Lebesgue integration

Integralen av en positiv funktion kan tolkas som arean under en kurva.

Inom matematik kan integralen av en icke-negativ funktion av en enda variabel i det enklaste fallet betraktas som arean mellan grafen för den funktionen och x -axeln . Lebesgue- integralen , uppkallad efter den franske matematikern Henri Lebesgue , utökar integralen till en större klass av funktioner. Det utökar också de domäner där dessa funktioner kan definieras.

Långt före 1900-talet förstod matematiker redan att för icke-negativa funktioner med en tillräckligt jämn graf – såsom kontinuerliga funktioner på slutna avgränsade intervall – kunde arean under kurvan definieras som integralen och beräknas med hjälp av approximationstekniker för regionen av polygoner . Men när behovet av att överväga mer oregelbundna funktioner uppstod – t.ex. som ett resultat av de begränsande processerna för matematisk analys och den matematiska sannolikhetsteorin — Det blev tydligt att mer noggranna approximationstekniker behövdes för att definiera en lämplig integral. Man kanske också vill integrera på utrymmen mer generella än den verkliga linjen. Lebesgue-integralen tillhandahåller de nödvändiga abstraktionerna för detta.

Lebesgue-integralen spelar en viktig roll i sannolikhetsteori , verklig analys och många andra områden inom matematik. Den är uppkallad efter Henri Lebesgue (1875–1941), som introducerade integralen ( Lebesgue 1904) . Det är också en central del av den axiomatiska sannolikhetsteorin .

Termen Lebesgue-integration kan betyda antingen den allmänna teorin om integration av en funktion med avseende på ett allmänt mått , som introducerats av Lebesgue, eller det specifika fallet med integration av en funktion definierad på en underdomän av den reala linjen med avseende på Lebesgue mått .

Introduktion

Integralen av en positiv funktion f mellan gränserna a och b kan tolkas som arean under grafen för f . Detta är enkelt för funktioner som polynom , men vad betyder det för mer exotiska funktioner? I allmänhet, för vilken klass av funktioner är "area under kurvan" meningsfullt? Svaret på denna fråga har stor teoretisk och praktisk betydelse.

Som en del av en allmän rörelse mot rigor inom matematiken under artonhundratalet, försökte matematiker sätta integralkalkyl på en fast grund. Riemann -integralen – föreslagen av Bernhard Riemann (1826–1866) – är ett i stort sett framgångsrikt försök att tillhandahålla en sådan grund. Riemanns definition börjar med konstruktionen av en sekvens av lättberäknade områden som konvergerar till integralen av en given funktion. Denna definition är framgångsrik i den meningen att den ger det förväntade svaret för många redan lösta problem och ger användbara resultat för många andra problem.

Riemann-integration samverkar dock inte bra med att ta gränser för sekvenser av funktioner, vilket gör sådana begränsande processer svåra att analysera. Detta är viktigt, till exempel i studien av Fourier-serier , Fourier-transformers och andra ämnen. Lebesgue-integralen är bättre på att beskriva hur och när det är möjligt att ta gränser under integraltecknet (via det monotona konvergenssatsen och dominerade konvergenssatsen ) .

Medan Riemann-integralen betraktar arean under en kurva som gjord av vertikala rektanglar, anser Lebesgue-definitionen horisontella plattor som inte nödvändigtvis bara är rektanglar, och därför är den mer flexibel. Av denna anledning gör Lebesgue-definitionen det möjligt att beräkna integraler för en bredare klass av funktioner. Till exempel Dirichlet-funktionen , som är 0 där dess argument är irrationellt och 1 annars har en Lebesgue-integral, men har inte en Riemann-integral. Dessutom är Lebesgue-integralen för denna funktion noll, vilket stämmer överens med intuitionen att när man plockar ett reellt tal likformigt slumpmässigt från enhetsintervallet, bör sannolikheten att välja ett rationellt tal vara noll.

Lebesgue sammanfattade sitt förhållningssätt till integration i ett brev till Paul Montel :

Jag måste betala en viss summa, som jag har samlat i fickan. Jag tar upp sedlarna och mynten ur fickan och ger dem till borgenären i den ordning jag hittar dem tills jag har nått den totala summan. Detta är Riemann-integralen. Men jag kan gå tillväga annorlunda. Efter att jag har tagit upp alla pengarna ur fickan beställer jag sedlar och mynt enligt identiska värden och sedan betalar jag flera högar efter varandra till borgenären. Det här är min integral.

— Källa : ( Siegmund-Schultze 2008 )

Insikten är att man ska kunna ordna om värdena på en funktion fritt, samtidigt som integralens värde bevaras. Denna omarrangemangsprocess kan omvandla en mycket patologisk funktion till en som är "trevlig" ur integrationssynpunkt, och därmed låta sådana patologiska funktioner integreras.

Intuitiv tolkning

En mätbar funktion visas tillsammans med mängden $\{x:f(x)>t\}$ (på x -axeln). Lebesgue-integralen erhålls genom att skära längs y -axeln, med hjälp av det 1-dimensionella Lebesgue-måttet för att mäta "bredden" på skivorna.

Folland (1984) sammanfattar skillnaden mellan Riemann- och Lebesgue-metoderna så här: "för att beräkna Riemann-integralen av f partitionerar man domänen [ a , b ] i delintervall", medan man i Lebesgue-integralen "partitionerar i praktiken intervall av f ."

För Riemann-integralen är domänen uppdelad i intervall och staplar är konstruerade för att möta höjden på grafen. Ytorna för dessa staplar adderas, och detta approximerar integralen, i själva verket genom att $) {\displaystyle f(x) }$ områden av formen $f(x)dx$ där är höjden på en rektangel och $dx$ är dess bredd.

För Lebesgue-integralen är intervallet uppdelat i intervall, så området under grafen är uppdelat i horisontella "plattor" (som kanske inte är sammankopplade uppsättningar). Arean av en liten horisontell "platta" under grafen för f , av höjden dy , är lika med måttet på plattans bredd gånger dy :

$\mu \left(\{x\mid f(x)>y\}\right)\,dy.$

Lebesgue-integralen kan sedan definieras genom att addera områdena för dessa horisontella plattor.

Enkla funktioner

Riemannsk (överst) vs Lebesgue (nederst) integration av utjämnade covid-19 dagliga falldata från Serbien (sommar-höst 2021).

Ett likvärdigt sätt att introducera Lebesgue-integralen är att använda så kallade enkla funktioner , som generaliserar stegfunktionerna för Riemann-integration. Överväg till exempel att bestämma det kumulativa antalet fall av covid-19 från en graf över utjämnade nya dagliga fall (höger).

Riemann–Darboux-metoden

Dela upp domänen (tidsperioden) i intervall (åtta, i exemplet till höger) och konstruera staplar med höjder som möter grafen. Det kumulativa antalet hittas genom att summera, över alla staplar, produkten av intervallbredden (tid i dagar) och stapelhöjden (fall per dag).

Lebesgue-metoden

Välj ett ändligt antal målvärden (åtta, i exemplet) i funktionens område. Genom att konstruera staplar med höjder lika med dessa värden, men under funktionen, innebär de en uppdelning av domänen i samma antal delmängder (delmängder, indikerade med färg i exemplet, behöver inte kopplas ihop). Detta är en "enkel funktion", som beskrivs nedan. Det kumulativa antalet hittas genom att summera, över alla delmängder av domänen, produkten av måttet på den delmängden (total tid i dagar) och stapelhöjden (fall per dag).

Mät teori

Ytterligare information: Mått (matematik)

Måttteori skapades ursprungligen för att ge en användbar abstraktion av begreppet längd av delmängder av den verkliga linjen - och, mer generellt, area och volym av delmängder av euklidiska utrymmen. I synnerhet gav den ett systematiskt svar på frågan om vilka delmängder av R som har en längd. Som senare av mängdteori visade (se icke-mätbar mängd ), är det faktiskt omöjligt att tilldela en längd till alla delmängder av R på ett sätt som bevarar vissa naturliga additivitets- och translationsinvariansegenskaper. Detta tyder på att välja ut en lämplig klass av mätbara delmängder är en väsentlig förutsättning.

Riemann-integralen använder uttryckligen begreppet längd. Faktum är att beräkningselementet för Riemann-integralen är rektangeln [ a , b ] × [ c , d ] , vars area beräknas vara ( b − a )( d − c ) . Kvantiteten b − a är längden på rektangelns bas och d − c är höjden på rektangeln. Riemann kunde bara använda plana rektanglar för att approximera arean under kurvan, eftersom det inte fanns någon adekvat teori för att mäta mer allmänna mängder.

I utvecklingen av teorin i de flesta moderna läroböcker (efter 1950) är inställningen till mätning och integration axiomatisk . Detta betyder att ett mått är vilken funktion som helst μ definierad på en viss klass X av delmängder av en mängd E , som uppfyller en viss lista med egenskaper. Dessa egenskaper kan visa sig hålla i många olika fall.

Mätbara funktioner

Vi börjar med ett måttutrymme ( E , X , μ ) där E är en mängd , X är en σ-algebra av delmängder av E och μ är ett (icke- negativt ) mått på E definierat på mängderna av X .

Till exempel kan E vara euklidiskt n - rum Rn ^E eller någon Lebesgue-mätbar delmängd av den, X är σ-algebra för alla Lebesgue-mätbara delmängder av , och μ är Lebesgue-måttet. I den matematiska sannolikhetsteorin begränsar vi vår studie till ett sannolikhetsmått μ , som uppfyller μ ( E ) = 1 .

Lebesgues teori definierar integraler för en klass av funktioner som kallas mätbara funktioner . En verkligt värderad funktion f på E är mätbar om förbilden för varje intervall i formen ( t , ∞) är i X :

$\{x\,\mid \,f(x)>t\}\in X\quad \forall t\in \mathbb {R} .$

Vi kan visa att detta är ekvivalent med att kräva att förbilden av vilken som helst Borel -delmängd av R är i X . Uppsättningen av mätbara funktioner stängs under algebraiska operationer, men ännu viktigare är den stängd under olika typer av punktvisa sekventiella gränser :

$\sup _{k\in \mathbb {N} }f_{k},\quad \liminf _{k \in \mathbb {N} }f_{k},\quad \limsup _{k\in \mathbb {N} }f_{k}$

är mätbara om den ursprungliga sekvensen ( f _k ) , där k ∈ N , består av mätbara funktioner.

Det finns flera tillvägagångssätt för att definiera en integral för mätbara verkliga funktioner f definierade på E , och flera notationer används för att beteckna en sådan integral.

$\int _{E}f\,\mathrm {d} \mu =\int _{E}f(x)\,\mathrm {d} \mu (x)=\int _{E}f (x)\,\mu (\mathrm {d} x).$

0 Efter identifieringen i distributionsteori av mått med ordningsfördelningar , eller med radonmått , kan man också använda en dubbelparnotation och skriva integralen med avseende på μ i formen

$\langle \mu ,f\rangle .$

Definition

Teorin om Lebesgue-integralen kräver en teori om mätbara mängder och mått på dessa mängder, såväl som en teori om mätbara funktioner och integraler på dessa funktioner.

Via enkla funktioner

Att approximera en funktion med en enkel funktion.

Ett tillvägagångssätt för att konstruera Lebesgue-integralen är att använda sig av så kallade enkla funktioner : ändliga, reella linjära kombinationer av indikatorfunktioner . Enkla funktioner som ligger direkt under en given funktion f kan konstrueras genom att dela upp området för f i ett ändligt antal lager. Skärningen av grafen för f med ett lager identifierar en uppsättning intervall i domänen för f , som, tillsammans, definieras som förbilden av den nedre gränsen av det lagret, under den enkla funktionen. På detta sätt innebär partitioneringen av området f en partitionering av dess domän. Integralen av en enkel funktion hittas genom att summera, över dessa (inte nödvändigtvis anslutna) delmängder av domänen, produkten av måttet för delmängden och dess bild under den enkla funktionen (den nedre gränsen för motsvarande lager); intuitivt är denna produkt summan av areorna för alla stänger av samma höjd. Integralen av en icke-negativ generell mätbar funktion definieras då som ett lämpligt supremum av approximationer med enkla funktioner, och integralen för en (inte nödvändigtvis positiv) mätbar funktion är skillnaden mellan två integraler av icke-negativa mätbara funktioner.

Indikatorfunktioner

För att tilldela ett värde till integralen av indikatorfunktionen 1 S _för en mätbar mängd S som överensstämmer med det givna måttet μ, är det enda rimliga valet att ställa in:

$\int 1_{S}\,\mathrm {d} \mu =\mu (S).$

Lägg märke till att resultatet kan vara lika med +∞ , om inte μ är ett ändligt mått.

Enkla funktioner

En finit linjär kombination av indikatorfunktioner

$\sum _{k}a_{k}1_{S_{k}}$

där koefficienterna a _k är reella tal och Sk är disjunkta mätbara mängder _, kallas en mätbar enkel funktion . Vi utökar integralen med linjäritet till icke-negativa mätbara enkla funktioner. När koefficienterna a _k är positiva sätter vi

$\int \left(\summa _{k}a_{k }1_{S_{k}}\right)\,\mathrm {d} \mu =\summa _{k}a_{k}\int 1_{S_{k}}\,\mathrm {d} \mu = \sum _{k}a_{k}\,\mu (S_{k})$

om denna summa är ändlig eller +∞. En enkel funktion kan skrivas på olika sätt som en linjär kombination av indikatorfunktioner, men integralen blir densamma genom additiviteten av mått.

Viss försiktighet krävs när man definierar integralen av en enkel funktion med verkligt värde , för att undvika det odefinierade uttrycket ∞ − ∞ : man antar att representationen

$f=\sum _{k}a_{k}1_{S_{k}}$

är sådan att μ( Sk _k ) < ∞ närhelst a _k ≠ 0 . Då är formeln ovan för integralen av f meningsfull, och resultatet beror inte på den speciella representationen av f som uppfyller antagandena.

Om B är en mätbar delmängd av E och s är en mätbar enkel funktion man definierar

$\int _{B}s\,\mathrm {d} \mu =\int 1_{B}\,s\,\mathrm {d} \mu =\summa _{k}a_{k}\ ,\mu (S_{k}\cap B).$

Icke-negativa funktioner

Låt f vara en icke-negativ mätbar funktion på E , som vi låter uppnå värdet +∞ , med andra ord, f tar icke-negativa värden i den utökade reella tallinjen . Vi definierar

$\int _{E}f\,\mathrm {d} \mu =\sup \left\{\,\int _{E}s\,\mathrm {d} \mu :0\leq s\ leq f,\ s\ {\text{enkel}}\,\right\}.$

Vi måste visa att denna integral sammanfaller med den föregående, definierad på uppsättningen av enkla funktioner, när E är ett segment [ a , b ]. Det är också frågan om detta på något sätt motsvarar en Riemann-uppfattning om integration. Det är möjligt att bevisa att svaret på båda frågorna är ja.

Vi har definierat integralen av f för alla icke-negativa utökade verkliga mätbara funktioner på E . För vissa funktioner är denna integral ∫ _E f d μ oändlig.

Det är ofta användbart att ha en speciell sekvens av enkla funktioner som approximerar Lebesgue-integralen (analogt med en Riemann-summa). För en icke-negativ mätbar funktion f , låt $s_{n}(x)$ vara den enkla funktionen vars värde är $k/2^{n}$ när ${\displaystyle k/2^{n}\leq f(x)<(k+1)/2^{n}} , för k ett$ icke - negativt heltal mindre än (säg) $4^{n}$ . Då kan det bevisas direkt att

$\int f\,\mathrm {d} \mu =\lim _{n\to \infty }\int s_{n}\,\mathrm {d} \mu$

och att gränsen på höger sida existerar som ett utökat reellt tal. Detta överbryggar kopplingen mellan tillvägagångssättet till Lebesgue-integralen med enkla funktioner, och motivationen för Lebesgue-integralen med en partition av intervallet.

Signerade funktioner

För att hantera signerade funktioner behöver vi några fler definitioner. Om f är en mätbar funktion av mängden E till realerna (inklusive ±∞ ) , så kan vi skriva

$f=f^{+}-f^{-},$

var

$f^{+}(x)={\begin{cases}f(x)&{\text{if }}f( x)>0\\0&{\text{annat}}\end{cases}}$

$f^{-}(x)={\begin{cases}-f(x)&{\text{if }}f(x)<0\\0&{\text{annars}}\end{ fall}}$

Observera att både f ⁺ och f ⁻ är icke-negativa mätbara funktioner. Notera också att

$|f|=f^{+}+f^{-}.\quad$

Vi säger att Lebesgue-integralen av den mätbara funktionen f existerar , eller definieras om minst en av ${\textstyle \int f^{+}\,\mathrm {d} \mu }$ och ${\textstyle \int f^{-}\,\mathrm {d} \mu }$ är ändlig:

$\min \left(\int f^{+}\,\mathrm {d} \mu ,\int f^{-}\,\mathrm {d} \mu \right)<\infty .$

I det här fallet definierar vi

$\int f\,\mathrm {d} \mu =\int f^{+}\,\mathrm {d} \mu -\int f^{-}\,\mathrm {d} \mu .$

Om

$\int |f|\,\mathrm {d} \mu <\infty ,$

vi säger att f är Lebesgue-integrerbar .

Det visar sig att denna definition ger integralens önskvärda egenskaper.

Via felaktig Riemann-integral

Om vi ​​antar att $f$ är mätbar och icke-negativ, är funktionen

$f^{*}(t)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \mu \left(\{x\in E\mid f(x)>t\}\right ).$

är monotont icke-ökande. Lebesgue-integralen kan sedan definieras som den felaktiga Riemann-integralen av $f^{*}$ :

$\int _{E}f\,\mathrm {d} \mu \ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \int _{0}^{\infty }f^{* }(t)\,\mathrm {d} t.$

Denna integral är felaktig vid $\infty$ och (möjligen) även vid noll. Den finns, med den ersättningen att den kan vara oändlig.

Som ovan definieras integralen av en Lebesgue-integrerbar (inte nödvändigtvis icke-negativ) funktion genom att subtrahera integralen av dess positiva och negativa delar.

Komplext värderade funktioner

Komplext värderade funktioner kan integreras på liknande sätt genom att betrakta den reella delen och den imaginära delen separat.

Om h = f + ig för realvärderade integrerbara funktioner f , g , så definieras integralen av h av

$\int h\,\mathrm {d} \mu =\int f\,\mathrm {d} \mu +i\int g\,\mathrm {d} \mu .$

Funktionen är Lebesgue-integrerbar om och endast om dess absoluta värde är Lebesgue-integrerbar (se Absolut integrerbar funktion ) .

Exempel

Betrakta indikatorfunktionen för de rationella talen, 1 _Q , även känd som Dirichlet-funktionen. Denna funktion är ingenstans kontinuerlig .

• $1_{\mathbf {Q} }$ är inte Riemann-integrerbar på [0, 1] : Oavsett hur mängden [0, 1] är uppdelad i delintervall, innehåller varje partition minst en rationell och vid minst ett irrationellt tal, eftersom rationaler och irrationaler båda är täta i realerna. Således är de övre Darboux-summorna alla ett, och de lägre Darboux-summorna är alla noll.
• $1_{\mathbf {Q} }$ är Lebesgue-integrerbar på [0, 1] med hjälp av Lebesgue-måttet : Det är faktiskt rationalernas indikatorfunktion så per definition
  $$\int _{[0,1]}1_{\mathbf {Q} }\,\mathrm {d} \ mu =\mu (\mathbf {Q} \cap [0,1])=0,$$
  eftersom Q är räknebart .

Integrationsdomän

En teknisk fråga i Lebesgue-integration är att integrationsdomänen definieras som en uppsättning (en delmängd av ett måttutrymme), utan någon uppfattning om orientering. I elementär kalkyl definierar man integration med avseende på en orientering :

$\int _{b}^{a}f:=-\int _{a}^{b}f.$

Att generalisera detta till högre dimensioner ger integrering av differentialformer . Däremot tillhandahåller Lebesgue-integration en alternativ generalisering, som integrerar över delmängder med avseende på ett mått; detta kan noteras som

$\int _{A}f\,\mathrm {d} \mu =\int _{[a,b]}f\,\mathrm {d} \mu$

för att indikera integration över en delmängd A . För detaljer om sambandet mellan dessa generaliseringar, se Differentialform § Förhållande till åtgärder .

Riemann-integralens begränsningar

Med tillkomsten av Fourier-serien uppstod många analytiska problem som involverade integraler vars tillfredsställande lösning krävde utbyte av gränsprocesser och integraltecken. Men de förhållanden under vilka integralerna

$\sum _{k}\int f_{k}(x)\,\mathrm {d} x, \quad \int \left[\summa _{k}f_{k}(x)\right]\mathrm {d} x$

är lika visade sig vara ganska svårfångade i Riemanns ramverk. Det finns några andra tekniska svårigheter med Riemann-integralen. Dessa är kopplade till svårigheten att ta gränser som diskuterats ovan.

Misslyckande med monoton konvergens . Som visas ovan indikatorfunktionen 1 _Q på rationalerna inte Riemann-integrerbar. I synnerhet misslyckas Monotone konvergenssatsen . För att se varför, låt { a _k } vara en uppräkning av alla de rationella talen i [0, 1] (de är räknebara så att detta kan göras.) Låt sedan

$g_{k}(x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x=a_{j}, j\leq k\\0&{\text{annars}}\end{cases}}$

Funktionen g _k är noll överallt, utom på en ändlig uppsättning punkter. Därför är dess Riemann-integral noll. Varje g _k är icke-negativ, och denna sekvens av funktioner ökar monotont, men dess gräns som k → ∞ är 1 _Q , vilket inte är Riemann-integrerbart.

Olämplighet för obegränsade intervaller . Riemann-integralen kan bara integrera funktioner på ett begränsat intervall. Det kan dock utökas till obegränsade intervall genom att ta gränser, så länge detta inte ger ett svar som ∞ − ∞ .

Integrering på andra strukturer än det euklidiska rummet . Riemann-integralen är oupplösligt kopplad till den verkliga linjens ordningsstruktur.

Grundläggande satser för Lebesgue-integralen

Två funktioner sägs vara lika nästan överallt ( $f\ {\stackrel {\text{ae}}{=}}\ g$ för kort) om $\{x\mid f(x)\neq g(x)\}$ är en delmängd av en nollmängd .

Mätbarhet för mängden $\{x\mid f(x)\neq g(x)\}$ krävs inte .

• Om f , g är icke-negativa mätbara funktioner (möjligen antar värdet +∞ ) så att f = g nästan överallt, då
  $$\int f\,d\mu =\int g\,d\mu .$$
  Integralen respekterar nämligen ekvivalensförhållandet för jämlikhet nästan överallt.
• Om f , g är funktioner så att f = g nästan överallt, så är f Lebesgue-integrerbar om och endast om g är Lebesgue-integrerbar, och integralerna av f och g är desamma om de finns.
• Linjäritet : Om f och g är Lebesgue-integrerbara funktioner och a och b är reella tal, så är af + bg Lebesgue-integrerbara och
  $$\int (af+bg)\,d\mu =a\int f\,d\mu +b\int g\,d\mu .$$
• Monotonicitet : Om f ≤ g , då
  $$\int f\,d\mu \leq \int g\,d\mu .$$
• Låt $(\Omega ,\Sigma ,\mu )$ vara ett måttutrymme. Beteckna $geq 0}}} σ {\$$\sigma }$ displaystyle -algebra för Borel sätts på $[0,+\infty ]$ . (Per definition, $\operatörsnamn {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}}$ innehåller mängden $\{+\infty \}$ och alla Borel-delmängder av $\mathbb {R} _{\geq 0}$ .) Betrakta a ${\displaystyle (\Sigma ,\operatörsnamn {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})} -mätbar icke-negativ$ funktion ${\ displaystyle s:\Omega \to [0,+\infty ]}$ . För ett set $S\in \Sigma$ , definiera
  $$\nu (S)=\int _{S}s\,d\mu .$$
  Då är $\nu$ ett Lebesguemått på $(\Omega ,\Sigma )$ .
• Monotona konvergenssats : Antag att { f _k } _{k ∈ N} är en sekvens av icke-negativa mätbara funktioner så att
  $$f_{k}(x)\leq f_{k+1}(x)\quad \forall k\in \mathbb {N} ,\,\forall x\in E.$$
  Då är den punktvisa gränsen f för f _k Lebesgue mätbar och
  $$\lim _{k}\int f_{k}\,d\mu =\int f\,d\mu .$$
  Värdet av någon av integralerna tillåts vara oändligt.
• Fatous lemma : Om { f _k } _{k ∈ N} är en sekvens av icke-negativa mätbara funktioner, då
  $$\int \liminf _{k}f_{k}\,d\mu \leq \liminf _{k}\int f_{k}\,d\mu .$$
  Återigen kan värdet på vilken som helst av integralerna vara oändligt.
• Dominerad konvergenssats : Antag att { f _k } _{k ∈ N} är en sekvens av komplexa mätbara funktioner med punktvis gräns f , och det finns en Lebesgue-integrerbar funktion g (dvs. g tillhör utrymmet L ¹ ) så att | f _k | ≤ g för alla k . Då är f Lebesgue-integrerbar och
  $$\lim _{k}\int f_{k}\,d\mu =\int f\,d\mu .$$

Alternativa formuleringar

Det är möjligt att utveckla integralen med avseende på Lebesgue-måttet utan att förlita sig på hela mätmaskineriet. Ett sådant tillvägagångssätt tillhandahålls av Daniell-integralen .

Det finns också ett alternativt tillvägagångssätt för att utveckla teorin om integration via metoder för funktionsanalys . Riemann-integralen finns för varje kontinuerlig funktion f av kompakt stöd definierad på Rn ⁽ eller en fast öppen delmängd). Integraler av mer allmänna funktioner kan byggas utgående från dessa integraler.

Låt C _c vara utrymmet för alla verkligt värdefulla kompaktstödda kontinuerliga funktioner av R . Definiera en norm på C _c by

$$\left\|f\right\|=\int |f(x)|\,\mathrm {d} x.$$

Då är C _c ett normerat vektorrum (och i synnerhet är det ett metriskt rum.) Alla metriska rum har Hausdorff-kompletteringar , så låt L ¹ vara dess komplettering. Detta utrymme är isomorft till utrymmet för Lebesgue integrerbara funktioner modulo underrummet av funktioner med integral noll. Dessutom är Riemann-integralen ∫ en enhetligt kontinuerlig funktion med avseende på normen på C _c , som är tät i L ¹ . Därför ∫ en unik förlängning till alla L ¹ . Denna integral är just Lebesgue-integralen.

Mer generellt, när måttutrymmet på vilket funktionerna definieras också är ett lokalt kompakt topologiskt utrymme (som är fallet med de reella talen R ), mäter kompatibla med topologin i lämplig mening ( Radonmått , varav Lebesguemåttet är ett exempel) kan en integral med avseende på dem definieras på samma sätt, utgående från integralerna av kontinuerliga funktioner med kompakt stöd . Närmare bestämt bildar de kompakt stödda funktionerna ett vektorrum som bär en naturlig topologi , och ett (Radon) mått definieras som en kontinuerlig linjär funktion på detta utrymme. Värdet av ett mått vid en kompakt stödd funktion är då också per definition funktionens integral. Man fortsätter sedan med att utöka måttet (integralen) till mer allmänna funktioner genom kontinuitet, och definierar måttet för en mängd som integralen av dess indikatorfunktion. Detta är det synsätt som Bourbaki (2004) och ett visst antal andra författare har använt. För detaljer se Radonåtgärder .

Begränsningar för Lebesgue-integralen

Huvudsyftet med Lebesgue-integralen är att tillhandahålla en integraluppfattning där gränserna för integraler håller under milda antaganden. Det finns ingen garanti för att varje funktion är Lebesgue-integrerbar. Men det kan hända att felaktiga integraler finns för funktioner som inte är Lebesgue-integrerbara. Ett exempel skulle vara sinc-funktionen :

$${\frac {\sin(x)}{x}}$$

över hela den verkliga linjen. Denna funktion är inte Lebesgue-integrerbar, som

$$\int _{-\infty }^{\infty }\left|{\frac {\sin(x)}{x}}\right|\mathrm {d} x=\infty .$$

Å andra sidan, ${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,\ mathrm {d} x}$ existerar som en felaktig integral och kan beräknas vara finit; det är två gånger Dirichlet-integralen och lika med $\pi$ .

Se även

• Henri Lebesgue , för en icke-teknisk beskrivning av Lebesgue-integration
• Nolluppsättning
• Integration
• Mäta
• Sigma-algebra
• Lebesgue utrymme
• Lebesgue–Stieltjes integration
• Riemann integral
• Henstock–Kurzweil integral

Anteckningar

•    Bartle, Robert G. (1995). Delarna av integration och Lebesgue mått . Wiley Classics Library. New York: John Wiley & Sons Inc. xii+179. ISBN 0-471-04222-6 . MR 1312157 .
•   Bauer, Heinz (2001). Mått- och integrationsteori . De Gruyter Studies in Mathematics 26. Berlin: De Gruyter. 236. ISBN 978-3-11-016719-1 .
•    Bourbaki, Nicolas (2004). Integration. I. Kapitel 1–6. Översatt från 1959, 1965 och 1967 franska original av Sterling K. Berberian . Elements of Mathematics (Berlin). Berlin: Springer-Verlag. xvi+472. ISBN 3-540-41129-1 . MR 2018901 .
•    Dudley, Richard M. (1989). Verklig analys och sannolikhet . Wadsworth & Brooks/Cole Mathematics Series. Pacific Grove, CA: Wadsworth & Brooks/Cole Advanced Books & Software. xii+436. ISBN 0-534-10050-3 . MR 0982264 . Mycket noggrann behandling, särskilt för sannolikhetsforskare med bra anteckningar och historiska referenser.
•    Folland, Gerald B. (1999). Verklig analys: Moderna tekniker och deras tillämpningar . Pure and Applied Mathematics (New York) (andra upplagan). New York: John Wiley & Sons Inc. xvi+386. ISBN 0-471-31716-0 . MR 1681462 .
•   Halmos, Paul R. (1950). Måttteori . New York, NY: D. Van Nostrand Company, Inc. s. xi+304. MR 0033869 . En klassisk, om än något daterad presentation.
• "Lebesgue integral" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Lebesgue, Henri (1904). "Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives". Paris: Gauthier-Villars. {{ citera journal }} : Citera journal kräver |journal= ( hjälp )
•   Lebesgue, Henri (1972). Oeuvres scientifiques (en cinq volymer) (på franska). Genève: Institut de Mathématiques de l'Université de Genève. sid. 405. MR 0389523 .
•   Lieb, Elliott ; Förlust, Michael (2001). Analys . Forskarstudier i matematik . Vol. 14 (andra upplagan). American Mathematical Society . ISBN 978-0821827833 .
•   Loomis, Lynn H. (1953). En introduktion till abstrakt harmonisk analys . Toronto-New York-London: D. Van Nostrand Company, Inc. s. x+190. MR 0054173 . Innehåller en presentation av Daniell-integralen.
• Marsden (1974), Elementär klassisk analys , WH Freeman .
•   Munroe, ME (1953). Introduktion till mätning och integration . Cambridge, Mass.: Addison-Wesley Publishing Company Inc. s. x+310. MR 0053186 . Bra behandling av teorin om yttre mått.
•    Royden, HL (1988). Verklig analys (tredje upplagan). New York: Macmillan Publishing Company. s. xx+444. ISBN 0-02-404151-3 . MR 1013117 .
•   Rudin, Walter (1976). Principer för matematisk analys . International Series in Pure and Applied Mathematics (tredje upplagan). New York: McGraw-Hill Book Co. s. x+342. MR 0385023 . Känd som Little Rudin , innehåller grunderna i Lebesgue-teorin, men behandlar inte material som Fubinis teorem .
•   Rudin, Walter (1966). Verklig och komplex analys . New York: McGraw-Hill Book Co. s. xi+412. MR 0210528 . Känd som Big Rudin . En fullständig och noggrann presentation av teorin. Bra presentation av Riesz förlängningssatser. Det finns dock en mindre brist (i första upplagan) i bevisningen av en av förlängningssatserna, vars upptäckt utgör övning 21 i kapitel 2.
•    Saks, Stanisław (1937). Integralens teori . Monografi Matematyczne . Vol. 7 (andra upplagan). Warszawa - Lwów : GE Stechert & Co . JFM 63.0183.05 . Zbl 0017.30004 . {{ citera bok }} : Extern länk i |series= ( hjälp ) . Engelsk översättning av Laurence Chisholm Young , med ytterligare två noter av Stefan Banach .
•    Shilov, GE; Gurevich, BL (1977). Integral, mått och derivata: ett enhetligt tillvägagångssätt. Översatt från ryska och redigerad av Richard A. Silverman . Dover-böcker om avancerad matematik. New York: Dover Publications Inc. xiv+233. ISBN 0-486-63519-8 . MR 0466463 . Understryker Daniell-integralen .
• Siegmund-Schultze, Reinhard (2008), "Henri Lebesgue", i Timothy Gowers; juni Barrow-Grön; Imre Leader (red.), Princeton Companion to Mathematics , Princeton University Press .
• Teschl, Gerald . Ämnen i verklig och funktionell analys . (föreläsningsanteckningar).
•   Ja, James (2006). Real Analysis: Theory of Measure and Integral 2:a. Upplaga Pocketbok . Singapore: World Scientific Publishing Company Pte. Ltd. sid. 760. ISBN 978-981-256-6 .