Strikt konvext utrymme
I matematik är ett strikt konvext utrymme ett normerat vektorrum ( X , || ||) för vilket den slutna enhetskulan är en strikt konvex mängd . Med andra ord, ett strikt konvext utrymme är ett där, givet två olika punkter x och y på enhetssfären ∂ B (dvs. gränsen för enhetskulan B till X ), segmentet som förenar x och y möter endast ∂ B vid x och y . Strikt konvexitet är någonstans mellan ett inre produktutrymme (alla inre produktutrymmen är strikt konvexa) och ett generellt normerat utrymme i termer av struktur. Det garanterar också det unika med en bästa approximation till ett element i X (strikt konvext) från ett konvext delrum Y , förutsatt att en sådan approximation existerar.
Om det normerade utrymmet X är komplett och uppfyller den något starkare egenskapen att vara likformigt konvex (vilket innebär strikt konvexitet), så är det också reflexivt enligt Milman-Pettis sats .
Egenskaper
Följande egenskaper motsvarar strikt konvexitet.
- Ett normerat vektorrum ( X , || ||) är strikt konvext om och endast om x ≠ y och || x || = || y || = 1 tillsammans betyder att || x + y || < 2.
- Ett normerat vektorrum ( X , || ||) är strikt konvext om och endast om x ≠ y och || x || = || y || = 1 tillsammans betyder att || αx + (1 − α ) y || < 1 för alla 0 < α < 1.
- 00 Ett normerat vektorrum ( X , || ||) är strikt konvext om och endast om x ≠ och y ≠ och || x + y || = || x || + || y || tillsammans innebär att x = cy för någon konstant c > 0 ;
- Ett normerat vektorrum ( X , || || ) är strikt konvext om och endast om konvexitetsmodulen δ för ( X , || ||) uppfyller δ (2) = 1.
Se även
- Goebel, Kazimierz (1970). "Konvexitet för bollar och fixpunktssatser för avbildningar med icke-expansiv kvadrat". Compositio Mathematica . 22 (3): 269–274.