Oändligt dimensionell holomorfi

Inom matematik är oändlig-dimensionell holomorfi en gren av funktionell analys . Det handlar om generaliseringar av begreppet holomorf funktion till funktioner som definieras och tar värden i komplexa Banach-rum (eller Fréchet-rum mer allmänt), typiskt av oändlig dimension. Det är en aspekt av icke-linjär funktionsanalys .

Vektorvärdade holomorfa funktioner definierade i det komplexa planet

Ett första steg i att utvidga teorin om holomorfa funktioner bortom en komplex dimension är att överväga så kallade vektorvärderade holomorfa funktioner , som fortfarande är definierade i det komplexa planet C , men tar värden i ett Banach-rum. Sådana funktioner är viktiga, till exempel för att konstruera den holomorfa funktionella kalkylen för avgränsade linjära operatorer .

Definition. En funktion f : U → X , där U ⊂ C är en öppen delmängd och X är ett komplext Banachrum kallas holomorft om det är komplext differentierbart; det vill säga, för varje punkt z ∈ U finns följande gräns :

$f'(z)=\lim _{\zeta \to z}{\frac {f(\zeta )-f(z)}{\zeta -z}}.$

Man kan definiera linjeintegralen för en vektorvärderad holomorf funktion f : U → X längs en likriktbar kurva γ : [ a , b ] → U på samma sätt som för komplext värderade holomorfa funktioner, som gränsen för summor av form

$\sum _{1\leq k\leq n}f(\gamma (t_ {k}))(\gamma (t_{k})-\gamma (t_{k-1}))$

₀ där a = t < t ₁ < ... < t _n = b är en underindelning av intervallet [ a , b ], eftersom längden på indelningsintervallen närmar sig noll.

Det är en snabb kontroll att Cauchy-integralsatsen även gäller för vektorvärderade holomorfa funktioner. Faktum är att om f : U → X är en sådan funktion och T : X → C en gränsad linjär funktionell, kan man visa att

$T\left(\int _{\gamma }f(z)\,dz\right)=\int _{\gamma }(T\circ f)(z)\,dz.$

Dessutom är sammansättningen T o f : U → C en komplext värderad holomorf funktion. Därför, för γ en enkel sluten kurva vars inre ingår i U , är integralen till höger noll, enligt den klassiska Cauchy-integralsatsen. Sedan, eftersom T är godtyckligt, följer det av Hahn–Banachs sats att

$\int _{\gamma }f(z)\,dz=0$

vilket bevisar Cauchy-integralsatsen i det vektorvärderade fallet.

Med hjälp av detta kraftfulla verktyg kan man sedan bevisa Cauchys integralformel , och precis som i det klassiska fallet, att vilken vektorvärderad holomorf funktion som helst är analytisk .

Ett användbart kriterium för att en funktion f : U → X ska vara holomorf är att T o f : U → C är en holomorf komplext värderad funktion för varje kontinuerlig linjär funktionell T : X → C . Ett sådant f är svagt holomorft. Det kan visas att en funktion definierad på en öppen delmängd av det komplexa planet med värden i ett Fréchet-utrymme är holomorf om, och endast om, den är svagt holomorf.

Holomorfa funktioner mellan Banach-utrymmen

Mer generellt, givet två komplexa Banach-mellanrum X och Y och en öppen mängd U ⊂ X , kallas f : U → Y holomorf om Fréchet-derivatan av f finns vid varje punkt i U . Man kan visa att det i detta mer generella sammanhang fortfarande är sant att en holomorf funktion är analytisk, det vill säga att den lokalt kan expanderas i en potensserie. Det är dock inte längre sant att om en funktion är definierad och holomorf i en boll, är dess potensserie runt kulans mitt konvergent i hela bollen; till exempel finns det holomorfa funktioner definierade på hela rummet som har en ändlig konvergensradie.

Holomorfa funktioner mellan topologiska vektorrum

I allmänhet, givet två komplexa topologiska vektorrum X och Y och en öppen mängd U ⊂ X , finns det olika sätt att definiera holomorfi för en funktion f : U → Y . Till skillnad från den finita dimensionella inställningen, när X och Y är oändligt dimensionella, kan egenskaperna hos holomorfa funktioner bero på vilken definition som väljs. För att begränsa antalet möjligheter som vi måste överväga, ska vi bara diskutera holomorfi i fallet när X och Y är lokalt konvexa .

Det här avsnittet presenterar en lista med definitioner, som går från det svagaste begreppet till det starkaste begreppet. Den avslutas med en diskussion av några satser som relaterar till dessa definitioner när utrymmena X och Y uppfyller några ytterligare begränsningar.

Gateaux holomorfi

Gateaux holomorfi är den direkta generaliseringen av svag holomorfi till den helt oändliga dimensionella miljön.

Låt X och Y vara lokalt konvexa topologiska vektorrum, och U ⊂ X en öppen mängd. En funktion f : U → Y sägs vara Gâteaux holomorf om, för varje a ∈ U och b ∈ X , och varje kontinuerlig linjär funktionell φ : Y → C , funktionen

$f_{\varphi }(z)=\varphi \circ f(a+zb)$

är en holomorf funktion av z i ett område av ursprunget. Samlingen av Gâteaux holomorfa funktioner betecknas med H _G ( U , Y ).

I analysen av Gateaux holomorfa funktioner gäller alla egenskaper hos finitdimensionella holomorfa funktioner på finitdimensionella delrum av X . Men som vanligt i funktionsanalys kan det hända att dessa egenskaper inte går ihop enhetligt för att ge några motsvarande egenskaper för dessa funktioner på helt öppna uppsättningar.

Exempel

• Om f ∈ U , så har f Gateaux-derivator av alla ordningar , eftersom för x ∈ U och h ₁ , ..., h _k ∈ X , den k -:te ordningens Gateaux-derivata Dk ^f ( x ){ h ₁ , . .., h _k } involverar endast itererade riktningsderivator i spännvidden av h _i , som är ett ändligt dimensionellt utrymme. I detta fall är de itererade Gateaux-derivatorna multilinjära i h i _, men kommer i allmänhet inte att vara kontinuerliga när de betraktas över hela rymden X .
• Dessutom innehåller en version av Taylors teorem:

$f(x+y)=\summa _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}{\widehat {D} }^{n}f(x)(y)$

Här är ${\widehat {D}}^{n}f(x)(y)$ den homogena polynom av grad n i y associerat med den multilinjära operatorn D ⁿ f ( x ). Konvergensen av denna serie är inte enhetlig. Närmare bestämt, om V ⊂ X är ett fixt ändligt dimensionellt delrum, så konvergerar serien likformigt på tillräckligt små kompakta områden på 0 ∈ Y . Om delrummet V tillåts variera, misslyckas emellertid konvergensen: den kommer i allmänhet inte att vara enhetlig med avseende på denna variation. Observera att detta står i skarp kontrast till det finita dimensionella fallet.

• Hartogs sats gäller för Gateaux holomorfa funktioner i följande betydelse:

Om f : ( U ⊂ X ₁ ) × ( V ⊂ X ₂ ) → Y är en funktion som är separat Gateaux holomorphic i vart och ett av dess argument, då är f Gateaux holomorphic på produktutrymmet.

Hypoanalyticitet

En funktion f : ( U ⊂ X ) → Y är hypoanalytisk om f ∈ H _G ( U , Y ) och dessutom är f kontinuerlig på relativt kompakta delmängder av U .

Holomorfi

En funktion f ∈ H _G (U, Y ) är holomorf om, för varje x ∈ U , Taylor-seriens expansion

$f(x+y)=\summa _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}{\widehat {D} }^{n}f(x)(y)$

(som redan garanterat existerar av Gateaux holomorphy) konvergerar och är kontinuerlig för y i en omgivning av 0 ∈ X . Således kombinerar holomorfi begreppet svag holomorfi med konvergensen av kraftseriens expansion. Samlingen av holomorfa funktioner betecknas med H( U , Y ).

Lokalt bunden holomorfi

En funktion f : ( U ⊂ X ) → Y sägs vara lokalt avgränsad om varje punkt i U har en grannskap vars bild under f är avgränsad till Y . Om f dessutom är Gateaux holomorphic på U , då är f lokalt begränsad holomorphic . I det här fallet skriver vi f ∈ H _LB ( U , Y ).

•   Richard V. Kadison , John R. Ringrose, Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, Vol. 1: Elementär teori. American Mathematical Society, 1997. ISBN 0-8218-0819-2 . (Se avsnitt 3.3.)
•   Soo Bong Chae, Holomorphy and Calculus in Normed Spaces , Marcel Dekker, 1985. ISBN 0-8247-7231-8 .
• ^ Lawrence A. Harris, Fixed Point Theorems för oändliga dimensionella holomorfa funktioner ( odaterat).