Begränsad uppsättning (topologiskt vektorrum)

För bounded sets i allmänhet, se bounded set .

I funktionell analys och relaterade områden av matematik kallas en uppsättning i ett topologisk vektorrum bounded eller von Neumann bounded , om varje grannskap av nollvektorn kan blåses upp för att inkludera mängden. En mängd som inte är begränsad kallas ogränsad .

Begränsade mängder är ett naturligt sätt att definiera lokalt konvexa polära topologier på vektorrymden i ett dubbelpar , eftersom den polära uppsättningen av en avgränsad mängd är en absolut konvex och absorberande mängd . Konceptet introducerades först av John von Neumann och Andrey Kolmogorov 1935 .

Definition

Antag att $X$ är ett topologiskt vektorrum (TVS) över ett fält $\mathbb {K} .$

En delmängd $B$ av $X$ kallas von Neumann bounded eller just bounded i $X$ om något av följande ekvivalenta villkor är uppfyllda:

1. Definition : För varje område $V$ av ursprunget finns det ett verkligt $r>0$ så att $B\subseteq sV$ för alla skalärer $s$ tillfredsställande $|s|\geq r.$
   • Detta var definitionen som introducerades av John von Neumann 1935.
2. $\displaystyle B}$ { absorberas av varje område i ursprunget.
3. För varje område $V$ av ursprunget finns det en skalär $s$ så att $B\subseteq sV.$
4. För varje stadsdel $V$ av ursprunget finns det ett verkligt $r>0$ så att $sB\subseteq V$ för alla skalärer $s$ uppfyller $|s|\leq r.$
5. För varje grannskap $V$ av ursprunget finns det en reell $r>0$ så att $tB\subseteq V$ för alla reella $0<t\leq r.$
6. Något av påståendena (1) till (5) ovan men med ordet "grannskap" ersatt av något av följande: " balanserad grannskap", "öppen balanserad grannskap", "sluten balanserad grannskap", "öppen grannskap", "stängd grannskap".
   • t.ex. påstående (2) kan bli: $B$ är begränsat om och endast om $B$ absorberas av varje balanserad grannskap av ursprunget.
   • Om $X$ är lokalt konvex kan adjektivet "konvex" också läggas till i någon av dessa 5 ersättningar.
7. För varje sekvens av skalärer $s_{1},s_{2},s_{3},\ldots$ som konvergerar till $0$ och varje sekvens $b_{1},b_{2},b_{3},\ldots$ i $B,$ sekvensen $s_{1}b_{1},s_{2}b_{2},s_{3}b_{3},\ldots$ konvergerar till $0$ i $X.$
   • Detta var definitionen av "avgränsad" som Andrey Kolmogorov använde 1934, vilket är samma som definitionen som introducerades av Stanisław Mazur och Władysław Orlicz 1933 för mätbara TVS. Kolmogorov använde denna definition för att bevisa att en TVS är seminormabel om och endast om den har en avgränsad konvex grannskap av ursprunget.
8. För varje sekvens $b_{1},b_{2},b_{3},\ldots$ i $B,$ sekvensen ${\textstyle \left({\tfrac {1}{i}}b_{i}\right)_{i=1}^{\infty }} konvergerar till {\displaystyle$ converges to $0$ in $X.$
9. Varje räknebar delmängd av $B$ är avgränsad (enligt alla andra definierande villkor än detta).

Om ${\mathcal {B}}$ är en grannskapsbas för $X$ vid ursprunget kan den här listan utökas till att inkludera:

10. Vilket som helst av påståendena (1) till (5) ovan men med kvarteren begränsade till de som tillhör ${\mathcal {B}}.$
    • t.ex. påstående (3) kan bli: För varje $V\i {\mathcal {B}}$ finns det en skalär $s$ såsom att $B\subseteq sV.$

Om $X$ är ett lokalt konvext utrymme vars topologi definieras av en familj ${\mathcal {P}}$ av kontinuerliga seminormer , kan den här listan utökas till att omfatta:

11. $p(B)$ är begränsad för alla $p\in {\mathcal {P}}.$
12. Det finns en sekvens av skalärer som inte är noll $s_{1},s_{2},s_{3},\ldots$ så att för varje sekvens $b_{1},b_{2},b_{3},\ldots$ i $B,$ sekvensen $b_{1}s_{1},b_{2}s_{2},b_{3}s_{3},\ldots$ är avgränsad i $X$ (enligt någon definition annat tillstånd än detta).
13. För alla $p\in {\mathcal {P}},$$B$ avgränsad (enligt alla andra definitionsvillkor än detta) i det semi-normerade utrymmet $(X,p).$

Om $X$ är ett normerat utrymme med norm $\|\cdot \|$ (eller mer allmänt, om det är ett seminorerat utrymme och $\|\cdot \|$ bara är en seminorm ), kan den här listan utökas till att omfatta:

14. $B$ är en normbunden delmängd av $(X,\|\cdot \|).$ Per definition betyder detta att det finns ett reellt tal $r>0$ så att $\|b\| \leq r$ för alla $b\in B.$
15. $\sup _{b\in B}\|b\|<\infty .$
    • Således, om $L:(X, \|\cdot \|)\to (Y,\|\cdot \|)$ är en linjär karta mellan två normerade (eller seminormade) mellanslag och om $B$ är den stängda (alternativt öppna) enhetsbollen i $(X,\|\cdot \|)$ centrerad vid origo, då är $L$ en avgränsad linjär operator (vilket återkallar betyder att dess operatornorm $\|L\|:=\sup _{b\in B}\|L(b)\|<\infty$ är finit) om och endast om bilden $L(B)$ av denna boll under $L$ är en normbunden delmängd av $(Y,\|\cdot \|).$
16. $B$ är en delmängd av någon (öppen eller stängd) boll.
    • Denna kula behöver inte vara centrerad vid origo, men dess radie måste (som vanligt) vara positiv och ändlig.

Om $B$ är ett vektorunderrum till TVS $X$ kan den här listan utökas till att inkludera:

17. $B$ ingår i stängningen av $\{0\}.$
    • Med andra ord, ett vektordelrum av $X$ är begränsat om och endast om det är en delmängd av (vektorrummet) $\operatörsnamn {cl} _{X}\{0\}.$
    • Kom ihåg att $X$ är ett Hausdorff-mellanslag om och endast om $\{0\}$ är stängd i $X.$ Så det enda avgränsade vektorunderrummet för en Hausdorff TVS är $\{0\}.$

En delmängd som inte är begränsad kallas ogränsad .

Bornologi och grundläggande system av avgränsade uppsättningar

Samlingen av alla avgränsade mängder på ett topologiskt vektorrum $X$ kallas von Neumann-bornologin bornologin av $X.$ den ( kanoniska )

Ett bas- eller fundamentalsystem av avgränsade uppsättningar av $X$ är en uppsättning ${\mathcal {B}}$ av avgränsade delmängder av $X$ så att varje avgränsad delmängd av $X$ är en delmängd av några $B\in {\mathcal {B}}.$ Mängden av alla avgränsade delmängder av $X$ bildar trivialt ett grundläggande system av avgränsade uppsättningar av $X.$

Exempel

I alla lokalt konvexa TVS är uppsättningen av slutna och avgränsade skivor en bas av begränsad uppsättning.

Exempel och tillräckliga villkor

Om inte annat anges behöver ett topologiskt vektorrum (TVS) inte vara Hausdorff eller lokalt konvext .

• Finita mängder är avgränsade.
• Varje helt avgränsad delmängd av en TVS är avgränsad.
• Varje relativt kompakt mängd i ett topologiskt vektorrum är avgränsat. Om utrymmet är utrustat med den svaga topologin är det omvända också sant.
• Uppsättningen av punkter i en Cauchy-sekvens är avgränsad, uppsättningen av punkter för ett Cauchy -nät behöver inte vara begränsad.
• Stängningen av origo (med hänvisning till stängningen av mängden $\{0\}$ ) är alltid ett begränsat slutet vektorunderrum. Denna uppsättning $\operatorname {cl} _{X}\{0\}$ är den unika största (med avseende på setinkludering $\,\subseteq \,$ ) avgränsade vektorunderrymden av $X.$ I synnerhet om $B\subseteq X$ är en begränsad delmängd av $X$ så är $B+\operatörsnamn {cl} _{X}\{0\}.$

Obegränsade uppsättningar

En mängd som inte är begränsad sägs vara obegränsad .

Varje vektordelrum i en TVS som inte ingår i stängningen av $\{0\}$ är obegränsad

Det finns ett Fréchet-utrymme ${\displaystyle X} som$ har en avgränsad delmängd $B$ och även ett tätt vektorunderutrymme $M$ så att $B$ inte ingår i stängningen (i $X$ ) av någon avgränsad delmängd av $M.$

Stabilitetsegenskaper

• I alla TVS är ändliga fackföreningar , ändliga Minkowski-summor , skalära multiplar, översättningar, delmängder, stängningar , interiörer och balanserade skrov av avgränsade uppsättningar igen avgränsade.
• I alla lokalt konvexa TVS är det konvexa skrovet (även kallat det konvexa höljet ) av en avgränsad uppsättning igen avgränsad. Detta kan dock vara falskt om utrymmet inte är lokalt konvext, eftersom det (icke-lokalt konvexa) Lp-utrymmet $L^{p}$ mellanslag för $0<p<1$ har inga icke-triviala öppna konvexa delmängder.
• Bilden av en avgränsad uppsättning under en kontinuerlig linjär karta är en avgränsad delmängd av koddomänen.
• En delmängd av en godtycklig (kartesisk) produkt av TVS är begränsad om och endast om dess bild under varje koordinatprojektion är begränsad.
• Om $S\subseteq X\subseteq Y$ och $X$ är ett topologiskt vektorunderrum av $Y,$ så är $S$ avgränsad till ${ \displaystyle X}$ om och endast om $S$ är avgränsad i $Y.$
  • Med andra ord är en delmängd $S\subseteq X$ avgränsad i $X$ om och endast om den är begränsad i varje (eller motsvarande, i någon) topologisk vektor superrymden $X.$

Egenskaper

Se även: Topologiskt vektorrum § Egenskaper

Ett lokalt konvext topologiskt vektorrum har ett avgränsat område på noll om och endast om dess topologi kan definieras av en enda seminorm .

Polaren i en avgränsad uppsättning är en absolut konvex och absorberande uppsättning .

Mackeys räknebarhetsvillkor — Om $B_{1},B_{2},B_{3},\ldots$ är en räknebar sekvens av avgränsade delmängder av en metriserbar lokalt konvex topologisk vektor mellanslag $X,$ så finns det en avgränsad delmängd $B$ av $X$ och en sekvens $r_{1},r_ {2},r_{3},\ldots$ av positiva reella tal så att $B_{i}\subseteq r_{i}B$ för alla $i\in \mathbb {N}$ (eller motsvarande, så att ${\tfrac {1}{r_{1}}}B_ {1}\cup {\tfrac {1}{r_{2}}}B_{2}\cup {\tfrac {1}{r_{3}}}B_{3}\cup \cdots \subseteq B$ ) .

Med hjälp av definitionen av likformigt avgränsade mängder som ges nedan kan Mackeys räknebarhetsvillkor räknas om som: Om $B_{1},B_{2},B_{3},\ldots$ är avgränsade delmängder av ett metriserbart lokalt konvext utrymme så finns det en sekvens $t_{1},t_{2},t_{3},\ldots$ av positiva reella tal som t.ex. att $t_{1}B_{1},\,t_{2}B_{2},\,t_{3}B_{3} ,\ldots$ är enhetligt avgränsade . Med ord, givet varje räknebar familj av avgränsade mängder i ett metriserbart lokalt konvext utrymme, är det möjligt att skala varje mängd med sin egen positiva reella så att de blir enhetligt avgränsade.

Generaliseringar

Enhetligt avgränsade uppsättningar

Se även: Uniform boundedness-princip

En familj av mängder ${\mathcal {B}}$ av delmängder av ett topologiskt vektorrum $Y$ sägs vara likformigt avgränsade i $Y,$ om det finns någon avgränsad delmängd $D$ av $Y$ så att

$$B\subseteq D\quad {\text{ för varje }}B\in {\mathcal {B}},$$

vilket händer om och bara om dess förening

$$\cup {\mathcal {B}}~:=~\bigcup _{B\in {\mathcal {B}}}B$$

är en begränsad delmängd av $Y.$ I fallet med ett normerat (eller seminorerat ) utrymme, är en familj ${\mathcal {B}}$ enhetligt begränsad om och endast om dess förening $\cup {\ mathcal {B}}$ är normbegränsad , vilket betyder att det finns någon reell $M\geq 0$ så att ${\textstyle \|b\|\leq M}$ för varje $b\in \cup {\mathcal {B}},$ eller motsvarande, om och endast om ${\textstyle \sup _{\stackrel {b\in B}{B\in {\mathcal {B}}}}\|b\|<\infty .}$

En uppsättning $H$ av kartor från $X$ till $Y$ sägs vara enhetligt begränsad på en given mängd $C\subseteq X$ om familjen $H(C):=\{h(C):h\in H\}$ är enhetligt begränsad i $Y,$ som betyder per definition att det finns någon avgränsad delmängd $D$ av $Y$ så att $h(C)\subseteq D{\text{ för alla }}h\in H,$ eller motsvarande, om och endast om ${\textstyle \cup H(C):=\bigcup _{h\in H}h(C)}$ är en begränsad delmängd av $Y.$ En uppsättning $H$ av linjära kartor mellan två normerade (eller seminormade) utrymmen $X$ och $Y$ är likformigt avgränsad på några (eller motsvarande, alla) öppna boll (och/eller icke-degenererad sluten boll) i $X$ om och endast om deras operatornormer är likformigt avgränsade; det vill säga om och endast om ${\textstyle \sup _{h\in H}\|h\|<\infty .}$

Proposition — Låt $H\subseteq L(X,Y)$ vara en uppsättning kontinuerliga linjära operatorer mellan två topologiska vektorrum $X$ och $Y$ och låt $C\subseteq X$ vara vilken som helst begränsad delmängd av $X.$ Sedan är $H$ enhetligt avgränsad på $C$ (det vill säga familjen $\{h(C):h \in H\}$ är enhetligt avgränsad i $Y$ ) om något av följande villkor är uppfyllt:

1. $H$ är ekvikontinuerlig .
2. $C$ är ett konvext kompakt Hausdorff- delrum av $X$ och för varje ${\displaystyle c\in C,} är$ omloppsbanan H $H(c):=\{h(c):h\in H\}$ är en begränsad delmängd av $Y.$

Bevis för del (1)

Antag att $H$ är likkontinuerlig och låt $W$ vara en grannskap av ursprunget i $Y.$ Eftersom $H$ är likkontinuerlig, finns det en grannskap $U$ med ursprunget i $X$ så att $h(U )\subseteq W$ för varje $h\in H.$ Eftersom $C$ är avgränsad i $X,$ finns det några reella $r>0$ så att om $t \geq r$ sedan $C\subseteq tU.$ Så för varje $h\in H$ och varje $t\geq r,$${\displaystyle h(C)\subseteq h(tU)=th(U)\subseteq tW,} vilket$ innebär att ${\textstyle \bigcup _{h\in H}h(C)\subseteq tW.}$ Således ${\textstyle \bigcup _{h\in H}h(C)}$ avgränsad i $Y.$ QED

Bevis på del (2)

Låt $W$ vara ett balanserat område av ursprunget i $Y$ och låt $V$ vara ett slutet balanserat område av ursprunget i $Y$ så att $V+V\subseteq W.$ Definiera $$E~:=~\bigcap _{h\in H}h^{-1}(V),$$ som är en sluten delmängd av $X$ (eftersom $V$ är stängd medan varje $h:X\to Y$ är kontinuerlig) som uppfyller $h(E)\subseteq V$ för varje $h\in H.$ Observera att för varje skalär som inte är noll ${\displaystyle n\neq 0,} är$ uppsättningen $nE$ stängd i $X$ (eftersom skalär multiplikation med $n\neq 0$ är en homeomorfism ) och därför är varje $C\cap nE$ stängd i $C.$ Det kommer nu att visas att $C\subseteq \bigcup _{n\in \mathbb {N} }nE,$ från vilken $C=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }(C\cap nE)$ följer. Om $c\in C$ då $H(c)$ är avgränsad garanterar att det finns något positivt heltal $n=n_{c}\ i \mathbb {N}$ så att $H(c)\subseteq n_{c}V,$ där linjäriteten för varje $h\in H$ innebär nu ${\displaystyle {\tfrac {1}{n_{c}}}c\in h^{-1}(V);} alltså$ 1 $\ displaystyle {\tfrac {1}{n_{c}}}c\in \bigcap _{h\in H}h^{-1}(V)=E} och$ därmed ${ \displaystyle C\subseteq \bigcup _{n\in \mathbb {N} }nE,}$ enligt önskemål. Således ${\textstyle C=(C\cap 1E)\cup (C\cap 2E)\cup (C\cap) 3E)\cup \cdots }$ uttrycker $C$ som en räknebar förening av slutna (i $C$ ) uppsättningar. Eftersom $C$ är en icke ringa delmängd av sig själv (eftersom det är ett Baire-rum enligt Baire-kategorisatsen ), är detta endast möjligt om det finns något heltal $n\in \mathbb {N}$ så att $C\cap nE$ har icke-tom inre i $C.$ Låt $k\in \operatorname {Int} _{C}(C\cap nE)$ vara vilken punkt som helst som hör till denna öppna delmängd av $C.$ Låt $U$ vara vilken som helst balanserad öppen grannskap av ursprunget i $X$ så att $$C\cap (k+U)~\subseteq ~\operatörsnamn {Int} _{C}(C\cap nE).$$ Mängderna $\{k+pU:p>1\}$ bildar en ökande (vilket betyder $p\leq q$ innebär $k+pU\subseteq k+qU$ ) täcker det kompakta utrymmet $C,$ så det finns några $p>1$ så att $C\subseteq k+pU$ (och därmed ${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}(Ck)\subseteq U} )$ . Det kommer att visas att $h(C)\subseteq pnW$ för varje $h\in H,$ vilket visar att $\{h(C):h\in H\}$ är likformigt avgränsad i $Y$ och avslutar beviset. Så fixa $h\in H$ och $c\in C.$ Låt $$z~:=~{\tfrac {p-1}{p}}k+{\tfrac {1}{p}}c.$$ Konvexiteten för $C$ garanterar $z\in C$ och dessutom $z\in k+U$ eftersom $$zk={\tfrac {-1}{p}}k+{\tfrac {1}{p}}c={\tfrac {1}{p}}(ck)\in {\tfrac {1} {p}}(Ck)\subseteq U.$$ Alltså $z\in C\cap (k+U),$$\operatorname {Int} _{C}(C\cap nE).$ är en delmängd av Eftersom $nV$ är balanserad och $|1-p|=p-1<p,$ vi har $(1-p)nV\subseteq pnV,$ som kombinerat med $h(E)\subseteq V$ ger $$pnh(E)+(1-p)nh(E)~\subseteq ~pnV+(1-p)nV~\subseteq ~pnV+pnV~\subseteq ~pn(V+V)~\subseteq ~pnW .$$ Slutligen, $c=pz+(1-p)k$ och $k,z\in nE$ antyder $$h(c) ~=~ph(z)+(1-p)h(k)~\in ~pnh(E)+(1-p)nh(E)~\subseteq ~pnW,$$ som önskat. QED

Eftersom varje singel-delmängd av $X$ också är en begränsad delmängd, följer det att om $H\subseteq L(X,Y)$ en ekvikontinuerlig uppsättning kontinuerliga linjära operatorer mellan två topologiska vektorrum $X$ och $Y$ (inte nödvändigtvis Hausdorff eller lokalt konvexa), sedan omloppsbanan H ${\textstyle H (x):=\{h(x):h\in H\}}$ av varje $x\in X$ är en begränsad delmängd av $Y.$

Avgränsade delmängder av topologiska moduler

Definitionen av avgränsade mängder kan generaliseras till topologiska moduler . En delmängd $A$ av en topologisk modul $M$ över en topologisk ring $R$ är avgränsad om för någon grannskap $N$ av $0_{M}$ det finns ett område $w$ av $0_{R}$ så att $wA\subseteq B.$

Se även

• Bornologiskt rum – Utrymme där avgränsade operatorer är kontinuerliga
• Bornivorous set – En uppsättning som kan absorbera vilken avgränsad delmängd som helst
• Begränsad funktion – En matematisk funktion vars uppsättning värden är begränsade
• Begränsad operator – Linjär transformation mellan topologiska vektorrum
• Bounding point – Matematiskt begrepp relaterat till delmängder av vektorrum
• Kompakt utrymme – Typ av matematiskt utrymme
• Kolmogorovs normerbarhetskriterium – Karakterisering av normerbara utrymmen
• Lokal begränsning
• Totalt avgränsat utrymme – metriskt utrymme X så att det för varje ε > 0 finns ett ändligt omslag av X så att radien för varje element i omslaget är högst ε Sidor som visar wikidata-beskrivningar som en reserv

Anteckningar

Bibliografi

•    Adasch, Norbert; Ernst, Bruno; Keim, Dieter (1978). Topologiska vektorrum: teorin utan konvexitetsförhållanden . Föreläsningsanteckningar i matematik. Vol. 639. Berlin New York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-08662-8 . OCLC 297140003 .
•    Berberian, Sterling K. (1974). Föreläsningar i funktionsanalys och operatorteori . Examentexter i matematik. Vol. 15. New York: Springer. ISBN 978-0-387-90081-0 . OCLC 878109401 .
•    Bourbaki, Nicolas (1987) [1981]. Topologiska vektorrum: Kapitel 1–5 . Éléments de mathématique . Översatt av Eggleston, HG; Madan, S. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4 . OCLC 17499190 .
•    Conway, John (1990). En kurs i funktionsanalys . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 96 (andra upplagan). New York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97245-9 . OCLC 21195908 .
•    Edwards, Robert E. (1995). Funktionsanalys: teori och tillämpningar . New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6 . OCLC 30593138 .
•    Grothendieck, Alexander (1973). Topologiska vektorutrymmen . Översatt av Chaljub, Orlando. New York: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7 . OCLC 886098 .
•    Jarchow, Hans (1981). Lokalt konvexa utrymmen . Stuttgart: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4 . OCLC 8210342 .
•     Köthe, Gottfried (1983) [1969]. Topologiska vektorrum I . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 159. Översatt av Garling, DJH New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2 . MR 0248498 . OCLC 840293704 .
•    Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topologiska vektorutrymmen . Ren och tillämpad matematik (andra upplagan). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666 . OCLC 144216834 .
• Robertson, AP; WJ Robertson (1964). Topologiska vektorrum . Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 53. Cambridge University Press . s. 44–46.
•    Rudin, Walter (1991). Funktionsanalys . Internationell serie i ren och tillämpad matematik. Vol. 8 (andra upplagan). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5 . OCLC 21163277 .
•    Robertson, Alex P.; Robertson, Wendy J. (1980). Topologiska vektorutrymmen . Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 53. Cambridge England: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-29882-7 . OCLC 589250 .
•   Schäfer, HH (1970). Topologiska vektorutrymmen . GTM . Vol. 3. Springer-Verlag . s. 25–26. ISBN 0-387-05380-8 .
•    Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topologiska vektorutrymmen . GTM . Vol. 8 (andra upplagan). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135 .
•    Wilansky, Albert (2013). Moderna metoder i topologiska vektorutrymmen . Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4 . OCLC 849801114 .