Bilinjär form

Inom matematiken är en bilinjär form en bilinjär karta $V \times V \to K$ på ett vektorrum $V$ (vars element kallas vektorer ) över ett fält K (vars element kallas skalärer ). Med andra ord är en bilinjär form en funktion $B : V \times V \to K$ som är linjär i varje argument separat:

$B (u + v, w) = B (u, w) + B (v, w)$ och $B (λ u, v) = λB (u, v)$
$B (u, v + w) = B (u, v) + B (u, w)$ och $B (u, λ v) = λB (u, v)$

Prickprodukten på $^{n}}$ } är ett exempel på en bilinjär form.

Definitionen av en bilinjär form kan utökas till att omfatta moduler över en ring , med linjära kartor ersatta av modulhomomorfismer .

När $K$ är fältet för komplexa tal $C$ , är man ofta mer intresserad av sesquilinjära former , som liknar bilinjära former men är konjugerade linjära i ett argument.

Koordinera representation

Låt $V$ vara ett $n$ - dimensionellt vektorrum med basen ${e 1, \dots, e n}$ .

n $(\times n$ matrisen A , definierad av $A ij = B på e i, e j)$ kallas matrisen för den bilinjära formen basis av ${e 1, \dots, e n}$ .

Om $n \times 1$ matrisen $x$ representerar en vektor $x$ med avseende på denna bas, och på liknande sätt, $n \times 1$ matrisen $y$ representerar en annan vektor $y$ , då:

B(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\mathbf {x} ^{\textsf {T}}A\mathbf {y} =\summa _{i,j=1}^{ n}x_{i}A_{ij}y_{j}.

En bilinjär form har olika matriser på olika baser. Men matriserna för en bilinjär form på olika baser är alla kongruenta . Mer exakt, om ${f 1, \dots, f n}$ är en annan grund för $V$ , då

\mathbf {f} _{j}=\sum _{i=1}^{n}S_{i,j}\mathbf {e } _{i},

där

S_{i,j}

bildar en matris

S

. Då

är ST AS

matrisen för den bilinjära formen på den nya basen .

Kartor till det dubbla utrymmet

Varje bilinjär form $B$ på $V$ definierar ett par linjära kartor från $V$ till dess dubbla rymd $V *$ . Definiera $B 1, B 2 : V \to V *$ med

B 1 (v) (w) = B (v, w)

B 2 (v) (w) = B (w, v)

Detta betecknas ofta som

B 1 (v) = B (v, \cdot)

B 2 (v) = B (\cdot, v)

där punkten ( ⋅ ) indikerar luckan i vilken argumentet för den resulterande linjära funktionen ska placeras (se Currying ).

För ett ändligt dimensionellt vektorrum $V$ , om någon av $B 1$ eller $B 2$ är en isomorfism, så är båda det, och den bilinjära formen $B$ sägs vara icke degenererad . Mer konkret, för ett ändligt dimensionellt vektorrum, betyder icke-degenererad att varje element som inte är noll parar sig icke-trivialt med något annat element:

B(x,y)=0

för alla

y\in V

innebär att

x = 0

och

B( x,y)=0

för alla

x\in V

innebär att

y = 0

.

Motsvarande uppfattning för en modul över en kommutativ ring är att en bilinjär form är unimodulär om $V \to V *$ är en isomorfism. Givet en ändligt genererad modul över en kommutativ ring, kan parningen vara injektiv (därav "icke degenererad" i ovanstående mening) men inte unimodulär. Till exempel, över heltalen, är parningen $B (x, y) = 2 xy$ icke degenererad men inte unimodulär, eftersom den inducerade kartan från $V = Z$ till $V * = Z$ är multiplikation med 2.

Om $V$ är finitdimensionell kan man identifiera $V$ med dess dubbla dubbla $V **$ . Man kan då visa att $B 2$ är transponeringen av den linjära kartan $B 1$ (om $V$ är oändligt dimensionell så är $B 2$ transponeringen av $B 1$ begränsad till bilden av $V$ i $V **$ ). Givet $B$ kan man definiera transponeringen av $B$ till den bilinjära formen som ges av

^tB ( v , w ) = B ( w , v ) .

Den vänstra radikalen och den högra radikalen av formen $B$ är kärnorna av $B 1$ respektive $B 2$ ; de är vektorerna ortogonala mot hela utrymmet till vänster och till höger.

Om $V$ är ändlig dimensionell så är rangordningen för $B 1$ lika med rangordningen för $B 2$ . Om detta tal är lika med $dim(V)$ så är $B 1$ och $B 2$ linjära isomorfismer från $V$ till $V *$ . I detta fall är $B icke degenererad.$ Med rang-nullitetssatsen motsvarar detta villkoret att vänster- och motsvarande högerradikaler är triviala. För finita dimensionella utrymmen tas detta ofta som definitionen av icke-degeneration:

Definition: B är icke degenererad om

B (v, w) = 0

för alla w antyder

v = 0

.

Givet vilken linjär karta som helst $A : V \to V *$ kan man få en bilinjär form B på V via

B ( v , w ) = A ( v )( w ).

Denna form kommer att vara icke degenererad om och endast om $A$ är en isomorfism.

Om $V$ är ändlig-dimensionell så är, i förhållande till någon grund för $V$ , en bilinjär form degenererad om och endast om determinanten för den associerade matrisen är noll. Likaså är en icke degenererad form en form för vilken determinanten för den associerade matrisen är icke-noll (matrisen är icke-singular) . Dessa uttalanden är oberoende av den valda grunden. För en modul över en kommutativ ring är en unimodulär form en för vilken determinanten för den associerade matrisen är en enhet (till exempel 1), därav termen; Observera att en form vars matrisdeterminant är icke-noll men inte en enhet kommer att vara icke-degenererad men inte unimodulär, till exempel $B (x, y) = 2 xy$ över heltalen.

Symmetriska, skev-symmetriska och alternerande former

Vi definierar en bilinjär form att vara

symmetrisk om $B (v, w) = B (w, v)$ för alla $v$ , $w$ i $V$ ;
alternerande om $B (v, v) = 0$ för alla $v$ i $V$ ;
skevsymmetrisk eller antisymmetrisk om $B (v, w) = - B (w, v)$ för alla $v$ , $w$ i $V$ ;

Proposition

Varje alternerande form är skevsymmetrisk.

Bevis

Detta kan ses genom att expandera $B (v + w, v + w)$ .

Om kännetecknet för $K$ inte är 2 så är det omvända också sant: varje skevsymmetrisk form är alternerande. Om däremot $char(K) = 2$ så är en snedsymmetrisk form detsamma som en symmetrisk form och det finns symmetriska/skevsymmetriska former som inte är alternerande.

En bilinjär form är symmetrisk (respektive skev-symmetrisk) om och endast om dess koordinatmatris (relativt till någon bas) är symmetrisk (respektive skev-symmetrisk ). En bilinjär form är alternerande om och endast om dess koordinatmatris är skevsymmetrisk och de diagonala posterna alla är noll (vilket följer av skevningssymmetri när $char(K) \neq 2$ ).

En bilinjär form är symmetrisk om och endast om kartorna $B 1, B 2 : V \to V *$ är lika, och skevsymmetrisk om och endast om de är negativa till varandra. Om $char(K) \neq 2$ kan man sönderdela en bilinjär form i en symmetrisk och en skevsymmetrisk del enligt följande

B^{+}={\tfrac {1}{2}}(B+{}^{\text {t}}B)\qquad B^{-}={\tfrac {1}{2}}(B-{}^{\text{t}}B),

där

t B

är transponeringen av

B

(definierad ovan).

Härledd kvadratisk form

För varje bilinjär form $B : V \times V \to K$ , finns det en associerad kvadratisk form $Q : V \to K$ definierad av $Q : V \to K : v \mapsto B (v, v)$ .

När $char(K) \neq 2$ bestäms den kvadratiska formen Q av den symmetriska delen av den bilinjära formen B och är oberoende av den antisymmetriska delen. I det här fallet finns det en en-till-en-överensstämmelse mellan den symmetriska delen av den bilinjära formen och den kvadratiska formen, och det är vettigt att tala om den symmetriska bilinjära formen som är associerad med en kvadratisk form.

När $char(K) = 2$ och $dim V > 1$ bryts denna överensstämmelse mellan kvadratiska former och symmetriska bilinjära former.

Reflexivitet och ortogonalitet

Definition: En bilinjär form

B : V \times V \to K

kallas reflexiv om

B (v, w) = 0

innebär

B (w, v) = 0

för alla v , w i V .

Definition: Låt

B : V \times V \to K

vara en reflexiv bilinjär form. v , w i V är ortogonala med avseende på B om

B (v, w) = 0

.

En bilinjär form $B$ är reflexiv om och endast om den är antingen symmetrisk eller alternerande. I avsaknad av reflexivitet måste vi särskilja vänster och höger ortogonalitet. I ett reflexivt utrymme överensstämmer vänster- och högerradikalerna och kallas kärnan eller radikalen i den bilinjära formen: underrummet för alla vektorer ortogonalt med varannan vektor. En vektor $v$ , med matrisrepresentation $x$ , är i radikalen av en bilinjär form med matrisrepresentation $A$ $, Ax = 0 \Leftrightarrow x TA = 0$ om och endast om . Radikalen är alltid ett delrum av $V$ . Det är trivialt om och endast om matrisen $A$ är icke-singular, och alltså om och endast om den bilinjära formen är icke-degenererad.

Antag att $W$ är ett delrum. Definiera det ortogonala komplementet

W^{\perp }=\left\{\mathbf {v} \mid B(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=0{\text{ för alla }}\mathbf {w} \in W\right\}.

är kartan $V/W \to W ⊥$ bijektiv , och dimensionen av $W ⊥$ är $dim(V) - dim(W)$ .

Olika utrymmen

Mycket av teorin är tillgänglig för en bilinjär kartläggning från två vektorrum över samma basfält till det fältet

B : V \times W \to K.

_

Här har vi fortfarande inducerade linjära avbildningar från $V$ till $W *$ och från $W$ till $V *$ . Det kan hända att dessa avbildningar är isomorfismer; antar ändliga dimensioner, om den ena är en isomorfism, måste den andra vara det. När detta inträffar B vara en perfekt parning .

I ändliga dimensioner är detta ekvivalent med att parningen är icke degenererad (utrymmena måste nödvändigtvis ha samma dimensioner). För moduler (istället för vektorrum), precis som hur en icke degenererad form är svagare än en unimodulär form, är en icke degenererad parning en svagare föreställning än en perfekt parning. En parning kan vara icke degenererad utan att vara en perfekt parning, till exempel $Z \times Z \to Z$ via $(x, y) \mapsto 2 xy$ är icke degenererad, men inducerar multiplikation med 2 på kartan $Z \to Z *$ .

Terminologin varierar i täckning av bilinjära former. Till exempel diskuterar F. Reese Harvey "åtta typer av inre produkt". För att definiera dem använder han diagonala matriser A _ij som endast har +1 eller −1 för element som inte är noll. Några av de "inre produkterna" är symplektiska former och några är sesquilinjära former eller hermitiska former . Snarare än ett allmänt fält $K ,$ stavas instanserna med reella tal $R$ , komplexa tal $C$ och kvartjoner $H.$ Den bilinjära formen

\sum _{k=1}^{p}x_{k}y_{k}-\summa _{k =p+1}^{n}x_{k}y_{k}

kallas det reella symmetriska fallet och betecknas

R (p, q)

, där

p + q = n

. Sedan artikulerar han kopplingen till traditionell terminologi:

Några av de verkliga symmetriska fallen är mycket viktiga. Det positiva bestämda fallet R ( n , 0 ) kallas euklidiskt utrymme , medan fallet med en enda minus R ( n −1, 1) kallas Lorentziskt utrymme . Om n = 4 , så kallas Lorentzisk rymd också Minkowski-rymd eller Minkowski-rymdtid . Det speciella fallet R ( p , p ) kommer att hänvisas till som det delade fallet .

Relation till tensorprodukter

Genom tensorproduktens universella egenskap finns det en kanonisk överensstämmelse mellan bilinjära former på $V V V \to K$ $och$ linjära kartor ⊗ . Om $B$ är en bilinjär form på $V$ ges den motsvarande linjära kartan av

v \otimes w \mapsto B (v, w)

I den andra riktningen, om $F : V \otimes V \to K$ är en linjär karta, ges motsvarande bilinjär form genom att komponera F med den bilinjära kartan $V \times V \to V \otimes V$ som sänder $(v, w ) .$ till $v \otimes w$

Mängden av alla linjära kartor $V \otimes V \to K$ är det dubbla rummet av $V \otimes V$ , så bilinjära former kan ses som element av $(V \otimes V) *$ som (när $V$ är ändlig-dimensionell) är kanoniskt isomorft till $V * \otimes V *$ .

Likaså kan symmetriska bilinjära former ses som element av $Sym 2 (V *)$ (den andra symmetriska potensen av $V *$ ), och alternerande bilinjära former som element av $Λ 2 V *$ (den andra yttre potensen av $V *$ ).

På normerade vektorrum

Definition: En bilinjär form på ett normerat vektorrum $(V, ‖\cdot‖)$ är avgränsat , om det finns en konstant $C$ så att för alla $u, v \in V$ ,

B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )\leq C\left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|.

Definition: En bilinjär form på ett normerat vektorrum $(V, ‖\cdot‖)$ är elliptisk , eller tvång , om det finns en konstant $c > 0$ så att för alla $u \in V$ ,

B(\mathbf {u} ,\mathbf {u} )\geq c\left\|\mathbf {u} \right\|^{2}.

Generalisering till moduler

Givet en ring $R$ och en höger $R$ -modul $M$ och dess dubbla modul $M * ,$ kallas en avbildning $B : M * \times M \to R en$ bilinjär form om

B (u + v, x) = B (u, x) + B (v, x)

B (u, x + y) = B (u, x) + B (u, y)

B (αu, xβ) = αB (u, x) β

för alla $u, v \in M *$ , alla $x, y \in M$ och alla $α, β \in R$ .

Kartläggningen $⟨\cdot,\cdot⟩ : M * \times M \to R : (u, x) \mapsto u (x)$ är känd som den naturliga parningen , även kallad den kanoniska bilinjära formen på $M * \times M$ .

En linjär karta $S : M * \to M * : u \mapsto S (u)$ inducerar den bilinjära formen $B : M * \times M \to R : (u, x) \mapsto ⟨ S (u), x ⟩$ , och en linjär karta $T : M \to M : x \mapsto T (x)$ inducerar den bilinjära formen $B : M * \times M \to R : (u, x) \mapsto ⟨ u, T (x) ⟩$ .

Omvänt, en bilinjär form $B : M * \times M \to R$ inducerar de R -linjära kartorna $S : M * \to M * : u \mapsto (x \mapsto B (u, x))$ och $T' : M \to M ** : x \mapsto (u \mapsto B (u, x))$ . Här betecknar $M **$ dubbeldualen av $M$ .

Se även

Citat

Adkins, William A.; Weintraub, Steven H. (1992), Algebra: An Approach via Module Theory , Graduate Texts in Mathematics , vol. 136, Springer-Verlag , ISBN 3-540-97839-9 , Zbl 0768.00003
Bourbaki, N. (1970), Algebra , Springer
Cooperstein, Bruce (2010), "Ch 8: Bilinear Forms and Maps", Advanced Linear Algebra , CRC Press , s. 249–88, ISBN 978-1-4398-2966-0
Grove, Larry C. (1997), Grupper och karaktärer , Wiley-Interscience, ISBN 978-0-471-16340-4
Halmos, Paul R. (1974), Finite-dimensional vector spaces , Undergraduate Texts in Mathematics , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90093-3 , Zbl 0288.15002
Harvey, F. Reese (1990), "Kapitel 2: The Eight Types of Inner Product Spaces", Spinors and calibrations , Academic Press , s. 19–40, ISBN 0-12-329650-1
Popov, VL (1987), "Bilinear form" , i Hazewinkel, M. (red.), Encyclopedia of Mathematics , vol. 1, Kluwer Academic Publishers , s. 390–392 . Även: Bilinjär form , sid. 390, på Google Books
Jacobson, Nathan (2009), Basic Algebra , vol. I (andra upplagan), ISBN 978-0-486-47189-1
Milnor, J .; Husemoller, D. (1973), Symmetric Bilinear Forms , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, vol. 73, Springer-Verlag , ISBN 3-540-06009-X , Zbl 0292.10016
Porteous, Ian R. (1995), Clifford Algebras and the Classical Groups , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 50, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-55177-9
Shafarevich, IR ; AO Remizov (2012), Linear Algebra and Geometry , Springer , ISBN 978-3-642-30993-9
Shilov, Georgi E. (1977), Silverman, Richard A. (red.), Linjär algebra , Dover, ISBN 0-486-63518-X
Zhelobenko, Dmitriĭ Petrovich (2006), Principal Structures and Methods of Representation Theory , Översättningar av matematiska monografier, American Mathematical Society , ISBN 0-8218-3731-1

externa länkar

"Bilinear form" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
"Bilineär form" . PlanetMath .

Den här artikeln innehåller material från Unimodular på PlanetMath , som är licensierad under Creative Commons Attribution/Share-Alike-licensen .