Riesz representationssats

Denna artikel beskriver en sats om dual av ett Hilbertrum . För satser som relaterar linjära funktionaler till mått , se Riesz–Markov–Kakutanis representationsteorem .

För fler satser som ibland kallas Riesz sats, se Riesz sats .

Riesz representation theorem , ibland kallad Riesz–Fréchet representation theorem efter Frigyes Riesz och Maurice René Fréchet , etablerar en viktig koppling mellan ett Hilbertrum och dess kontinuerliga dubbelrum . Om det underliggande fältet är de reella talen är de två isometriskt isomorfa ; om det underliggande fältet är de komplexa talen är de två isometriskt antiisomorfa . (anti-) isomorfismen är en speciell naturlig isomorfism .

Preliminärer och notation

Låt $H$ vara ett Hilbert-mellanslag över ett fält $\mathbb {F} ,$ där $\mathbb {F}$ är antingen de reella talen $\mathbb {R }$ eller de komplexa talen $\mathbb {C} .$ Om $\mathbb {F} =\mathbb {C}$ (resp. om $\mathbb {F} =\mathbb {R}$ ) så kallas ${\displaystyle H} ett$ komplext Hilbertrum (resp. ett riktigt Hilbertrum ). Varje verkligt Hilbert-rum kan utökas till att vara en tät delmängd av ett unikt (upp till bijektiv isometri ) komplext Hilbert-rum, kallat dess komplexisering , vilket är anledningen till att Hilbert-utrymmen ofta automatiskt antas vara komplexa. Verkliga och komplexa Hilbert-rum har många, men inte alla, egenskaper och resultat/satser gemensamt.

Den här artikeln är avsedd för både matematiker och fysiker och kommer att beskriva satsen för båda. I både matematik och fysik, om ett Hilbert-utrymme antas vara verkligt (det vill säga om ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} } )$ så kommer detta vanligtvis att klargöras. Ofta i matematik, och särskilt inom fysik, om inte annat anges, antas "Hilbert-rymden" vanligtvis automatiskt betyda "komplext Hilbert-rum". Beroende på författaren, i matematik, betyder "Hilbert-rum" vanligtvis antingen (1) ett komplext Hilbert-rum eller (2) ett verkligt eller komplext Hilbert-rum.

Linjära och antilinjära kartor

Per definition är en antilinjär karta (även kallad en konjugat-linjär karta ) $f:H\to Y$ en karta mellan vektorrum som är additiv :

$$f(x+y)=f(x)+f(y)\quad {\text{ för alla }}x,y\i H,$$

och antilinjär (även kallad konjugatlinjär eller konjugathomogen ):

$$f(cx)={\overline {c}}f(x)\quad {\text{ för alla }}x\in H{\text{ och alla skalära }}c\in \mathbb {F} .$$

Däremot är en karta $f:H\to Y$ linjär om den är additiv och homogen :

$$f(cx)=cf(x)\quad {\text{ för alla }}x\in H\quad {\text{ och alla skalärer }}c\in \mathbb {F} .$$

Varje konstant $0$ -karta är alltid både linjär och antilinjär. Om $\mathbb {F} =\mathbb {R}$ så är definitionerna av linjära kartor och antilinjära kartor helt identiska. En linjär karta från ett Hilbert-utrymme till ett Banach-utrymme (eller mer allmänt, från vilket Banach-utrymme som helst till vilket topologiskt vektorutrymme som helst ) är kontinuerlig om och endast om den är avgränsad ; detsamma gäller antilinjära kartor. Inversen av en antilinjär (resp. linjär) bijektion är återigen en antilinjär (resp. linjär) bijektion. Sammansättningen av två antilinjära kartor är en linjär karta.

Kontinuerliga dubbla och anti-dubbla utrymmen

En funktion på $H$ är en funktion $H\to \mathbb {F}$ vars koddomän är det underliggande skalära fältet $\mathbb {F} .$ Beteckna med $H^{*}$ (resp. med ${\overline {H}}^{*})$ uppsättningen av alla kontinuerliga linjära (resp. kontinuerliga antilinjära) funktionaler på $H,$ som kallas det (kontinuerliga) dubbla rummet (resp. det (kontinuerliga) anti-dubbelrummet ) av $H.$ Om $\mathbb {F} =\mathbb {R}$ så är linjära funktionaler på $H$ samma som antilinjära funktionaler och följaktligen gäller samma sak för sådana kontinuerliga kartor: det vill säga $H^{*}={\overline {H}}^{*}.$

En-till-en-överensstämmelse mellan linjära och antilinjära funktionaler

Givet alla funktionella ${\displaystyle f~:~H\to \mathbb {F} ,} är$ konjugatet av $f$ det funktionella

$${\begin{aligned}{4}{\overline {f}}:\,&H&&\to \,&&\mathbb {F} \\&h&&\mapsto \,&&{\overline {f(h)} }.\\\end{aligned}}$$

Den här uppgiften är mest användbar när $\mathbb {F} =\mathbb {C}$ eftersom om $\mathbb {F} =\mathbb {R}$ då ${ \displaystyle f={\overline {f}}}$ och tilldelningen $f\mapsto {\overline {f}}$ reduceras ner till identitetskartan.

Tilldelningen $f\mapsto {\overline {f}}$ definierar en antilinjär bijektiv överensstämmelse från mängden av

alla funktionaler (resp. alla linjära funktionaler, alla kontinuerliga linjära funktionaler $H^{*}$ ) på $H,$

på uppsättningen av

alla funktionaler (resp. alla antilinjära funktionaler, alla kontinuerliga antilinjära funktionaler ${\overline {H}}^{*}$ ) på $H.$

Matematik vs. fysik notationer och definitioner av inre produkt

Hilbert- utrymmet $H$ har en tillhörande inre produkt $H\times H\to \mathbb {F}$ värderad i ${\displaystyle H}:$ s underliggande skalära fält ${\ displaystyle \mathbb {F} }$ som är linjär i en koordinat och antilinjär i den andra (som beskrivs i detalj nedan). Om $H$ är ett komplext Hilbert-rum (vilket betyder om $\mathbb {F} =\mathbb {C}$ ), vilket mycket ofta är fallet, vilken koordinat är då antilinjär och vilken är linjär blir en mycket viktig teknikalitet. Men om $\mathbb {F} =\mathbb {R}$ så är den inre produkten en symmetrisk karta som samtidigt är linjär i varje koordinat (det vill säga bilinjär) och antilinjär i varje koordinat. Följaktligen är frågan om vilken koordinat som är linjär och vilken som är antilinjär irrelevant för verkliga Hilbert-rum.

Notation för den inre produkten

Inom matematiken betecknas den inre produkten på ett Hilbertrum ${\displaystyle H} ofta med$$\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle$ eller ${ \displaystyle \left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle _{H}}$ i fysik , bra–ket-notationen $\left\langle \cdot \mid \cdot \right\ rangle$ eller $\left\langle \cdot \mid \cdot \right\rangle _{H}$ används vanligtvis istället. I den här artikeln kommer dessa två beteckningar att relateras av likheten:

$$\left\langle x,y\right\rangle :=\left\langle y\mid x\right\rangle \quad {\text{ för alla }}x,y\in H.$$

Konkurrerande definitioner av den inre produkten

Kartorna $\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle$ och $\left\langle \cdot \mid \cdot \right\rangle$ är assumed att ha följande två egenskaper:

1. Kartan $\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle$ är linjär i sin första koordinat; på motsvarande sätt är kartan $\left\langle \cdot \mid \cdot \right\rangle$ linjär i sin andra koordinat. Explicit betyder detta att för varje fast $y\in H,$ kartan som betecknas med ${\displaystyle \left\langle \ ,y\mid \cdot \,\right\rangle =\left\langle \,\cdot ,y\,\right\rangle :H\to \mathbb {F} } och definieras$ av
   $$h\mapsto \left\langle \,y\mid h\,\right\rangle =\left\langle \,h,y \,\right\rangle \quad {\text{ för alla }}h\in H$$
   är en linjär funktion på $H.$
   • Faktum är att denna linjära funktion är kontinuerlig, så $\left\langle \,y\mid \cdot \,\right\rangle =\left\langle \,\cdot ,y\,\right\rangle \in H^{*}.$
2. Kartan $\displaystyle \left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle }$ antilinjär { är i sin andra koordinat; på motsvarande sätt är kartan $\left\langle \cdot \mid \cdot \right\rangle$ antilinjär i sin första koordinat. Explicit betyder detta att för varje fast $y\in H,$ kartan som betecknas med ${\displaystyle \left\langle \ ,\cdot \mid y\,\right\rangle =\left\langle \,y,\cdot \,\right\rangle :H\to \mathbb {F} } och definieras$ av
   $$h\mapsto \left\langle \,h\mid y\,\right\rangle =\left\langle \,y,h \,\right\rangle \quad {\text{ för alla }}h\i H$$
   är en antilinjär funktion på $H.$
   • Faktum är att denna antilinjära funktion är kontinuerlig, så $\left\langle \,\cdot \mid y\,\right\rangle =\left\langle \,y,\cdot \,\right\rangle \in {\overline {H}}^{*} .$

Inom matematiken är den rådande konventionen (dvs definitionen av en inre produkt) att den inre produkten är linjär i den första koordinaten och antilinjär i den andra koordinaten. Inom fysiken är konventionen/definitionen tyvärr den motsatta , vilket betyder att den inre produkten är linjär i den andra koordinaten och antilinjär i den andra koordinaten. Den här artikeln kommer inte att välja en definition framför den andra. Istället gör antagandena ovan så att matematiknotationen $\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle$ uppfyller den matematiska konventionen/definitionen för den inre produkten (det vill säga linjär i den första koordinaten och antilinjär i den andra), medan fysikens bra–ket notation $\left\langle \cdot |\cdot \right\rangle$ uppfyller fysikens konvention/definition för den inre produkten (det vill säga linjär i den andra koordinaten och antilinjär i den andra). Följaktligen gör de två ovanstående antagandena att notationen som används i varje fält överensstämmer med det fältets konvention/definition för vilken koordinat är linjär och vilken är antilinjär.

Kanonisk norm och inre produkt på det dubbla utrymmet och anti-dubbelt utrymme

Om $x=y$ så är $\langle \,x\mid x\,\rangle =\langle \,x,x\,\rangle$ är ett icke-negativt reellt tal och kartan

$$\|x\|:={\sqrt {\langle x,x\rangle }}={\sqrt {\langle x\mid x \rangle }}$$

definierar en kanonisk norm på $H$ som gör $H$ till ett normerat utrymme . Som med alla normerade utrymmen, bär det (kontinuerliga) dubbla utrymmet $H^{*}$ en kanonisk norm, kallad den dubbla normen , som definieras av

$$\|f\|_{H^{*}}~:=~\sup _{\|x\|\leq 1,x\in H}|f(x)|\quad {\text{ för varje }}f\in H^{*}.$$

Den kanoniska normen på det (kontinuerliga) antidubbelrymden ${\overline {H}}^{*},$ betecknad med $\|f\|_ {{\overline {H}}^{*}},$ definieras genom att använda samma ekvation:

$$\|f\|_{{\overline {H}}^{*}}~:=~\sup _{\|x\|\leq 1,x\in H}|f(x)| \quad {\text{ för varje }}f\in {\overline {H}}^{*}.$$

Denna kanoniska norm på kanonisk inre produkt på $, {\displaystyle H^{*},}$$\displaystyle H^{*}}$ uppfyller parallellogramlagen , vilket innebär att polarisationsidentiteten kan användas för att definiera en som denna artikel kommer att betecknas med beteckningarna

$$\left\langle f,g\right\rangle _{H^{*}}:=\left\langle g\mid f\ höger\rangle _{H^{*}},$$

där denna inre produkt förvandlar $H^{*}$ till ett Hilbert-utrymme. Det finns nu två sätt att definiera en norm på $H^{*}:$ den norm som induceras av denna inre produkt (det vill säga normen definierad av ${\displaystyle f\mapsto {\sqrt {\left\langle f,f\right\rangle _{H^{*}}}}} )$ och den vanliga dubbla normen (definierad som det högsta över den slutna enhetens boll). Dessa normer är desamma; uttryckligen betyder detta att följande gäller för varje $f\in H^{*}:$

$$\sup _{\|x\|\leq 1,x\in H}|f(x)|=\|f\|_{H^{*}}~=~{\sqrt {\langle f,f\rangle _{H^{*}}}}~=~{\sqrt {\langle f\mid f\rangle _{H^{*}}}}.$$

Som kommer att beskrivas senare kan Riesz-representationssatsen användas för att ge en ekvivalent definition av den kanoniska normen och den kanoniska inre produkten på $H^{*}.$

Samma ekvationer som användes ovan kan också användas för att definiera en norm och inre produkt på ${\displaystyle H}:$ s antidubbelrymd ${\overline {H}}^{*}.$

Kanonisk isometri mellan det dubbla och det antiduala

Det komplexa konjugatet ${\overline {f}}$ av ett funktionellt $f,$ som definierades ovan, uppfyller

$$\|f\|_{H^{*}}~=~\vänster\| {\overline {f}}\right\|_{{\overline {H}}^{*}}\quad {\text{ och }}\quad \left\|{\overline {g}}\right\ |_{H^{*}}~=~\|g\|_{{\overline {H}}^{*}}$$

för varje $f\in H^{*}$ och varje $g\in {\overline {H}}^{*}.$ Detta säger exakt att den kanoniska antilinjära bijektionen definierad av

$${\begin{alignedat}{4}\operatörsnamn {Cong} :\;&&H^{*}&&\;\to \;&{\overline {H }}^{*}\\[0.3ex]&&f&&\;\mapsto \;&{\overline {f}}\\\end{alignedat}}$$

samt dess inversa $\operatorname {Cong} ^{-1}~:~{\overline {H}}^{*}\to H^{*}$ är antilinjära isometrier och följaktligen även homeomorfismer . De inre produkterna på det dubbla utrymmet $H^{*}$ och det anti-dubbla utrymmet ${\overline {H}}^{*},$ betecknade med ${\displaystyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle _{H^{*}}} och$ ⟨ $\displaystyle \langle \, \cdot \,,\,\cdot \,\rangle _{{\overline {H}}^{*}},}$ är relaterade till

$$\langle \,{\overline {f}}\,|\,{\overline {g}}\,\rangle _{{\overline {H} }^{*}}={\överlinje {\langle \,f\,|\,g\,\rangle _{H^{*}}}}=\langle \,g\,|\,f\, \rangle _{H^{*}}\qquad {\text{ för alla }}f,g\in H^{*}$$

och

$$\langle \,{\overline {f}}\,|\,{\overline {g}}\,\rangle _{H^{*}}={\overline {\langle \,f\, |\,g\,\rangle _{{\overline {H}}^{*}}}}=\langle \,g\,|\,f\,\rangle _{{\overline {H}}^ {*}}\qquad {\text{ för alla }}f,g\in {\overline {H}}^{*}.$$

Om $\mathbb {F} =\mathbb {R}$ så $H^{*}={\overline {H}}^{*}$ och detta kanoniskt map $\operatorname {Cong} :H^{*}\to {\overline {H}}^{*}$ reducerar ner till identitetskartan.

Riesz representationssats

Två vektorer $x$ och $y$ är ortogonala om $\langle x,y\rangle =0,$ vilket händer om och endast om $\|y\|\leq \|y+sx\|$ för alla skalärer $s.$ Det ortogonala komplementet av en delmängd $C\subseteq H$ är

$$C^{\bot }:=\{\,y\in H:\langle y,c\rangle = 0{\text{ för alla }}c\in C\,\},$$

som alltid är ett slutet vektordelrum av $H.$ Hilbert-projektionssatsen garanterar att för varje icke-tom sluten konvex delmängd $C$ av ett Hilbert-rum finns det en unik vektor $m\in C$ så att $\|m\|=\inf _{c\in C}\|c\|;$ det vill säga $m\in C$ är den (unika) globala minimipunkten för funktionen $C\to [0,\infty )$ definierad av $c\mapsto \|c\|.$

Påstående

Riesz representation theorem — Låt $H$ vara ett Hilbert-rum vars inre produkt $\left\langle x,y\right\rangle$ är linjär i sitt första argument och antilinjär i sitt andra argument och låt $\langle y\mid x\rangle :=\langle x,y\rangle$ vara motsvarande fysiknotation. För varje kontinuerlig linjär funktionell $\varphi \in H^{*},$ finns det en unik vektor ${\displaystyle f_{\varphi }\in H,} som$ kallas Riesz representation av $\varphi ,$ så att

$$\varphi (x)=\left\langle x,f_{\varphi }\right\rangle =\left\langle f_{\varphi }\mid x\right\rangle \quad {\text{ för alla } }x\in H.$$

Viktigt för komplexa Hilbertrum är $f_{\varphi }$ alltid är belägen i den inre produktens antilinjära koordinat.

Dessutom är längden på representationsvektorn lika med normen för den funktionella:

$$\left\|f_{\varphi }\right\|_{H}=\|\varphi \|_{H^{*}},$$

och $f_{\varphi }$ är den unika vektorn $f_{\varphi }\in \left(\ker \varphi \right)^{\bot }$ med ${\displaystyle \varphi \left(f_{\varphi }\right)=\|\varphi \|^{2}.} Det är$ också det unika elementet i miniminormen i $C:=\varphi ^{-1}\left(\|\varphi \|^{2}\right)$ ; det vill säga, $f_{\varphi }$ är det unika elementet i $C$ som uppfyller ${\displaystyle \left\|f_{\varphi }\right\|=\inf _{c\in C}\|c\|.} Dessutom, alla icke-noll q$ ∈ $displaystyle q\in (\ker \varphi )^{\bot }}$ kan skrivas som $q=\left(\|q\|^{2}/\,{\overline {\varphi (q)}}\right)\ f_{\varphi }.$

Följd — Den kanoniska kartan från $H$ till dess dubbla $H^{*}$ är den injektiva antilinjära operatorns isometri

$${\begin{alignedat}{4}\Phi :\;&&H&&\;\to \;&H^{*}\\[0.3ex]&&y&&\;\mapsto \;&\langle \,\ cdot \,,y\rangle =\langle y|\,\cdot \,\rangle \\\end{alignedat}}$$

Riesz-representationssatsen säger att denna karta är surjektiv (och därmed bijektiv ) när $H$ är komplett och att dess invers är den bijektiva isometriska antilinjära isomorfismen

$${\begin{alignedat}{4}\Phi ^{-1}:\;&&H^{*}&&\;\to \;&H\\[0.3ex]&&\varphi &&\;\mapsto \ ;&f_{\varphi }\\\end{aligned}}.$$

Följaktligen kan varje kontinuerlig linjär funktion på Hilbert-utrymmet $H$ skrivas unikt i formen $\langle y\,|\,\cdot \,\rangle$ där ${\displaystyle \|\langle y\,|\cdot \rangle \|_{H^{*}}=\|y\|_{H}} för$ varje $y\in H.$ Uppgiften ${\displaystyle y\mapsto \langle y,\cdot \rangle =\langle \cdot \,|\,y\rangle } kan också ses$ som en bijektiv linjär isometri $H\to {\overline {H}}^{*}$ in i antidubbelrymden H $H,$ som är det komplexa konjugerade vektorutrymmet för det dubbelrummet $H^{*}.$

De inre produkterna på $H$ och $H^{*}$ är relaterade till

$$\left\langle \Phi h,\Phi k\right\rangle _ {H^{*}}={\overline {\langle h,k\rangle }}_{H}=\langle k,h\rangle _{H}\quad {\text{ för alla }}h,k \i H$$

och liknande,

$$\left\langle \Phi ^{-1}\varphi ,\Phi ^{-1}\psi \right\rangle _{H}={\overline {\langle \varphi ,\psi \rangle }} _{H^{*}}=\left\langle \psi ,\varphi \right\rangle _{H^{*}}\quad {\text{ för alla }}\varphi ,\psi \in H^{ *}.$$

Mängden $C:=\varphi ^{-1}\left(\|\varphi \|^{2}\right)$ uppfyller $C=f_{\varphi }+\ker \varphi$ och $CC=\ker \varphi$ så när $f_{\varphi } \neq 0$ då kan $C$ tolkas som det affina hyperplanet som är parallellt med vektordelrummet $\ker \varphi$ och innehåller $f_{\varphi }.$

För $y\in H,$ är fysiknotationen för den funktionella $\Phi (y)\in H^{*}$ behån $\langle y|,$ där detta uttryckligen betyder att $\langle y|:=\Phi (y),$ som kompletterar ket-notationen $|y\rangle$ definierad av $|y\rangle :=y.$ I den matematiska behandlingen av kvantmekaniken kan satsen ses som en motivering för den populära bra–ket-notationen . Teoremet säger att varje behå $\langle \psi \,|$ har en motsvarande ket $|\,\psi \rangle ,$ och den senare är unik.

Historiskt tillskrivs satsen ofta samtidigt till Riesz och Fréchet 1907 (se referenser).

Bevis

Låt $\mathbb {F}$ beteckna det underliggande skalära fältet för $H.$ Bevis på normformel: Fixa $y\in H.$ Definiera $\Lambda :H\to \mathbb {F}$ med $\Lambda (z):=\langle \,y\,|\,z\,\rangle ,$ som är en linjär funktion på $H$ eftersom $z$ är i det linjära argumentet. Genom ojämlikheten Cauchy–Schwarz , $$|\Lambda (z)|=|\langle \,y\,|\,z\,\rangle |\leq \|y\|\|z\|$$ som visar att $\Lambda$ är avgränsad (motsvarande kontinuerlig ) och att $\|\Lambda \|\leq \|y\|.$ Det återstår att visa att $\|y\|\leq \|\Lambda \|.$ Genom att använda $y$ istället för $z,$ följer det att $$\|y\|^{2}=\langle \,y\,|\,y\,\rangle =\Lambda y=|\Lambda (y)|\leq \ |\Lambda \|\|y\|$$ (likheten $\Lambda y=|\Lambda (y)|$ gäller eftersom $\Lambda y=\|y\|^ {2}\geq 0$ är verklig och icke-negativ). Alltså $\|\Lambda \|=\|y\|.$$\blacksquare$ Beviset ovan använde inte det faktum att $H$ är komplett , vilket visar att formeln för normen $\|\langle \,y\,|\,\cdot \,\rangle \|_{H^{*}}=\|y\|_{H }$ gäller mer generellt för alla inre produktutrymmen . Bevis på att en Riesz-representation av $\varphi$ är unik: Antag att $f,g\in H$ är sådana att $\varphi (z)=\langle \,f\,|\,z\,\rangle$ och $\varphi (z)=\langle \,g\,|\,z\,\rangle$ för alla $z\in H.$ Sedan $$\langle \,fg\,|\,z\,\rangle =\langle \,f\,|\,z\, \rangle -\langle \,g\,|\,z\,\rangle =\varphi (z)-\varphi (z)=0\quad {\text{ för alla }}z\in H$$ vilket visar att $\Lambda :=\langle \,fg\,|\,\cdot \,\rangle$ är konstanten $0$ linjär funktion. Följaktligen ${\displaystyle 0=\|\langle \,fg\,|\,\cdot \,\rangle \|=\|fg\|,} vilket antyder$ att $fg=0.$$\blacksquare$ det finns en vektor $f_{\varphi }$ som representerar ${\displaystyle \varphi } :$ Låt $K:=\ker \varphi :=\{m\in H:\varphi (m)=0\}.$ Om $K=H$ (eller motsvarande, om ${\ displaystyle \varphi =0}$ ) att sedan ta $f_{\varphi }:=0$ avslutar beviset så anta att $K\neq H$ och $\varphi \neq 0.$ Kontinuiteten för $\varphi$ innebär att $K$ är ett slutet delrum av $H$ (eftersom $K=\varphi ^{-1}(\{0\})$ och $\{0\}$ är en sluten delmängd av $\mathbb {F}$ ). Låta $$K^{\bot }:=\{v\in H~:~\langle \,v\,|\,k\,\rangle =0~{\text { för alla }}k\in K\}$$ beteckna det ortogonala komplementet av $K$ i $H.$ Eftersom $K$ är stängd och $H$ är ett Hilbert-mellanslag, kan $H$ skrivas som den direkta summan $H =K\oplus K^{\bot }$ (ett bevis på detta ges i artikeln om Hilberts projektionssats ). Eftersom $K\neq H,$ finns det några $p\in K^{\bot }.$ För alla $h\in H,$ $${\ displaystyle \varphi [(\varphi h)p-(\varphi p)h]~=~\varphi [(\varphi h)p]-\varphi [(\varphi p)h]~=~(\varphi h) \varphi p-(\varphi p)\varphi h=0,}$$ som visar att $(\varphi h)p-(\varphi p)h~\in ~\ker \varphi =K,$ där nu innebär $p\in K^{\bot }$ $$0=\langle \,p\,|\,(\varphi h)p-(\varphi p)h\,\rangle ~=~\langle \,p\,|\,(\varphi h) p\,\rangle -\langle \,p\,|\,(\varphi p)h\,\rangle ~=~(\varphi h)\langle \,p\,|\,p\,\rangle - (\varphi p)\langle \,p\,|\,h\,\rangle .$$ Att lösa för $\varphi h$ visar det $$\varphi h={\frac {(\varphi p)\langle \,p\,|\,h\,\rangle }{\|p\|^{2} }}=\left\langle \,{\frac {\overline {\varphi p}}{\|p\|^{2}}}p\,{\Bigg |}\,h\,\right\rangle \quad {\text{ för varje }}h\i H,$$ vilket bevisar att vektorn $f_{\varphi }:={\frac {\overline {\varphi p}}{\|p\|^{2}} }p$ uppfyller $\varphi h=\langle \,f_{\varphi }\,|\,h\,\rangle {\text{ för varje }}h\i H.$ Att tillämpa normformeln som bevisades ovan med $y:=f_{\varphi }$ visar att $\|\varphi \|_{H^{*}}=\left\|\left\langle \,f_{\varphi }\,|\,\cdot \,\right\rangle \right\| _{H^{*}}=\left\|f_{\varphi }\right\|_{H}.$ Även vektorn $u:={\frac {p }{\|p\|}}$ har normen $\|u\|=1$ och uppfyller $f_{\varphi }:={\overline {\varphi (u)}}u.$$\blacksquare$ Man kan nu dra slutsatsen att $K^{\bot }$ är $1$ -dimensionell när $\varphi \neq 0.$ Låt $q\in K^{\bot }$ vara vilken vektor som helst som inte är noll. Att ersätta $p$ med $q$ i beviset ovan visar att vektorn $g:={\frac {\overline {\varphi q} }{\|q\|^{2}}}q$ uppfyller $\varphi (h)=\langle \,g\,|\,h\,\rangle$ för varje $h\in H.$ Det unika hos vektorn (ej noll) $f_{\varphi }$ som representerar $\varphi$ innebär att $f_{ \varphi }=g,$ vilket i sin tur innebär att ${\overline {\varphi q}}\neq 0$ och ${\displaystyle q={\frac {\|q\|^{2}}{\overline {\varphi q}}}f_{\varphi }.} Således varje vektor i K ⊥ {\displaystyle K$ ^ $bot }}$ är en skalär multipel av $f_{\varphi }.$$\blacksquare$ Formlerna för de inre produkterna följer av polarisationsidentiteten .

Observationer

Om $\varphi \in H^{*}$ så

$$\varphi \left(f_{\varphi}\right)=\left\langle f_{\varphi},f_{\varphi }\right\rangle =\left\|f_{\varphi }\right\| ^{2}=\|\varphi \|^{2}.$$

Så i synnerhet, $\varphi \left(f_{\varphi }\right)\geq 0$ är alltid verklig och dessutom är $\varphi \left( f_{\varphi }\right)=0$ om och endast om $f_{\varphi }=0$ om och endast om $\varphi =0.$

Linjära funktionaler som affina hyperplan

En icke-trivial kontinuerlig linjär funktionell $\varphi$ tolkas ofta geometriskt genom att identifiera den med det affina hyperplanet $A:=\varphi ^{-1}(1)$ (kärnan $\ker \varphi =\varphi ^{-1}(0)$ visualiseras också ofta bredvid $A :=\varphi ^{-1}(1)$ även om det räcker att känna till ${\displaystyle A} för att rekonstruera$$\ker \varphi$ eftersom om $A=\varnothing$ då $\ker \varphi =H$ och annars $\ker \varphi =AA$ ). I synnerhet bör normen för $\varphi$ på något sätt kunna tolkas som "normen för hyperplanet ${\displaystyle A}"$ . När $\varphi \neq 0$ ger Riesz-representationssatsen en sådan tolkning av $\|\varphi \|$ i termer av det affina hyperplanet $A:=\varphi ^{-1}(1)$ enligt följande: med hjälp av notationen från satsens påstående, från $\|\varphi \|^{2}\neq 0$ det följer att ${\displaystyle C:=\varphi ^{-1}\left(\ |\varphi \|^{2}\right)=\|\varphi \|^{2}\varphi ^{-1}(1)=\|\varphi \|^{2}A} och$ så $\|\varphi \|=\left\|f_{\varphi }\right\|=\inf _{c\in C}\|c \|$ innebär $\|\varphi \|=\inf _{a\in A}\|\varphi \|^{2}\| a\|$ och därmed ${\displaystyle \|\varphi \|={\frac {1}{\inf _{a\in A}\|a\|}}.} Detta kan också ses genom att tillämpa Hilberts$ projektionssats på A $\ displaystyle A}$ och drar slutsatsen att den globala minimipunkten för kartan $A\to [0,\infty )$ definierad av $a\mapsto \|a\|$ är ${\frac {f_{\varphi }}{\|\varphi \|^{2}}}\in A.$ Formlerna

$${\frac {1}{\inf _{a\in A}\|a\|}}=\sup _{a\ i A}{\frac {1}{\|a\|}}$$

ge den utlovade tolkningen av den linjära funktionalens norm $\|\varphi \|$ helt i termer av dess associerade affina hyperplan $A=\varphi ^{-1} (1)$ (eftersom med denna formel är det tillräckligt att känna till mängden A $\displaystyle A}$ för att beskriva normen för dess associerade linjära funktionella ). Definiera ${\displaystyle {\frac {1}{\infty }}:=0,$ } den infimumformel

$$\|\varphi \|={\frac {1}{\inf _{a\in \varphi ^{-1}(1 )}\|a\|}}$$

kommer också att hålla när $\varphi =0.$ När supremum tas i $\mathbb {R}$ (som vanligtvis antas), då är supremum för den tomma mängden $\sup \varnothing =-\infty$ men om det högsta värdet tas de icke-negativa realerna $[0,\infty )$ (som är bilden /omfånget för normen $\|\,\cdot \,\|$ när $\dim H>0$ ) då är detta supremum istället $\sup \varnothing =0 ,$ i vilket fall den högsta formeln $\|\varphi \|=\sup _{a\in \varphi ^{-1}( 1)}{\frac {1}{\|a\|}}$ kommer också att gälla när $\varphi =0$ (även om den atypiska likheten $\sup \varnothing =0$ är vanligtvis oväntat och riskerar därför att orsaka förvirring).

Konstruktioner av den representerande vektorn

Med hjälp av notationen från satsen ovan beskrivs nu flera sätt att konstruera $f_{\varphi }$ från ${\displaystyle \varphi \in H^{*}} .$ Om $\varphi =0$ så $f_{\varphi }:=0$ ; med andra ord,

$$f_{0}=0.$$

Detta specialfall av $\varphi =0$ antas hädanefter vara känt, varför vissa av konstruktionerna nedan börjar med att anta $\varphi \neq 0.$

Ortogonalt komplement till kärnan

Om $\varphi \neq 0$ så för alla $0\neq u\in (\ker \varphi )^{\bot },$

$$f_{\varphi }:={\frac {{\overline {\varphi (u)}}u}{\|u\|^{2}}}.$$

Om $u\in (\ker \varphi )^{\bot }$ är en enhetsvektor (vilket betyder $\|u\|=1$ ) sedan

$$f_{\varphi }:={\overline {\varphi (u)}}u$$

(detta är sant även om $\varphi =0$ eftersom i detta fall $f_{\varphi }={\overline {\varphi (u )}}u={\overline {0}}u=0$ ). Om $u$ är en enhetsvektor som uppfyller ovanstående villkor gäller detsamma för $-u,$ som också är en enhetsvektor i $(\ker \varphi )^{\bot }.$ Men ${\overline {\varphi (-u) )}}(-u)={\overline {\varphi (u)}}u=f_{\varphi }$ så båda dessa vektorer resulterar i samma $f_{\varphi }.$

Ortogonal projektion på kärnan

Om $x\in H$ är sådan att $\varphi (x)\neq 0$ och om $x_{K}$ är den ortogonala projektionen av $x$ på $\ker \varphi$ sedan

$$f_{\varphi }={\frac {\|\varphi \|^{2}}{\varphi (x)}}\left(x-x_{K}\right).$$

Ortonormal grund

Givet en ortonormal bas $\left\{e_{i}\right\}_{i\in I}$ av $H$ och en kontinuerlig linjär funktionell $\varphi \in H^{*},$ vektorn $f_{\varphi }\in H$ kan konstrueras unikt av

$$f_{\varphi }=\sum _{i\in I}{\overline {\varphi \left(e_{i}\right)} }e_{i}$$

där alla utom högst räknat många $\varphi \left(e_{i}\right)$ kommer att vara lika med $0$ och där värdet av $f_{\ varphi }$ beror faktiskt inte på valet av ortonormal bas (det vill säga att använda någon annan ortonormal bas för $H$ kommer att resultera i samma vektor). Om $y\in H$ skrivs som $y=\summa _{i\in I}a_{i}e_{i}$ så

$$\varphi (y)=\sum _{i\in I}\varphi \left(e_{i}\right)a_{i}=\langle f_{\varphi}|y\rangle$$

och

$$\left\|f_{\varphi }\right\|^{2}=\varphi \left(f_{\varphi }\right)=\sum _{i\in I}\varphi \left(e_ {i}\right){\overline {\varphi \left(e_{i}\right)}}=\summa _{i\in I}\left|\varphi \left(e_{i}\right)\ höger|^{2}=\|\varphi \|^{2}.$$

Om den ortonormala basen $\left\{e_{i}\right\}_{i\in I}=\left\{e_{i }\right\}_{i=1}^{\infty }$ är en sekvens då detta blir

$$f_{\varphi }={\overline {\varphi \left(e_{1}\right)}}e_ {1}+{\overline {\varphi \left(e_{2}\right)}}e_{2}+\cdots$$

och om $y\in H$ skrivs som $y=\summa _{i\in I}a_{i}e_{i}=a_{1}e_{1}+a_{2}e_{2}+\cdots$ sedan

$$\varphi (y)=\varphi \left(e_{1}\right)a_{1}+\varphi \left(e_{2}\right)a_{2}+\cdots =\langle f_{ \varphi }|y\rangle .$$

Exempel i finita dimensioner med matristransformationer

Betrakta specialfallet $H=\mathbb {C} ^{n}$ (där $n>0$ är ett heltal) med standardinre produkten

$$\langle z\mid w\rangle :={\overline {\,{\vec {z}}\,\, }}^{\operatörsnamn {T} }{\vec {w}}\qquad {\text{ för alla }}\;w,z\in H$$

där $w{\text{ och }}z$ representeras som kolumnmatriser ${\vec {w}}:={\begin{bmatrix }w_{1}\\\vdots \\w_{n}\end{bmatrix}}$ och ${\vec {z}}:={\begin{ bmatrix}z_{1}\\\vdots \\z_{n}\end{bmatrix}}$ med avseende på standardortonormalbasen $e_{1},\ldots ,e_{ n}$ på $H$ (här är $e_{i}$$1$ vid sin $i$ ^:e koordinat och $0$ överallt annars; som vanlig, $H^{*}$ kommer nu att associeras med den dubbla basen ) och där ${\overline {\, {\vec {z}}\,}}^{\operatörsnamn {T} }:=\left[{\overline {z_{1}}},\ldots ,{\overline {z_{n}}}\right ]$ betecknar den konjugerade transponeringen av ${\vec {z}}.$ Låt $\varphi \in H^{*}$ vara vilken linjär funktion som helst och låt $\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n}\in \mathbb {C}$ vara de unika skalärerna så att

$$\varphi \left(w_{1 },\ldots ,w_{n}\right)=\varphi _{1}w_{1}+\cdots +\varphi _{n}w_{n}\qquad {\text{ för alla }}\;w :=\left(w_{1},\ldots,w_{n}\right)\in H,$$

där det kan visas att $\varphi _{i}=\varphi \left(e_{i}\right)$ för alla $i=1,\ldots ,n.$ Då är Riesz-representationen av $\varphi$ vektorn

$$f_{\varphi }~:=~{\overline {\varphi _{1}}}e_{1}+\cdots +{\overline {\varphi _{n}}}e_{n}~= ~\left({\overline {\varphi _{1}}},\ldots,{\overline {\varphi _{n}}}\right)\in H.$$

För att se varför, identifiera varje vektor $w=\left(w_{1},\ldots ,w_{n}\right)$ i $H$ med kolumnmatrisen ${\vec {w}}:={\begin{bmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{n}\end{bmatrix }}$ så att $f_{\varphi }$ identifieras med ${\vec {f_{\varphi }}}:={\begin{bmatrix}{\overline {\varphi _{1}}}\\\vdots \\{\overline {\varphi _{n} }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\overline {\varphi \left(e_{1}\right)}}\\\vdots \\{\overline {\varphi \left(e_{ n}\right)}}\end{bmatris}}.$ Identifiera som vanligt också den linjära funktionella $\varphi$ med dess transformationsmatris , som är radmatrisen ${\displaystyle {\vec {\varphi }}:=\left[\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n}\right]} så att$ f ${\displaystyle {\vec {f_{\varphi }}}:={\overline {\,{\vec {\varphi }}\,\,}}^{\operatörsnamn {T} }} och$ funktionen ${ \displaystyle \varphi }$ är uppgiften ${\vec {w}}\mapsto {\vec {\varphi }}\,{\vec {w}},$ där den högra handsidan är matrismultiplikation . Sedan för alla $w=\left(w_{1},\ldots ,w_{n}\right)\in H,$

$$\varphi (w)=\varphi _{1}w_{1}+\cdots +\varphi _{n}w_{n}=\left[ \varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n}\right]{\begin{bmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{n}\end{bmatrix}}={\overline { \begin{bmatrix}{\overline {\varphi _{1}}}\\\vdots \\{\overline {\varphi _{n}}}\end{bmatrix}}}^{\operatörsnamn {T} } {\vec {w}}={\overline {\,{\vec {f_{\varphi }}}\,\,}}^{\operatörsnamn {T} }{\vec {w}}=\left\ langle \,\,f_{\varphi }\,\mid \,w\,\right\rangle ,$$

vilket visar att $f_{\varphi }$ uppfyller det definierande villkoret för Riesz-representationen av $\varphi .$ Den bijektiva antilinjära isometrin $\Phi :H\to H^{*}$ definierad i följden till Riesz-representationssatsen är tilldelningen som skickar $z=\left(z_{1},\ldots ,z_{n}\right)\in H$ till den linjära funktionella $\Phi (z)\in H^{*}$ på $H$ definierad av

$$w=\left(w_{1},\ldots ,w_{ n}\right)~\mapsto ~\langle \,z\,\mid \,w\,\rangle ={\overline {z_{1}}}w_{1}+\cdots +{\overline {z_{ n}}}w_{n},$$

där under identifieringen av vektorer i $H$ med kolumnmatriser och vektor i $H^{*}$ med radmatriser, är $\Phi$ bara tilldelningen

$${\vec {z}}={\begin{bmatrix}z_{1}\\\vdots \\z_{n}\end{bmatrix}}~\mapsto ~{\overline {\,{\vec {z}}\,}}^{\operatörsnamn {T} }=\left[{\overline {z_{1}}},\ldots ,{\overline {z_{n}}}\right].$$

Som beskrivs i följden är $\Phi$ s invers $\Phi ^{-1}:H^{*}\to H$ den antilinjära isometrin $\varphi \mapsto f_{\varphi },$ som precis visades ovan vara:

$$\varphi ~\mapsto ~f_{\varphi }~:=~\left({\overline {\varphi \left(e_{1}\right)}},\ldots ,{\overline {\varphi \ vänster(e_{n}\höger)}}\höger);$$

där i termer av matriser, $\Phi ^{-1}$ är tilldelningen

$${\vec {\varphi }}=\left[\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n}\right]~\mapsto ~{\overline {\,{\vec {\varphi }}\,\,}}^{\operatörsnamn {T} }={\begin{bmatrix}{\overline {\varphi _{1}}}\\\vdots \\{\overline {\varphi _{n }}}\end{bmatrix}}.$$

Alltså i termer av matriser, var och en av $\Phi :H\to H^{*}$ och $\Phi ^{-1}:H ^{*}\to H$ är bara operationen för konjugerad transposition ${\vec {v}}\mapsto {\overline {\,{\vec {v}}\,} }^{\operatörsnamn {T} }$ (även om $H$ identifieras med utrymmet för alla kolumnmatriser (respektive rad) så $H^{*}$ identifieras med utrymmet för alla radmatriser (respektive kolumn).

Det här exemplet använde standardinre produkten, som är kartan ${\displaystyle \langle z\mid w\rangle :={\overline {\,{\vec {z }}\,\,}}^{\operatörsnamn {T} }{\vec {w}},} men om$ en annan inre produkt används, såsom $\langle z\mid w\rangle _{M}:={\overline {\,{\vec {z}}\,\,}}^{\operatörsnamn {T} }\,M\, {\vec {w}}\,$ där $M$ är vilken hermitisk positiv-definitiv matris som helst, eller om en annan ortonormal bas används så kommer transformationsmatriserna, och därmed även formlerna ovan, att vara olika.

Relation med det tillhörande verkliga Hilbert-utrymmet

Se även: Komplexifiering

Antag att $H$ är ett komplext Hilbertrum med inre produkt $\langle \,\cdot \mid \cdot \,\rangle .$ När Hilbert-utrymmet $H$ omtolkas som ett riktigt Hilbert-utrymme kommer det att betecknas med $H_{ \mathbb {R} },$ där den (verkliga) inre produkten på $H_{\mathbb {R} }$ är den verkliga delen av ${\displaystyle H}:$ s inre produkt; det är:

$$\langle x,y\rangle _{\mathbb {R} }:=\operatörsnamn {re} \langle x,y\rangle .$$

Normen på $H_{\mathbb {R} }$ inducerad av $\langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle _{\mathbb { R} }$ är lika med den ursprungliga normen på $H$ och det kontinuerliga dubbla utrymmet för $H_{\mathbb {R} }$ är mängden av alla reellt värderade avgränsade $\mathbb {R}$ -linjära funktionaler på $H_{\mathbb {R} }$ (se artikeln om polarisationsidentiteten för ytterligare detaljer om detta förhållande). Låt $\psi _{\mathbb {R} }:=\operatörsnamn {re} \psi$ och $\psi _{i}:= \operatornamn {im} \psi$ betecknar de reella och imaginära delarna av en linjär funktionell $\psi ,$ så att ${\displaystyle \psi =\operatörsnamn {re} \psi +i\operatörsnamn {im} \psi =\psi _{\mathbb {R} }+i\psi _{i}.} Formeln som uttrycker en$ linjär funktion i termer av dess verkliga del är

$$\psi (h)=\psi _{\mathbb {R} }(h)-i\psi _ {\mathbb {R} }(ih)\quad {\text{ för }}h\in H,$$

där $\psi _{i}(h)=-i\psi _{\mathbb {R} }(ih)$ för alla $h\in H.$ Det följer att $\ker \psi _{\mathbb {R} }=\psi ^{-1}(i \mathbb {R} ),$ och att $\psi =0$ om och endast om $\psi _{\mathbb {R} }=0.$ Det kan också vara visat att $\|\psi \|=\vänster\|\psi _{\mathbb {R} }\höger\|=\vänster\|\psi _{i}\right\|$ där $\left\|\psi _{\mathbb {R} }\right\|:=\sup _{\|h\|\leq 1}\left|\psi _{\mathbb {R} }( h)\right|$ och $\left\|\psi _{i}\right\|:=\sup _{\|h\|\leq 1}\left|\psi _{i}(h)\right|$ är vanliga operatörsnormer . Speciellt är en linjär funktionell $\psi$ begränsad om och endast om dess reella del $\psi _{\mathbb {R} }$ är begränsad.

Representerar en funktionell och dess verkliga del

Riesz-representationen av en kontinuerlig linjär funktion $\varphi$ på ett komplext Hilbert-utrymme är lika med Riesz-representationen av dess reella del $\operatorname {re} \varphi$ på dess associerade reella Hilbert-utrymme .

Låt uttryckligen $\varphi \in H^{*}$ och som ovan, låt $f_{\varphi }\in H$ vara Riesz-representationen av $\varphi$ erhålls i $(H,\langle ,\cdot ,\cdot \rangle ),$ så det är den unika vektorn som uppfyller $\varphi (x)=\left\langle f_{\varphi }\mid x\right\rangle$ för alla $x\in H.$ Den reella delen av $\varphi$ är en kontinuerlig reell linjär funktion på $H_{\mathbb {R} }$ och därför kan Riesz-representationssatsen tillämpas till $\varphi _{\mathbb {R} }:=\operatörsnamn {re} \varphi$ och det associerade verkliga Hilbertutrymmet ${ \displaystyle \left(H_{\mathbb {R} },\langle ,\cdot ,\cdot \rangle _{\mathbb {R} }\right)} för att producera dess Riesz-representation, som kommer att betecknas$ med ${\displaystyle f_{\varphi _{\mathbb {R} }}.} Det$ vill säga $f_{\varphi _{\mathbb {R} }}$ är den unika vektorn i ${\ displaystyle H_{\mathbb {R} }}$ som uppfyller $\varphi _{\mathbb {R} }(x)=\left\langle f_{\ varphi _{\mathbb {R} }}\mid x\right\rangle _{\mathbb {R} }$ för alla $x\in H.$ Slutsatsen är ${\displaystyle f_{\varphi _{\mathbb {R} }}=f_{\varphi }.} Detta$ följer av huvudsatsen eftersom $\ker \varphi _{\mathbb {R} }=\varphi ^{-1}(i\mathbb {R} )$ och om $x\in H$ så

$$\left\langle f_{\varphi }\mid x\right\rangle _{ \mathbb {R} }=\operatörsnamn {re} \left\langle f_{\varphi }\mid x\right\rangle =\operatörsnamn {re} \varphi (x)=\varphi _{\mathbb {R} } (x)$$

och följaktligen, om $m\in \ker \varphi _{\mathbb {R} }$ då ${\displaystyle \left\langle f_{\varphi }\mid m\right\rangle _{\mathbb {R} }=0,} vilket$ visar att ${\displaystyle f_{\varphi }\in (\ker \varphi _{\mathbb {R} })^{\perp _{\mathbb {R} }}.} Dessutom$ , $\varphi (f_{\varphi })=\|\varphi \|^{2}$ är ett reellt tal innebär att ${\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }(f_{\varphi })=\operatörsnamn {re} \varphi (f_{\varphi })=\|\varphi \|^{2}.} I$ annat ord, i satsen och konstruktionerna ovan, om $H$ ersätts med dess verkliga Hilbert-rumsmotsvarighet $H_{\mathbb {R} }$ och om $\varphi$ ersätts med $\operatorname {re} \varphi$ sedan ${\displaystyle f_{\varphi }=f_{\operatorname {re} \varphi }.} Detta$ betyder att vektorn $f_{\varphi }$ erhålls genom att använda ${\displaystyle \left(H_{\mathbb {R} },\langle ,\cdot ,\cdot \rangle _{\mathbb {R} }\right)} och den verkliga linjära funktionella re ⁡$ φ $\ operatornamn {re} \varphi }$ är lika med vektorn som erhålls genom att använda ursprungskomplexet Hilbert space $\left(H,\left\langle ,\cdot ,\cdot \ right\rangle \right)$ och ursprungliga komplexa linjära funktionella $\varphi$ (med identiska normvärden också).

Dessutom, om $\varphi \neq 0$ så är $f_{\varphi }$ vinkelrät mot $\ker \varphi _{\mathbb {R} }$ med avseende $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{\mathbb {R} }$ där kärnan i $\varphi$ är ett korrekt delrum av kärnan i dess reell del $\varphi _{\mathbb {R} }.$ Antag nu att $\varphi \neq 0.$ Sedan $f_{\varphi }\not \in \ker \varphi _{\mathbb {R} }$ eftersom ${\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }\left( f_{\varphi }\right)=\varphi \left(f_{\varphi}\right)=\|\varphi \|^{2}\neq 0} och ker ⁡ φ {\displaystyle$ \ $}$ är en riktig delmängd av $\ker \varphi _{\mathbb {R} }.$ Vektordelrummet $\ker \varphi$ har verklig kodimension $1$ i $\ ker \varphi _{\mathbb {R} },$ medan $\ker \varphi _{\mathbb {R} }$ har verklig kodimension $1$ i $H_{\mathbb {R} },$ och $\left\langle f_{\varphi },\ker \varphi _{\mathbb {R} }\ right\rangle _{\mathbb {R} }=0.$ Det vill säga $f_{\varphi }$ är vinkelrät mot $\ker \varphi _{\mathbb {R} }$ med avseende på $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{\mathbb {R} }.$

Kanoniska injektioner i dubbel och anti-dual

Inducerad linjär karta till anti-dual

Kartan som definieras genom att placera $y$ i den linjära koordinaten för den inre produkten och låta variabeln $h\in H$ variera över den antilinjära koordinaten resulterar i en antilinjär funktion :

$$\langle \,\cdot \mid y\,\rangle =\langle \,y,\cdot \,\rangle :H\to \mathbb {F} \quad {\text{ definieras av }}\quad h\mapsto \langle \,h\mid y\,\rangle =\langle \,y,h\,\rangle .$$

Den här kartan är ett element av ${\overline {H}}^{*},$ som är det kontinuerliga anti-dubbelrummet för $H.$ Den kanoniska kartan från $H$ till dess anti-dual ${\overline {H}}^{*}$ är den linjära operatorn

$${\begin{alignedat}{4}\operatörsnamn {In} _{H}^{{\overline {H}}^{*}}:\;&&H&&\;\to \;&{\overline {H}}^{*}\\[0.3ex]&&y&&\;\mapsto \;&\langle \,\ cdot \mid y\,\rangle =\langle \,y,\cdot \,\rangle \\[0.3ex]\end{alignedat}}$$

som också är en injektiv isometri . Grundsatsen för Hilbert spaces , som är relaterad till Riesz representationssats, säger att denna karta är surjektiv (och därmed bijektiv ). Följaktligen kan varje antilinjär funktion på $H$ skrivas (unikt) i denna form.

Om ${\displaystyle \operatorname {Cong} :H^{*}\to {\overline {H}}^{*}} är$ den kanoniska antilinjära bijektiva isometrin $displaystyle f\mapsto {\overline {f}}}$${$ \ som definierades ovan, då gäller följande likhet:

$$\operatorname {Cong} ~\circ ~\operatörsnamn {I} _{H}^{H^{*}}~=~\operatörsnamn {I} _{H}^{{\overline {H}} ^{*}}.$$

Utöka beteckningen bra–ket till bras och kets

Huvudartikel: Bra–ket notation

Låt $\left(H,\langle \cdot ,\cdot \rangle _{H}\right)$ vara ett Hilbert-mellanslag och som tidigare, låt $\langle y\,|\,x\rangle _{H}:=\langle x,y\rangle _{H}.$ Låt

$$​​{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\Phi :\;&&H&\;\to \;&H^{*} \\[0.3ex]&&g&&\;\mapsto \;&\left\langle \,g\mid \cdot \,\right\rangle _{H}=\left\langle \,\cdot ,g\,\right \rangle _{H}\\\end{aligned}}}$$

vilket är en bijektiv antilinjär isometri som uppfyller

$$(\Phi h)g=\langle h\mid g\rangle _{H}=\langle g,h\rangle _{H}\quad {\text{ för alla }}g,h\in H .$$

BH:ar

Givet en vektor $h\in H,$ låter $\langle h\,|$ betecknar den kontinuerliga linjära funktionella $\Phi h$ ; det är,

$$\langle h\,|~:=~\Phi h$$

så att denna funktionella $\langle h\,|$ definieras av $g\mapsto \left\langle \,h\mid g\,\right\rangle _{H}.$ Denna karta betecknades med $\left\langle h\mid \cdot \,\right\rangle$ tidigare i den här artikeln.

Uppgiften $h\mapsto \langle h|$ är bara den isometriska antilinjära isomorfismen $\Phi ~:~H\to H^{*},$ vilket är anledningen till ${\displaystyle ~\langle cg+h\,|~=~{\overline {c}}\langle g\mid ~+~\langle h\,|~} gäller för alla g ,$ h $g ,h\in H}$ och alla skalärer $c.$ Resultatet av att plugga in några givna $g\in H$ i den funktionella $\langle h\,|$ är skalären ${\displaystyle \langle h\,|\,g\rangle _{H}=\langle g,h\rangle _{H},} som kan betecknas$ med $\langle h\mid g\rangle .$

BH av en linjär funktionell

Givet en kontinuerlig linjär funktionell $\psi \in H^{*},$ låt $\langle \psi \mid$ beteckna vektorn $\Phi ^{-1}\psi \in H$ ; det är,

$$\langle \psi \mid ~:=~\Phi ^{-1}\psi .$$

Tilldelningen $\psi \mapsto \langle \psi \mid$ är bara den isometriska antilinjära isomorfismen $\Phi ^{-1}~:~H ^{*}\till H,$ vilket är anledningen till att $~\langle c\psi +\phi \mid ~=~{\overline {c }}\langle \psi \mid ~+~\langle \phi \mid ~$ gäller för alla $\phi ,\psi \in H^{*}$ och alla skalärer $c.$

Det definierande villkoret för vektorn $\langle \psi |\in H$ är den tekniskt korrekta men fula likheten

$$\left\langle \,\langle \psi \mid \,\mid g\right\rangle _{H}~=~\psi g\quad {\text{ för alla }}g\in H,$$

$\left\langle \,\langle \psi \mid \,\mid g\right\rangle _{H}=\left\langle g,\,\langle \psi \mid \right\rangle _{H }.$ är anledningen till att notationen $\psi \mid g\right\rangle }$ används i stället för Med denna notation blir det definierande villkoret

$$\left\langle \psi \mid g\right\rangle ~=~\psi g\quad {\text{ för alla }}g\in H.$$

Kets

För varje given vektor $g\in H,$ beteckningen $|\,g\rangle$ används för att beteckna $g$ ; det är,

$$\mid g\rangle :=g.$$

Uppgiften $g\mapsto |\,g\rangle$ är bara identitetskartan $\operatorname {Id} _{H}:H\to H,$ varför $~\mid cg+h\rangle ~=~c\mid g\rangle ~+~\mid h\rangle ~$ gäller för alla $g,h\in H$ och alla skalärer $c.$

Notationen $\langle h\mid g\rangle$ och $\langle \psi \mid g\rangle$ används i stället för $\left\langle h\mid \,\mid g\rangle \,\right\rangle _{H}~=~\left\langle \mid g\rangle , h\right\rangle _{H}$ och $\displaystyle \left\langle \psi \mid \,\mid g\rangle \,\ höger\rangle _{H}~=~\left\langle g,\,\langle \psi \mid \right\rangle _{H},} respektive$ . Som förväntat, $~\langle \psi \mid g\rangle =\psi g~$ och $~\langle h\mid g\rangle ~$ är egentligen bara skalären $~\langle h\mid g\rangle _{H}~=~\langle g,h\rangle _{H}.$

Sammanfogar och transponerar

Låt $A:H\to Z$ vara en kontinuerlig linjär operator mellan Hilbertrum $\left(H,\langle \cdot ,\cdot \ rangle _{H}\right)$ och ${\displaystyle \left(Z,\langle \cdot ,\cdot \rangle _{Z}\right).} Som$ tidigare, låt $\langle y \mid x\rangle _{H}:=\langle x,y\rangle _{H}$ och $\langle y\mid x\rangle _{Z}:=\langle x,y\rangle _{Z}.$

Beteckna med

$${\begin{alignedat}{4}\}Phi : \;&&H&&\;\to \;&H^{*}\\[0.3ex]&&g&&\;\mapsto \;&\langle \,g\mid \cdot \,\rangle _{H}\\\end{ aligned}}\quad {\text{ och }}\quad {\begin{alignedat}{4}\Phi _{Z}:\;&&Z&&\;\to \;&Z^{*}\\[0.3ex] &&y&&\;\mapsto \;&\langle \,y\mid \cdot \,\rangle _{Z}\\\end{alignedat}}$$

de vanliga bijektiva antilinjära isometrierna som uppfyller:

$$\left(\Phi _{H}g\right)h=\langle g\mid h\rangle _{H}\quad {\text{ för alla }}g,h\in H\qquad {\ text{ och }}\qquad \left(\Phi _{Z}y\right)z=\langle y\mid z\rangle _{Z}\quad {\text{ för alla }}y,z\in Z .$$

Definition av adjoint

Huvudartiklar: Hermitisk adjoint och konjugat transponera

För varje $z\in Z,$ den skalära kartan $\langle z\mid A(\cdot )\rangle _{Z}$ på $H$ definieras av

$$h\mapsto \langle z\mid Ah\rangle _{Z}=\langle Ah,z\rangle _{Z}$$

är en kontinuerlig linjär funktionell på $H$ och så av Riesz-representationssatsen, finns det en unik vektor i $H,$ betecknad med $A^{*}z,$ så att $\langle z\mid A(\cdot )\rangle _{Z}=\left\langle A^{* }z\mid \cdot \,\right\rangle _{H},$ eller motsvarande, så att

$$\langle z\mid Ah\rangle _{Z}=\left\langle A^{*}z\mid h\right\rangle _{H}\quad {\text{ för alla }}h\in H.$$

Tilldelningen $z\mapsto A^{*}z$ inducerar alltså en funktion $A^{*}:Z\to H$ som kallas adjointen till $A:H\to Z$ vars definierande villkor är

$$\langle z\mid Ah\rangle _{Z}=\left\langle A^{*}z\mid h\right\rangle _{H}\quad {\text{ för alla }}h\in H{\text{ och alla }}z\in Z.$$

Adjointen $A^{*}:Z\to H$ är nödvändigtvis en kontinuerlig (motsvarande en begränsad ) linjär operator .

Om $H$ är ändlig dimensionell med standardinnerprodukten och om $M$ är transformationsmatrisen för $A$ med avseende på standardortonormalbasen så är $M$ s konjugera transponera ${\overline {M^{\operatörsnamn {T} }}}$ är transformationsmatrisen för adjointen $A^{*}.$

Adjoints är transponeringar

Huvudartikel: Transponera en linjär karta

Se även: Transponera

Det är också möjligt att definiera transponeringen eller algebraisk adjoint av $A:H\to Z,$ som är kartan ${}^{t} A:Z^{*}\to H^{*}$ definieras genom att skicka en kontinuerlig linjär funktional $\psi \in Z^{*}$ till

$${}^{t}A(\psi ):=\psi \circ A,$$

där sammansättningen $\psi \circ A$ alltid är en kontinuerlig linjär funktion på $H$ och den uppfyller $\|A\|=\vänster \|{}^{t}A\right\|$ (detta är sant mer generellt, när $H$ och $Z$ bara är normerade mellanslag ). Så till exempel, om $z\in Z$ så skickar ${\displaystyle {}^{t}A} den kontinuerliga linjära funktionella$$\langle z \mid \cdot \rangle _{Z}\in Z^{*}$ (definierad på $Z$ av $g\mapsto \langle z\mid g\rangle _{Z}$ ) till den kontinuerliga linjära funktionella $\langle z\mid A(\cdot )\rangle _{Z}\in H^{*}$ (definierad på $H$ av ${\displaystyle h\mapsto \langle z\mid A(h)\rangle _{Z}} )$ ; med bra-ket-notation kan detta skrivas som ${}^{t}A\langle z\mid ~=~\langle z\mid A$ där sammanställningen av $\langle z\mid$ med $A$ på höger sida anger funktionssammansättning: $H\xrightarrow {A} Z\xrightarrow {\langle z\mid } \mathbb {C} .$

Adjointen $A^{*}:Z\to H$ är egentligen bara till transponeringen ${}^{t}A:Z^{ *}\till H^{*}$ när Riesz-representationssatsen används för att identifiera $Z$ med $Z^{*}$ och $H$ med $H^{*}.$

Förhållandet mellan adjoint och transponera är uttryckligen:

${}^{t}A~\circ ~\Phi _{Z}~=~\Phi _{H}~\circ ~A^{*}$

 

 

 

 

()

som kan skrivas om till:

$$A^{*}~=~\Phi _{H}^{-1}~\circ ~{}^{t}A~\circ ~\Phi _{Z}\quad {\text{ och }}\quad {}^{t}A~=~\Phi _{H}~\circ ~A^{*}~\circ ~\Phi _{Z}^{-1}.$$

Bevis

För att visa att ${}^{t}A~\circ ~\Phi _{Z}~=~\Phi _{H}~\circ ~A^ {*},$ fixa $z\in Z.$ Definitionen av ${}^{t}A$ innebär

$$\left({}^{t}A\circ \Phi _{Z}\right)z= {}^{t}A\left(\Phi _{Z}z\right)=\left(\Phi _{Z}z\right)\circ A$$

så det återstår att visa att ${\displaystyle \left(\Phi _{Z}z\right)\circ A=\Phi _{H}\left(A^{*}z\right).} Om h ∈ H {$ \ $in H}$ då

$${ \displaystyle \left(\left(\Phi _{Z}z\right)\circ A\right)h=\left(\Phi _{Z}z\right)(Ah)=\langle z\mid Ah\ rangle _{Z}=\langle A^{*}z\mid h\rangle _{H}=\left(\Phi _{H}(A^{*}z)\right)h,}$$

som önskat. $\blacksquare$

Alternativt kan värdet på vänster och höger sida av ( Adjoint-transpose ) vid varje given $z\in Z$ skrivas om i termer av de inre produkterna som:

$$\left({}^{t}A~ \circ ~\Phi _{Z}\right)z=\langle z\mid A(\cdot )\rangle _{Z}\quad {\text{ och }}\quad \left(\Phi _{H} ~\circ ~A^{*}\right)z=\langle A^{*}z\mid \cdot \,\rangle _{H}$$

så att ${}^{t}A~\circ ~\Phi _{Z}~=~\Phi _{H}~\circ ~A^{* }$ håller om och endast om $\langle z\mid A(\cdot )\rangle _{Z}=\langle A^{ *}z\mid \cdot \,\rangle _{H}$ håller; men jämlikheten till höger gäller per definition av $A^{*}z.$ Det definierande villkoret för $A^{*}z$ kan också skrivas

$$\langle z\mid A~=~\langle A^{*}z\mid$$

om bra-ket notation används.

Beskrivningar av självtillslutande, normala och enhetliga operatörer

Antag att $Z=H$ och låt $\Phi :=\Phi _{H}=\Phi _{Z}.$ Låt $A:H\to H$ vara en kontinuerlig (det vill säga avgränsad) linjär operator.

Huruvida $A:H\to H$ är självadjoint , normal eller enhetlig beror helt på om $A$ uppfyller vissa definierande villkor relaterade till dess adjoint, vilket var visas av ( Adjoint-transponera ) för att i huvudsak bara vara transponera ${}^{t}A:H^{*}\to H^{*}.$ Eftersom transponeringen av $A$ är en karta mellan kontinuerliga linjära funktionaler, kan dessa definierande villkor följaktligen återställas -uttryckt helt i termer av linjära funktionaler, som resten av underavsnittet nu kommer att beskriva i detalj. De linjära funktionalerna som är inblandade är de enklast möjliga kontinuerliga linjära funktionalerna på $H$ som helt kan definieras i termer av $A,$ den inre produkten $\langle \ ,\cdot \mid \cdot \,\rangle$ på $H,$ och någon given vektor $h\in H.$ Specifikt är dessa $\left\langle Ah\mid \cdot \,\right\rangle$ och $\langle h\mid A(\cdot )\rangle$ där

$$\left\langle Ah\mid \cdot \,\right\rangle =\Phi (Ah)=(\Phi \circ A)h\quad {\text{ och }}\quad \langle h\mid A (\cdot )\rangle =\left({}^{t}A\circ \Phi \right)h.$$

Självtillslutande operatörer

Se även: Self-adjoint operator , Hermitian matris och symmetrisk matris

En kontinuerlig linjär operator $A:H\to H$ kallas självadjoint den är lika med sin egen adjoint; det vill säga om $A=A^{*}.$ Med ( Adjoint-transpose ), händer detta om och endast om:

$$\Phi \circ A={}^{t}A\circ \Phi$$

där denna likhet kan skrivas om i följande två likvärdiga former:

$$A=\Phi ^{-1}\circ {}^{t}A\circ \Phi \quad {\text{ eller }}\quad {}^{t}A=\Phi \circ A\ circ \Phi ^{-1}.$$

Att reda ut notation och definitioner ger följande karakterisering av självadjointoperatorer i termer av de tidigare nämnda kontinuerliga linjära funktionalerna: $A$ är självadjoint om och endast om för alla $z\in H,$ den linjära funktionella $\langle z\mid A(\cdot )\rangle$ är lika med den linjära funktionella $\langle Az\mid \cdot \,\rangle$ ; det vill säga om och bara om

$\langle z\mid A(\cdot )\rangle =\langle Az\mid \cdot \,\rangle \quad { \text{ för alla }}z\in H$

 

 

 

 

()

där om bra-ket notation används, är detta

$$\langle z\mid A~=~\langle Az\mid \quad {\text{ för alla }}z\in H.$$

Normala operatörer

Se även: Normal operator och Normal matris

En kontinuerlig linjär operator $A:H\to H$ kallas normal om $AA^{*}=A^{*}A,$ vilket händer om och bara om för alla $z,h\in H,$

$$\left\langle AA^{*}z\mid h\right\rangle =\left\langle A^{*}Az\mid h\right\rangle .$$

Användning av ( Adjoint-transpose ) och nysta notation och definitioner ger följande karakterisering av normala operatorer i termer av inre produkter av kontinuerliga linjära funktionaler: $A$ är en normal operator om och bara om

$\left\langle \,\langle Ah\mid \cdot \,\rangle \mid \langle Az\ mid \cdot \,\rangle \,\right\rangle _{H^{*}}~=~\left\langle \,\langle h|A(\cdot )\rangle \mid \langle z\mid A( \cdot )\rangle \,\right\rangle _{H^{*}}\quad {\text{ för alla }}z,h\in H$

 

 

 

 

()

där vänster sida också är lika med ${\displaystyle {\overline {\langle Ah\mid Az\rangle }}_{H}=\langle Az\mid Ah\rangle _{H}.} Den vänstra$ sidan av denna karaktärisering involverar endast linjära funktionaler av formen $\langle Ah\mid \cdot \,\rangle$ medan den högra sidan endast involverar linjära funktioner av formen $\langle h\mid A (\cdot )\rangle$ (definierad enligt ovan). Så på vanlig engelska säger karakterisering ( Normality functionals ) att en operator är normal när ${ \displaystyle z,h\in H}$ inre produkten av två linjära funktioner av den första formen är lika med den inre produkten av deras andra form (med samma vektorer för båda formerna). Med andra ord, om det råkar vara fallet (och när $A$ är injektiv eller självadjoint, så är det) att tilldelningen av linjära funktionaler ${\displaystyle \langle Ah\mid \cdot \,\rangle ~\mapsto ~\langle h|A(\cdot )\rangle } är väldefinierad (eller alternativt,$ om ${\displaystyle \langle h|A(\cdot )\rangle ~\mapsto ~\langle Ah\mid \cdot \,\rangle } är väldefinierad) där h {$ \ $h }$ sträcker sig över $H,$ så är $A$ en normal operator om och endast om denna tilldelning bevarar den inre produkten på $H^{*}.$

Det faktum att varje självtillslutande gränsad linjär operator är normal följer lätt av direkt substitution av $A^{*}=A$ på vardera sidan av $A^{*}A=AA^{*}.$ Samma faktum följer också omedelbart av den direkta substitutionen av likheterna ( Self-adjointness functionals ) till vardera sidan av ( Normality functionals ).

Alternativt, för ett komplext Hilbert-rum, är den kontinuerliga linjära operatorn $A$ en normal operator om och endast om $\|Az\|=\left\|A ^{*}z\right\|$ för varje $z\in H,$ vilket händer om och endast om

$$\|Az\|_{H}=\|\langle z\,|\,A(\cdot )\rangle \|_{H^{*}}\quad {\text{ för varje }} z\in H.$$

Enhetsoperatörer

Se även: Enhetstransformation och Enhetsmatris

En inverterbar avgränsad linjär operator $A:H\to H$ sägs vara enhetlig om dess invers är dess adjoint: $A^{-1}=A^{*}.$ Genom att använda ( Adjoint-transpose ), ses detta vara ekvivalent med ${\displaystyle \Phi \circ A^{-1}={}^{t}A\circ \Phi .} Genom att reda ut$ notation och definitioner, följer det att $A$ är enhetlig om och endast om

$$\langle A^{-1}z\mid \cdot \,\rangle =\langle z\mid A(\cdot )\rangle \quad {\text{ för alla }}z\in H.$$

Det faktum att en avgränsad inverterbar linjär operator $A:H\to H$ är enhetlig om och endast om $A^{*}A=\operatörsnamn {Id} _{H}$ (eller motsvarande, ${}^{t}A\circ \Phi \circ A=\Phi$ ) ger en annan (välkänd) karaktärisering: en invertibel avgränsad linjär karta $A$ är enhetlig om och endast om

$$\langle Az\mid A(\cdot )\,\rangle =\langle z\mid \cdot \,\rangle \quad {\text{ för alla }}z\in H.$$

Eftersom $A:H\to H$ är inverterbar (och så i synnerhet en bijektion), gäller detta även för transponeringen ${}^{t}A:H^{*}\to H^{*}.$ Detta faktum tillåter också att vektorn $z\in H$ i ovanstående karaktäriseringar ersätts med $Az$ eller $A^{-1}z,$ och producerar därmed många fler likheter. På liknande sätt $\,\cdot \,$ ersättas med $A(\cdot )$ eller $A^{-1}(\cdot ).$

Se även

• Choquet-teori – område för funktionsanalys och konvex analys som handlar om åtgärder som har stöd på ytterpunkterna i en konvex uppsättning Sidor som visar wikidata-beskrivningar som en reserv
• Kovariansoperator – Operatör i sannolikhetsteori
• Grundläggande teorem för Hilbert-rum
• Matriskoefficient – ​​Funktioner på speciella grupper relaterade till deras matrisrepresentationer

Anteckningar

Bevis

Bibliografi

•    Bachman, George; Narici, Lawrence (2000). Funktionsanalys (andra upplagan). Mineola, New York: Dover Publications. ISBN 978-0486402512 . OCLC 829157984 .
• Fréchet, M. (1907). "Sur les ensembles de fonctions et les operations linéaires" . Les Comptes rendus de l'Académie des sciences (på franska). 144 : 1414–1416.
• P. Halmos Measure Theory , D. van Nostrand och Co., 1950.
• P. Halmos, A Hilbert Space Problem Book , Springer, New York 1982 (uppgift 3 innehåller version för vektorrum med koordinatsystem) .
• Riesz, F. (1907). "Sur une espèce de géométrie analytique des systèmes de fonctions sommables" . Comptes rendus de l'Académie des Sciences (på franska). 144 : 1409–1411.
• Riesz, F. (1909). "Sur les operations fonctionnelles linéaires" . Comptes rendus de l'Académie des Sciences (på franska). 149 : 974-977.
•    Rudin, Walter (1991). Funktionsanalys . Internationell serie i ren och tillämpad matematik. Vol. 8 (andra upplagan). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5 . OCLC 21163277 .
•   Walter Rudin, Real and Complex Analysis , McGraw-Hill, 1966, ISBN 0-07-100276-6 .
•    Trèves, François (2006) [1967]. Topologiska vektorutrymmen, distributioner och kärnor . Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1 . OCLC 853623322 .