Pseudo-monotone operator

Inom matematik är en pseudo-monotone operator från ett reflexivt Banach-rum till dess kontinuerliga dubbla rymd en som i någon mening är nästan lika väluppfostrad som en monoton operator . Många problem i variationskalkylen kan uttryckas med operatorer som är pseudo-monotona, och pseudo-monotonicitet innebär i sin tur att det finns lösningar på dessa problem.

Definition

Låt ( X , || ||) vara ett reflexivt Banachmellanrum. En karta T : X → X ^∗ från X till dess kontinuerliga dubbla rymd X ^∗ sägs vara pseudo-monotone om T är en begränsad operator (inte nödvändigtvis kontinuerlig) och om närhelst

$u_{j}\rightharpoonup u{\mbox{ i }}X{\mbox{ as }}j\to \infty$

(dvs u _j konvergerar svagt till u ) och

$\limsup _{j\to \infty }\langle T(u_{j}),u_{j}-u\rangle \leq 0,$

det följer att för alla v ∈ X ,

$\liminf _{j\to \infty }\langle T(u_{j}),u_{j}-v\rangle \geq \langle T(u),uv\rangle .$

Egenskaper för pseudo-monotone operatorer

Genom att använda ett mycket liknande bevis som Browder-Minty-satsen kan man visa följande:

Låt ( X , || ||) vara ett reellt , reflexivt Banach-rum och anta att T : X → X ^∗ är begränsat , tvångsmässigt och pseudo-monotone. Sedan, för varje kontinuerlig linjär funktionell g ∈ X ^∗ , finns det en lösning u ∈ X av ekvationen T ( u ) = g .

•   Renardy, Michael & Rogers, Robert C. (2004). En introduktion till partiella differentialekvationer . Texter i tillämpad matematik 13 (andra upplagan). New York: Springer-Verlag. sid. 367. ISBN 0-387-00444-0 . (Definition 9.56, sats 9.57)