Lyftteori

Inom matematik introducerades lyftteori först av John von Neumann i ett banbrytande dokument från 1931, där han svarade på en fråga som ställdes av Alfréd Haar . Teorin vidareutvecklades av Dorothy Maharam (1958) och av Alexandra Ionescu Tulcea och Cassius Ionescu Tulcea (1961). Lyftteorin motiverades till stor del av dess slående tillämpningar. Dess utveckling fram till 1969 beskrevs i en monografi av Ionescu Tulceas. Lyftteorin fortsatte att utvecklas sedan dess, vilket gav nya resultat och tillämpningar.

Definitioner

Ett lyft på ett måttutrymme $(X,\Sigma ,\mu )$ är en linjär och multiplikativ operator

$$T:L^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )\to {\mathcal {L}} ^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )$$

vilket är en höger invers av kvotkartan

$${\begin{cases}{\mathcal {L}}^{\infty }(X,\ Sigma ,\mu )\to L^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )\\f\mapsto [f]\end{cases}}$$

där ${\mathcal {L}}^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )$ är det seminorerade L ^p -utrymmet för mätbara funktioner och $L^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )$ är dess vanliga normerade kvot. Med andra ord, ett lyft väljer från varje ekvivalensklass $[f]$ av avgränsade mätbara funktioner modulo negligerbara funktioner en representant— som hädanefter skrivs $T([f])$ eller $T[f]$ eller helt enkelt $Tf$ — på ett sådant sätt att $T[1]=1$ och för alla $p\in X$ och alla $r,s\in \mathbb {R} ,$

$$T(r[f]+s[g])( p)=rT[f](p)+sT[g](p),$$

$$T([f]\ gånger [g])(p)=T[f](p)\ gånger T[g](p).$$

Lyftningar används för att producera sönderdelningar av mått , till exempel betingade sannolikhetsfördelningar givna kontinuerliga slumpvariabler, och fibreringar av Lebesgue-mått på nivåuppsättningarna av en funktion.

Förekomst av lyft

Sats. Antag att $(X,\Sigma ,\mu )$ är komplett. Sedan ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )} ett lyft om och endast om det finns en samling av ömsesidigt disjunkta integrerbara uppsättningar i$ medger $\Sigma$ vars förening är $X.$ I synnerhet om $(X,\Sigma ,\mu )$ är kompletteringen av ett σ -ändligt mått eller av ett inre regelbundet Borelmått på ett lokalt kompakt utrymme , sedan $(X, \Sigma ,\mu )$ erkänner ett lyft.

Beviset består i att utöka ett lyft till allt större sub- σ -algebror, genom att tillämpa Doobs martingalkonvergenssats om man stöter på en räknebar kedja i processen.

Kraftiga lyft

Antag att $(X,\Sigma ,\mu )$ är komplett och $X$ är utrustad med en helt vanlig Hausdorff-topologi $\tau \subseteq \Sigma$ så att föreningen av en samling försumbara öppna mängder återigen är försumbar – detta är fallet om ( $\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ är σ -ändlig eller kommer från ett radonmått . Sedan kan stödet för $\mu ,$$\operatorname {Supp} (\mu ),$ definieras som komplementet till den största försumbara öppna delmängden och samlingen $C_{b}(X,\tau )$ av avgränsade kontinuerliga funktioner tillhör ${\mathcal {L}}^{\infty }(X,\Sigma ,\mu ).$

Ett starkt lyft för $(X,\Sigma ,\mu )$ är ett lyft

$$T:L^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )\to {\mathcal {L}} ^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )$$

så att $T\varphi =\varphi$ på $\operatorname {Supp} (\mu )$ för alla $\varphi$ i $C_{b}(X,\tau ).$ Detta är samma sak som att kräva att $TU\geq (U\cap \operatorname {Supp} (\mu ))$ för alla öppna uppsättningar $U$ i $\tau .$

Sats. Om $(\Sigma ,\mu )$ är σ -ändlig och komplett och $\tau$ har en räknebar grund då $(X,\ Sigma ,\mu )$ medger ett starkt lyft.

Bevis. Låt $T_{0}$ vara ett lyft för $(X,\Sigma ,\mu )$ och $U_{1}, U_{2},\ldots$ en räknebar grund för $\tau .$ För vilken punkt som helst $p$ i den försumbara mängden

$$N:=\bigcup \nolimits _{n}\left\{p\in \operatörsnamn {Supp} (\mu ):(T_{0}U_{n})(p)<U_{n}(p)\right\}$$

låt $T_{p}$ vara vilket tecken som helst på $L^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )$ som utökar tecknet $\phi \mapsto \phi (p)$ av $C_{b}(X,\tau ).$ Sedan för $p$ i $X$ och $[f]$ i $L^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )$ definierar:

$$(T[f])(p):={\begin{cases}(T_{0}[f])(p)&p\notin N\\T_{p}[f]&p\in N. \end{cases}}$$

$T$ är det önskade starka lyftet.

Tillämpning: sönderfall av en åtgärd

Antag att $(X,\Sigma ,\mu )$ och $(Y,\Phi ,\nu )$ är σ -finita måttutrymmen ( $\mu ,\mu$ positiv) och $\pi :X\to Y$ är en mätbar karta. En sönderdelning av $\mu$ längs $\pi$ med avseende på $\nu$ är ett stort antal $Y\ni y\mapsto \lambda _{y}$ av positiva σ -additiva mått på $(\Sigma ,\mu )$ så att

1. $\lambda _{y}$ bärs av fibern $\pi ^{-1}(\{y\})$ av $\pi$ över $y:$
   $$\{y\}\i \Phi \;\;\mathrm {and} \ ;\;\lambda _{y}\left((X\setminus \pi ^{-1}(\{y\})\right)=0\qquad \forall y\in Y$$
2. för varje $\mu$ -integrerbar funktion $f,$
   $$\int _{ X}f(p)\;\mu (dp)=\int _{Y}\left(\int _{\pi ^{-1}(\{y\})}f(p)\,\lambda _{y}(dp)\right)\nu (dy)\qquad (*)$$
   i den meningen att för $\nu$ -nästan alla $y$ i $Y,$$f$ är $\lambda _{y}$ -integrerbar, funktionen
   $$y\mapsto \int _{\pi ^{-1}(\{y\})}f(p) \,\lambda _{y}(dp)$$
   är $\nu$ -integrerbar, och den visade likheten $(*)$ gäller.

Desintegrationer finns under olika omständigheter, bevisen varierar men nästan alla med starka lyft. Här är ett ganska allmänt resultat. Dess korta bevis ger den allmänna smaken.

Sats. Antag att $X$ är ett polskt utrymme och $Y$ ett separerbart Hausdorff-utrymme, båda utrustade med sina Borel σ -algebror. Låt $\mu$ vara ett σ -ändligt borelmått på $X$ och $\pi :X\to Y$ a $\Sigma , \Phi -$ mätbar karta. Sedan finns det ett σ-ändligt borelmått $\nu$ på $Y$ och en sönderdelning (*). Om $\mu$ är ändlig, kan $\nu$ tas som pushforwarden $\pi _{*}\mu ,$ och sedan $\lambda _{y}$ är sannolikheter.

Bevis. På grund av den polska naturen hos $X$ finns det en sekvens av kompakta delmängder av $X$ som är ömsesidigt disjunkta, vars förening har försumbart komplement, och på vilka $\pi$ är kontinuerlig. Denna observation reducerar problemet till fallet att både $X$ och $Y$ är kompakta och $\pi$ är kontinuerlig, och $\nu =\pi _{*}\mu .$ Fyll i $\Phi$ under $\nu$ och fixa ett starkt lyftande $T$ för $(Y,\Phi ,\nu ).$ Givet en avgränsad $\mu$ -mätbar funktion $f,$ låt $\lfloor f\rfloor$ beteckna dess villkorliga förväntan under $\pi ,$ det vill säga Radon-Nikodym-derivatan av $\pi _{*}(f\mu )$ med avseende på $\pi _{*}\mu .$ Ställ sedan in, för varje $y$ i $Y,$$\lambda _{y}(f):=T(\lfloor f\rfloor )(y).$ Att visa att detta definierar en disintegration är en fråga om bokföring och en lämplig Fubini-sats. För att se hur styrkan i lyftet kommer in, notera det

$$\lambda _{y}(f\cdot \varphi \circ \pi )=\varphi (y)\lambda _{y}(f)\qquad \forall y\in Y,\varphi \in C_{ b}(Y),f\in L^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )$$

och ta infimum över alla positiva $\varphi$ i $C_{b}(Y)$ med $\varphi (y)=1;$ det blir uppenbart att stödet för $\lambda _{y}$ ligger i fibern över $y.$