sigma ,\mu ).$ Låt $w:S\to [a,\infty ),a>0$ vara en mätbar funktion . Mellanrummet $w$ - viktat $displaystyle L^{p}}$ \ definieras som $L^{p}(S,w\,\mathrm {d} \mu ),$ där $w\,\mathrm {d} \mu$ betyder måttet $\nu$ definierat av

$$\nu (A)\equiv \int _{A}w(x)\,\mathrm {d} \mu (x),\qquad A\in \Sigma ,$$

eller, i termer av Radon–Nikodym-derivatan , $w={\tfrac {\mathrm {d} \nu }{\mathrm {d} \mu }$ } normen för $L^{p}(S,w\,\mathrm {d} \mu )$ är explicit

$$\|u\|_{L^{p }(S,w\,\mathrm {d} \mu )}\equiv \left(\int _{S}w(x)|u(x)|^{p}\,\mathrm {d} \mu (x)\höger)^{1/p}$$

Som $L^{p}$ -mellanslag har de viktade mellanrummen inget speciellt, eftersom $L^{p}(S,w\,\mathrm {d } \mu)$ är lika med $L^{p}(S,\mathrm {d} \nu ).$ Men de är det naturliga ramverket för flera resultat i övertonsanalys ( Grafakos 2004 ); de visas till exempel i Muckenhoupt-satsen : för $1<p<\infty ,$ definieras den klassiska Hilbert-transformen på $L^{p}(\mathbf {T} , \lambda )$ där $\mathbf {T}$ betecknar enhetscirkeln och $\lambda$ Lebesgue-måttet; den (icke-linjära) Hardy–Littlewood maximaloperatorn $L^{p}(\mathbb {R} ^{n},\lambda ).$ till Muckenhoupts teorem beskriver vikter $w$ så att Hilbert-transformen förblir begränsad till $L^{p}(\mathbf {T} ,w\,\mathrm {d} \lambda )$ och den maximala operatorn på $L^{p}(\mathbb {R} ^{n},w\,\mathrm {d} \lambda ).$

$L^{p}$ mellanslag på grenrör

Man kan också definiera utrymmen $L^{p}(M)$ på ett grenrör, kallat de inneboende $L^{p}$ utrymmena i grenröret, med hjälp av densiteter .

Vektorvärderade $L^{p}$ mellanslag

Givet ett måttutrymme $(\Omega ,\Sigma ,\mu )$ och ett lokalt konvext utrymme $E$ (här antas vara komplett ), är det möjligt att definiera utrymmen av $p$ -integrerbar $E$ -värderade funktioner på $\Omega$ på ett antal sätt. Ett sätt är att definiera utrymmen av Bochner integrerbar och Pettis integrerbara funktioner, och sedan förse dem med lokalt konvexa TVS-topologier som är (var och en på sitt sätt) en naturlig generalisering av den vanliga $L^{p}$ topologin. Ett annat sätt involverar topologiska tensorprodukter av $L^{p}(\Omega ,\Sigma ,\mu )$ med $E.$ Element i vektorrummet $L^{p}(\Omega ,\Sigma ,\mu )\otimes E$ är ändliga summor av enkla tensorer ${\displaystyle f_{1}\otimes e_{1}+\cdots +f_{n}\otimes e_{n},} där varje$ enkel tensor $f\times e$ kan identifieras med funktionen $\Omega \to E$ som skickar $x\mapsto ef(x).$ Denna tensorprodukt $L^{p}(\Omega ,\Sigma ,\mu )\otimes E$ är då begåvad med en lokalt konvex topologi som gör den till en topologisk tensorprodukt , varav de vanligaste är den projektiva tensorprodukten , betecknad med $L^{p}(\Omega ,\Sigma ,\mu )\otimes _{\pi }E,$ och den injektiva tensorprodukten , betecknad med $L^{p}(\Omega ,\Sigma ,\mu )\otimes _{\varepsilon }E.$ I allmänhet är inget av dessa utrymmen komplett så deras kompletteringar är konstruerade, som respektive betecknas med $L^{p}(\Omega ,\Sigma ,\mu ){\widehat {\otimes }}_{\ pi }E$ och $L^{p}(\Omega ,\Sigma ,\mu ){\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }E$ (detta är analogt med hur utrymmet för skalärvärderade enkla fungerar på $\Omega ,$ när den är seminorerad med någon $\|\cdot \|_{p},$ inte komplett så en komplettering konstrueras som, efter att ha kvoterats av $\ker \|\cdot \|_{p},$ är isometriskt isomorft till Banachutrymmet $L^{p}(\Omega ,\mu )$ ). Alexander Grothendieck visade att när $E$ är ett nukleärt rymd (ett begrepp som han introducerade), då är dessa två konstruktioner kanoniskt TVS-isomorfa respektive med utrymmena för Bochner och Pettis integralfunktioner som nämnts tidigare; kort sagt, de går inte att särskilja.

Se även

• Bochner space – matematiskt koncept
• Orlicz space – topologiskt utrymme Sidor som visar wikidata-beskrivningar som en reserv
• Hardy space – Koncept inom komplex analys
• Riesz–Thorins sats – Sats om operatorinterpolation
• Hölder medelvärde – N:te roten av det aritmetiska medelvärdet av de givna talen upphöjda till potensen n Sidor som visar korta beskrivningar av omdirigeringsmål
• Hölder space – Typ av kontinuitet för en komplext värderad funktion Sidor som visar korta beskrivningar av omdirigeringsmål
• Rotmedelkvadrat – kvadratroten av medelkvadraten
• Lokalt integrerad funktion $\left(L_{\text{loc}}^{1}\right)$
• $L^{p}(G)$ mellanslag över en lokalt kompakt grupp $G$ – Dualitet för lokalt kompakta abelska grupper
• Minsta kvadraters spektralanalys – periodicitetsberäkningsmetod
• Lista över Banach-utrymmen
• Minkowski-avstånd – avstånd mellan vektorer eller punkter beräknat som pth-roten av summan av pth-potenser av koordinatskillnader Sidor som visar wikidata-beskrivningar som en reserv
• L-oändlighet – Utrymme av avgränsade sekvenser
• L ^p summa

Anteckningar

•   Adams, Robert A.; Fournier, John F. (2003), Sobolev Spaces (andra upplagan), Academic Press, ISBN 978-0-12-044143-3 .
•   Bourbaki, Nicolas (1987), Topologiska vektorrum , Elements of mathematics, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-13627-9 .
•   DiBenedetto, Emmanuele (2002), Real analysis , Birkhäuser, ISBN 3-7643-4231-5 .
• Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob T. (1958), Linjära operatorer, volym I , Wiley-Interscience .
• Duren, P. (1970), Theory of H ^p -Spaces , New York: Academic Press
•   Grafakos, Loukas (2004), Classical and Modern Fourier Analysis , Pearson Education, Inc., s. 253–257, ISBN 0-13-035399-X .
• Hewitt, Edwin; Stromberg, Karl (1965), Verklig och abstrakt analys , Springer-Verlag .
•    Kalton, Nigel J .; Peck, N. Tenney; Roberts, James W. (1984), An F-space sampler , London Mathematical Society Lecture Note Series, vol. 89, Cambridge: Cambridge University Press, doi : 10.1017/CBO9780511662447 , ISBN 0-521-27585-7 , MR 0808777
•   Riesz, Frigyes (1910), "Untersuchungen über Systeme integrierbarer Funktionen" , Mathematische Annalen , 69 (4): 449–497, doi : 10.1007/BF01457637 , S2CID 120242933
•    Rudin, Walter (1991). Funktionsanalys . Internationell serie i ren och tillämpad matematik. Vol. 8 (andra upplagan). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5 . OCLC 21163277 .
•    Rudin, Walter (1987), Verklig och komplex analys (3:e upplagan), New York: McGraw-Hill , ISBN 978-0-07-054234-1 , MR 0924157
•    Rudin, Walter (1991). Funktionsanalys . Internationell serie i ren och tillämpad matematik. Vol. 8 (andra upplagan). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5 . OCLC 21163277 .
•   Titchmarsh, EC (1976), Theory of functions , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853349-8

externa länkar

• "Lebesgue space" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Bevis på att L ^p- mellanslag är kompletta