Konvergens i mått

Ej att förväxla med konvergens av åtgärder .

Konvergens i mått är endera av två distinkta matematiska begrepp som båda generaliserar begreppet konvergens i sannolikhet .

Definitioner

Låt ${\displaystyle f,f_{n}\ (n\i \mathbb {N} ):X\to \mathbb {R} } vara$ mätbara funktioner på ett mått mellanslag $(X,\Sigma ,\mu )$ . Sekvensen $f_{n}$ sägs konvergera globalt i mått till $f$ om för varje $\varepsilon >0$ ,

$\lim _{n\to \infty }\mu (\{x\in X :|f(x)-f_{n}(x)|\geq \varepsilon \})=0$ ,

och att konvergera lokalt i mått till $f$ om för varje $\epsilon >0$ och varje $F\in \Sigma$ med $\mu (F)<\infty$ ,

$\lim _{n\to \infty }\mu (\{x\in F :|f(x)-f_{n}(x)|\geq \varepsilon \})=0$ .

På ett ändligt mått är båda begreppen likvärdiga. Annars kan konvergens i mått hänvisa till antingen global konvergens i mått eller lokal konvergens i mått, beroende på författaren.

Egenskaper

Genomgående är f och f _n ( n $\in$ N ) mätbara funktioner X → R .

• Global konvergens i mått innebär lokal konvergens i mått. Det omvända är emellertid falskt; dvs lokal konvergens i mått är strikt svagare än global konvergens i mått, i allmänhet.
• Om däremot $\mu (X)<\infty$ eller, mer allmänt, om f och alla f _n försvinner utanför någon uppsättning ändliga mått, då är distinktionen mellan lokal och global konvergens i mått försvinner.
• Om μ är σ -ändlig och ( f _n ) konvergerar (lokalt eller globalt) till f i mått, finns det en undersekvens som konvergerar till f nästan överallt . Antagandet om σ -ändlighet är inte nödvändigt i fallet med global konvergens i mått.
• Om μ är σ -ändlig, konvergerar ( f _{n ) till} f lokalt i mått om och endast om varje delsekvens i sin tur har en delsekvens som konvergerar till f nästan överallt.
• I synnerhet om ( f _n ) konvergerar till f nästan överallt, då konvergerar ( f _{n ) till} f lokalt i mått. Det omvända är falskt.
• Fatous lemma och det monotona konvergenssatsen gäller om konvergens nästan överallt ersätts med (lokal eller global) konvergens i mått.
• Om μ är σ -ändlig , gäller även Lebesgues dominerade konvergenssats om konvergens nästan överallt ersätts med (lokal eller global) konvergens i mått.
• Om X = [ a , b ] ⊆ R och μ är Lebesgue - mått , finns det sekvenser ( g _n ) av stegfunktioner och ( h _n ) av kontinuerliga funktioner som konvergerar globalt i mått till f .
• Om f och f _n ( n ∈ N ) är i L ^p ( μ ) för vissa p > 0 och ( f _n ) konvergerar till f i p -normen, då konvergerar ( f _n ) till f globalt i mått. Det omvända är falskt.
• Om f _n konvergerar till f i mått och g _n konvergerar till g i mått så konvergerar f _n + g _{n till} f + g i mått. Dessutom, om måttutrymmet är ändligt, konvergerar f _n g _{n också till} fg .

Motexempel

Låt $X=\mathbb {R}$ , μ vara Lebesgue-måttet och f konstantfunktionen med värdet noll.

• Sekvensen $f_{n}=\chi _{[n,\infty )}$ konvergerar till f lokalt i mått, men konvergerar inte till f globalt i mått.
• Sekvensen $f_{n}=\chi _{\left[{\frac {j}{2^{k}}},{\frac {j+1}{2^{k}}}\right]}$ där $k=\lfloor \log _{2}n\rfloor$ och $j=n-2^{k}$ (de första fem termerna är $\chi _{\left[0,1\right ]},\;\chi _{\left[0,{\frac {1}{2}}\right]},\;\chi _{\left[{\frac {1}{2}},1 \right]},\;\chi _{\left[0,{\frac {1}{4}}\right]},\;\chi _{\left[{\frac {1}{4}} ,{\frac {1}{2}}\right]}$0 ) konvergerar till globalt i mått; men för inget x konvergerar f _n (x) till noll. Därför (f _n ) att konvergera till f nästan överallt.

• Sekvensen ${\displaystyle f_{n}=n\chi _{\left[0,{\frac {1}{n}}\right]}} konvergerar$ till f nästan överallt och globalt i mått, men inte i p -normen för någon $p\geq 1$ .

Topologi

Det finns en topologi , kallad topologin för (lokal) konvergens i mått, på samlingen av mätbara funktioner från X så att lokal konvergens i mått motsvarar konvergens på den topologin. Denna topologi definieras av familjen pseudometri

$\{\rho _{F}:F\in \Sigma ,\ \mu (F)<\infty \},$

var

$\rho _{F}(f,g)=\int _{F}\min\{|fg|,1\}\,d\mu$ .

I allmänhet kan man begränsa sig till någon underfamilj av mängder F (istället för alla möjliga delmängder av ändligt mått). Det räcker att för varje $G\subset X$ av ändligt mått och $\varepsilon >0$ finns det F i familjen så att $\mu (G\setminus F)<\varepsilon .$ När $\mu (X)<\infty$ , vi kan bara betrakta ett mått $\rho _{X}$ , så konvergenstopologin i ändligt mått är mätbar. Om $\mu$ är ett godtyckligt mått ändligt eller inte, då

$d(f,g):=\inf \limits _{\delta >0}\mu ( \{|fg|\geq \delta \})+\delta$

definierar fortfarande ett mått som genererar den globala konvergensen i mått.

Eftersom denna topologi genereras av en familj av pseudometri, är den enhetlig . Att arbeta med enhetliga strukturer istället för topologier gör att vi kan formulera enhetliga egenskaper som Cauchyness .

Se även

• Konvergensutrymme

• DH Fremlin, 2000. Måttteori . Torres Fremlin.
• HL Royden, 1988. Verklig analys . Prentice Hall.
• GB Folland 1999, avsnitt 2.4. Verklig analys . John Wiley & Sons.