Henri Lebesgue

För talteoretikern, se Victor-Amédée Lebesgue .
Ej att förväxla med den franske paleografen Henri Lebègue
Henri Lebesgue
Lebesgue 2.jpeg
Född ( 1875-06-28 ) 28 juni 1875
Beauvais , Oise , Frankrike
dog 26 juli 1941 (26-07-1941) (66 år gammal)
Paris , Frankrike
Nationalitet franska
Alma mater
École Normale Supérieure University of Paris
Känd för
Lebesgue integration Lebesgue åtgärd
Utmärkelser
Fellow i Royal Society Poncelet Prize för 1914
Vetenskaplig karriär
Fält Matematik
institutioner


University of Rennes University of Poitiers University of Paris Collège de France
Doktorand rådgivare Emile Borel
Doktorander

Paul Montel Zygmunt Janiszewski Georges de Rham

Henri Léon Lebesgue ForMemRS ( franska: [ɑ̃ʁi leɔ̃ ləbɛɡ] ; 28 juni 1875 – 26 juli 1941) var en fransk matematiker känd för sin teori om integration , som var en generalisering av 1600-talets integrationsbegrepp – summering av integrationsområdet mellan en axel och kurvan för en funktion definierad för den axeln. Hans teori publicerades ursprungligen i hans avhandling Intégrale, longueur, aire ("Integral, längd, område") vid University of Nancy under 1902.

Privatliv

Henri Lebesgue föddes den 28 juni 1875 i Beauvais , Oise . Lebesgues far var sättare och hans mor var skollärare . Hans föräldrar samlade hemma ett bibliotek som den unge Henri kunde använda. Hans far dog i tuberkulos när Lebesgue fortfarande var mycket ung och hans mamma var tvungen att försörja honom själv. Eftersom han visade en anmärkningsvärd talang för matematik i grundskolan, ordnade en av hans instruktörer stöd från samhället för att fortsätta sin utbildning vid Collège de Beauvais och sedan vid Lycée Saint-Louis och Lycée Louis-le-Grand i Paris .

År 1894 antogs Lebesgue vid École Normale Supérieure , där han fortsatte att fokusera sin energi på matematikstudier, och tog examen 1897. Efter examen stannade han kvar vid École Normale Supérieure i två år och arbetade på biblioteket, där han blev medveten om av forskningen om diskontinuitet som gjordes vid den tiden av René-Louis Baire , en nyutexaminerad skolan. Samtidigt började han sina forskarstudier vid Sorbonne , där han lärde sig om Émile Borels arbete med teorin om begynnande mått och Camille Jordans arbete med Jordanmåttet . År 1899 flyttade han till en lärarposition vid Lycée Central i Nancy , medan han fortsatte arbetet med sin doktorsexamen. 1902 tog han sin doktorsexamen från Sorbonne med den framstående avhandlingen om "Integral, Length, Area", inlämnad med Borel, fyra år äldre, som rådgivare.

Lebesgue gifte sig med systern till en av sina studiekamrater, och han och hans fru fick två barn, Suzanne och Jacques.

Efter att ha publicerat sin avhandling erbjöds Lebesgue 1902 en position vid universitetet i Rennes , där han föreläste fram till 1906, då han flyttade till vetenskapsfakulteten vid universitetet i Poitiers . År 1910 flyttade Lebesgue till Sorbonne som en maître de conférences , befordrades till professor från och med 1919. År 1921 lämnade han Sorbonne för att bli professor i matematik vid Collège de France , där han föreläste och gjorde forskning för resten av sitt liv . 1922 valdes han till medlem av Académie des Sciences . Henri Lebesgue dog den 26 juli 1941 i Paris .

Matematisk karriär

Leçons sur l'integration et la recherche des fonctions primitives , 1904

Lebesgues första papper publicerades 1898 och fick titeln "Sur l'approximation des fonctions". Den behandlade Weierstrass sats om approximation till kontinuerliga funktioner genom polynom. Mellan mars 1899 och april 1901 publicerade Lebesgue sex anteckningar i Comptes Rendus . Den första av dessa, utan samband med hans utveckling av Lebesgue-integration, handlade om utvidgningen av Baires teorem till funktioner av två variabler. De nästa fem behandlade ytor som är tillämpliga på ett plan, arean av sneda polygoner , ytintegraler av minsta area med en given gräns, och den sista anteckningen gav definitionen av Lebesgue-integration för någon funktion f(x). Lebesgues stora avhandling, Intégrale, longueur, aire , med den fullständiga redogörelsen för detta arbete, dök upp i Annali di Matematica 1902. Det första kapitlet utvecklar måttteorin (se Borel-måttet ). I det andra kapitlet definierar han integralen både geometriskt och analytiskt. De nästa kapitlen utökar Comptes Rendus -anteckningarna som handlar om längd, area och tillämpliga ytor. Det sista kapitlet behandlar huvudsakligen Plataus problem . Denna avhandling anses vara en av de bästa som någonsin skrivits av en matematiker.

Hans föreläsningar från 1902 till 1903 samlades in i en " Borel -kanal" Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives . Problemet med integration som betraktas som sökandet efter en primitiv funktion är bokens grundton. Lebesgue presenterar problemet med integration i dess historiska sammanhang och tar upp Augustin-Louis Cauchy , Peter Gustav Lejeune Dirichlet och Bernhard Riemann . Lebesgue presenterar sex villkor som det är önskvärt att integralen ska uppfylla, det sista är "Om sekvensen f n (x) ökar till gränsen f(x), tenderar integralen av f n (x) till integralen av f(x)." Lebesgue visar att hans villkor leder till teorin om mått och mätbara funktioner och de analytiska och geometriska definitionerna av integralen.

Han vände sig bredvid trigonometriska funktioner med sin 1903 uppsats "Sur les séries trigonométriques". Han presenterade tre stora satser i detta arbete: att en trigonometrisk serie som representerar en begränsad funktion är en Fourier-serie, att den n: e Fourier-koefficienten tenderar till noll ( Riemann-Lebesgue-lemmat), och att en Fourier-serie är integrerbar term för term. 1904-1905 föreläste Lebesgue ännu en gång vid Collège de France , denna gång om trigonometriska serier och han fortsatte med att publicera sina föreläsningar i en annan av "Borel-trakterna". I detta traktat behandlar han än en gång ämnet i dess historiska sammanhang. Han förklarar Fourier-serien, Cantor-Riemann-teorin, Poisson-integralen och Dirichlet-problemet .

I ett papper från 1910, "Représentation trigonométrique approchée des fonctions satisfaisant a une condition de Lipschitz" behandlar Fourier-serien av funktioner som uppfyller ett Lipschitz-villkor , med en utvärdering av storleksordningen för den återstående termen. Han bevisar också att Riemann–Lebesgue-lemmat är ett bästa möjliga resultat för kontinuerliga funktioner, och ger viss behandling åt Lebesgue-konstanter .

Lebesgue skrev en gång, "Réduites à des théories générales, les mathématiques seraient une belle forme sans contenu." ("Reducerat till allmänna teorier skulle matematik vara en vacker form utan innehåll.")

I måttteoretisk analys och relaterade grenar av matematik generaliserar Lebesgue-Stieltjes-integralen Riemann-Stieltjes- och Lebesgue-integration, och bevarar de många fördelarna med den senare i en mer allmän måttteoretisk ram.

Under loppet av sin karriär gjorde Lebesgue också razzior i områdena komplex analys och topologi . Han hade också en oenighet med Émile Borel om vars integral var mer allmän. Men dessa mindre razzior bleknar i jämförelse med hans bidrag till verklig analys ; hans bidrag till detta område hade en enorm inverkan på fältets form idag och hans metoder har blivit en väsentlig del av modern analys. Dessa har viktiga praktiska konsekvenser för grundläggande fysik som Lebesgue skulle ha varit helt omedveten om, som noteras nedan.

Lebesgues teori om integration

Approximation av Riemann-integralen med rektangulära ytor.
Detta är en historisk översikt. För en teknisk matematisk behandling, se Lebesgue integration .

Integration är en matematisk operation som motsvarar den informella idén att hitta arean under grafen för en funktion . Den första teorin om integration utvecklades av Arkimedes på 300-talet f.Kr. med hans metod för kvadraturer , men detta kunde tillämpas endast under begränsade omständigheter med en hög grad av geometrisk symmetri. På 1600-talet Isaac Newton och Gottfried Wilhelm Leibniz idén att integration var naturligt kopplad till differentiering , det senare är ett sätt att mäta hur snabbt en funktion förändrades vid en given punkt på grafen. Detta överraskande förhållande mellan två stora geometriska operationer i kalkyl, differentiering och integration, är nu känd som den grundläggande satsen för kalkyl . Det har gjort det möjligt för matematiker att beräkna en bred klass av integraler för första gången. Men till skillnad från Arkimedes metod, som baserades på euklidisk geometri , ansåg matematiker att Newtons och Leibniz integralkalkyl inte hade en rigorös grund.

På 1800-talet utvecklade Augustin Cauchy epsilon-delta- gränser , och Bernhard Riemann följde upp detta genom att formalisera det som nu kallas Riemann-integralen . För att definiera denna integral fyller man arean under grafen med mindre och mindre rektanglar och tar gränsen för summorna av rektanglarnas area i varje steg. För vissa funktioner närmar sig dock den totala arean av dessa rektanglar inte ett enda tal. Som sådana har de ingen Riemann-integral.

Lebesgue uppfann en ny metod för integration för att lösa detta problem. Istället för att använda områdena av rektanglar, som sätter fokus på funktionens domän , tittade Lebesgue på funktionens samdomän för sin grundläggande areaenhet. Lebesgues idé var att först definiera mått, för både uppsättningar och funktioner på dessa uppsättningar. Han fortsatte sedan med att bygga integralen för vad han kallade enkla funktioner ; mätbara funktioner som bara tar ändligt många värden. Sedan definierade han det för mer komplicerade funktioner som den minsta övre gränsen av alla integraler av enkla funktioner mindre än funktionen i fråga.

Lebesgue-integration har egenskapen att varje funktion som definieras över ett begränsat intervall med en Riemann-integral också har en Lebesgue-integral, och för dessa funktioner överensstämmer de två integralerna. Dessutom har varje begränsad funktion på ett slutet avgränsat intervall en Lebesgue-integral och det finns många funktioner med en Lebesgue-integral som inte har någon Riemann-integral.

Som en del av utvecklingen av Lebesgue-integration uppfann Lebesgue konceptet mått , som utökar idén om längd från intervall till en mycket stor klass av mängder, kallade mätbara mängder (så, mer exakt, enkla funktioner är funktioner som tar ett ändligt tal av värden, och varje värde tas på en mätbar uppsättning). Lebesgues teknik för att förvandla ett mått till en integral generaliserar lätt till många andra situationer, vilket leder till den moderna måttteorin .

Lebesgue-integralen är bristfällig i ett avseende. Riemann-integralen generaliserar till den felaktiga Riemann-integralen för att mäta funktioner vars definitionsdomän inte är ett slutet intervall . Lebesgue-integralen integrerar många av dessa funktioner (reproducerar alltid samma svar när den gör det), men inte alla. För funktioner på den verkliga linjen Henstock-integralen en ännu mer allmän uppfattning om integral (baserad på Riemanns teori snarare än Lebesgues) som subsumerar både Lebesgue-integration och felaktig Riemann-integration. Men Henstock-integralen beror på specifika ordningsegenskaper hos den verkliga linjen och generaliserar därför inte för att tillåta integration i mer allmänna utrymmen (säg, grenrör ), medan Lebesgue-integralen sträcker sig till sådana utrymmen helt naturligt.

Se även

externa länkar

Hämtad från " https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Henri_Lebesgue&oldid=1133068017 "