Metriserbart topologiskt vektorutrymme

Inom funktionsanalys och relaterade områden av matematik är ett metrizbart (resp. pseudometriskt ) topologiskt vektorrum (TVS) ett TVS vars topologi induceras av en metrisk (resp. pseudometrisk ). Ett LM-utrymme är en induktiv gräns för en sekvens av lokalt konvexa mätbara TVS.

Pseudometri och metrik

En pseudometrisk på en uppsättning $X$ är en karta $d:X\times X\rightarrow \mathbb {R}$ som uppfyller följande egenskaper:

1. $d(x,x)=0{\text{ för alla }}x\in X$ ;
2. Symmetri : $d(x,y)=d(y,x){\text{ för alla }}x,y\ i X$ ;
3. Subadditivitet : $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z){\text{ för alla }}x,y,z\in X.$

En pseudometrisk kallas en metrik om den uppfyller:

4. Identitet för oskiljbara : för alla $x,y\in X,$ om $d(x,y)=0$ så är $x=y.$

Ultrapseudometrisk

En pseudometrisk $d$ på $X$ kallas en ultrapseudometrisk eller en stark pseudometrisk om den uppfyller:

5. Stark / ultrametrisk triangelolikhet : $d(x,z)\leq \max\{d(x,y),d(y,z)\}{\text{ för alla }}x,y,z\in X.$

Pseudometriskt utrymme

Ett pseudometriskt utrymme är ett par $(X,d)$ som består av en uppsättning $X$ och en pseudometrisk $d$ på $X$ så att ${ \displaystyle X}:$ s topologi är identisk med topologin på $X$ inducerad av $d.$ Vi kallar ett pseudometriskt utrymme $(X,d)$ ett metriskt utrymme (resp. ultrapseudometriskt utrymme ) när $d$ är ett mått (resp. ultrapseudometriskt).

Topologi inducerad av en pseudometrisk

Om $d$ är en pseudometrisk på en uppsättning $X$ så är en samling öppna bollar :

$$B_{r}(z):=\{x\in X:d(x,z)<r\}$$

eftersom $z$ sträcker sig över $X$ och $r>0$ sträcker sig över de positiva reella talen, bildar en grund för en topologi på $X$ som kallas $d$ -topologi eller den pseudometriska topologin på $X$ inducerad av $d.$

Konvention : Om $(X,d)$ är ett pseudometriskt utrymme och $X$ behandlas som ett topologiskt utrymme , bör det antas om inte annat anges att $X$ är utrustad med topologin inducerad av $d.$

Pseudometriserbart utrymme

Ett topologiskt utrymme $(X,\tau )$ kallas pseudometrisk (resp. metrizable , ultrapseudometrizable ) om det finns en pseudometrisk (resp. metrisk, ultrapseudometrisk) $d$ på ${\ displaystyle X}$ så att $\tau$ är lika med topologin inducerad av $d.$

Pseudometri och värden på topologiska grupper

En additiv topologisk grupp är en additiv grupp utrustad med en topologi, kallad grupptopologi , under vilken addition och negation blir kontinuerliga operatorer.

En topologi $\tau$ på ett reellt eller komplext vektorrum $X$ kallas en vektortopologi eller en TVS-topologi om den gör operationerna för vektoraddition och skalär multiplikation kontinuerliga (det vill säga om den gör $X$ till ett topologiskt vektorrum ).

Varje topologisk vektorrum (TVS) $X$ är en additiv kommutativ topologisk grupp men inte alla grupptopologier på $X$ är vektortopologier. Detta beror på att trots att det gör addition och negation kontinuerliga, kan en grupptopologi på ett vektorrum $X$ misslyckas med att göra skalär multiplikation kontinuerlig. Till exempel gör den diskreta topologin på alla icke-triviala vektorrum addition och negation kontinuerliga men gör inte skalär multiplikation kontinuerlig.

Översättning av invariant pseudometri

Om $X$ är en additiv grupp så säger vi att en pseudometrisk $d$ på $X$ är translationsinvariant eller bara invariant om den uppfyller något av följande ekvivalenta villkor:

1. Translationsinvarians : $d(x+z,y+z)=d(x,y){ \text{ för alla }}x,y,z\in X$ ;
2. $d(x,y)=d(xy,0){\text{ för alla }}x,y\i X.$

Värde/G-seminorm

Om $X$ är en topologisk grupp är a- värdet eller G-seminormen på $X$ ( G står för Group) en realvärderad karta $p:X\ högerpil \mathbb {R}$ med följande egenskaper:

1. Icke-negativ : $p\geq 0.$
2. Subadditiv : $p(x+y)\leq p(x)+p(y){\text{ för alla }}x,y\in X$ ;
3. $p(0)=0..$
4. Symmetrisk : $p(-x)=p(x){\text{ för alla }}x\i X.$

där vi kallar en G-seminorm en G-norm om den uppfyller tilläggsvillkoret:

5. Totalt / Positivt definitivt : Om $p(x)=0$ så är $x=0.$

Värdeegenskaper

Om $p$ är ett värde på ett vektorrum $X$ då:

• $|p(x)-p(y)|\leq p(xy){\text{ för alla }}x,y\i X.$
• $p(nx)\leq np(x)$ och ${\frac {1}{n }}p(x)\leq p(x/n)$ för alla $x\in X$ och positiva heltal $n.$
• Mängden $\{x\in X:p(x)=0\}$ är en additiv undergrupp av $X.$

Ekvivalens på topologiska grupper

Teorem — Antag att $X$ är en additiv kommutativ grupp. Om $d$ är en översättningsinvariant pseudometrisk på ${\displaystyle X} så$ är kartan $p(x):=d(x,0)$ ett värde på $X$ kallas det värde som är associerat med ${\displaystyle d} ,$ och dessutom genererar $d$ en grupptopologi på $X$ (dvs. $d$ -topologi på $X$ gör $X$ till en topologisk grupp). Omvänt, om $p$ är ett värde på $X$ så är kartan $d(x,y):=p(xy) )$ är en översättningsinvariant pseudometrisk på $X$ och värdet associerat med $d$ är bara $sid.$

Pseudometriserbara topologiska grupper

Teorem — Om $(X,\tau )$ är en additiv kommutativ topologisk grupp så är följande ekvivalenta:

1. $\tau$ induceras av en pseudometrisk; (dvs $(X,\tau)$ är pseudometriserbar);
2. $\tau$ induceras av en translationsinvariant pseudometrisk;
3. identitetselementet i $(X,\tau )$ har en räknebar grannskapsbas.

Om $(X,\tau )$ är Hausdorff så kan ordet "pseudometrisk" i ovanstående uttalande ersättas med ordet "metrisk". En kommutativ topologisk grupp är mätbar om och endast om den är Hausdorff och pseudometriserbar.

En invariant pseudometrisk som inte inducerar en vektortopologi

Låt $X$ vara ett icke-trivialt (dvs. $X\neq \{0\}$ ) reellt eller komplext vektorrum och låt $d$ vara den translationsinvarianta trivialen metrisk på $X$ definierad av $d(x,x)=0$ och $d( x,y)=1{\text{ för alla }}x,y\in X$ så att $x\neq y.$ Topologin $\tau$ som $d$ inducerar på $X$ är den diskreta topologin , som gör $(X) ,\tau )$ till en kommutativ topologisk grupp under addition men bildar inte en vektortopologi på $X$ eftersom $(X,\tau )$ är frånkopplad men varje vektortopologi är ansluten . Det som misslyckas är att skalär multiplikation inte är kontinuerlig på $(X,\tau ).$

Detta exempel visar att en translationsinvariant (pseudo)metrik inte räcker för att garantera en vektortopologi, vilket leder till att vi definierar paranormer och F -seminormer.

Additiv sekvens

En samling ${\mathcal {N}}$ av delmängder av ett vektorrum kallas additiv om det för varje $N\i {\mathcal {N}},$ finns någon $U\in {\mathcal {N}}$ så att $U+U\subseteq N.$

Kontinuitet för addition vid 0 — Om $(X,+)$ är en grupp (som alla vektorrum är), är $\tau$ en topologi på $X,$ och $X\times X$ är utrustad med produkttopologin , sedan adderingskartan $X\times X\to X$ (dvs kartan $(x,y)\mapsto x+y$ ) är kontinuerlig vid utgångspunkten för $X\ gånger X$ om och endast om mängden kvarter av ursprunget i $(X,\tau )$ är additiv. Detta påstående förblir sant om ordet "grannskap" ersätts med "öppet grannskap".

Alla ovanstående villkor är följaktligen nödvändiga för att en topologi ska bilda en vektortopologi. Additiva sekvenser av mängder har den särskilt trevliga egenskapen att de definierar icke-negativa kontinuerliga subadditiva funktioner med realt värde. Dessa funktioner kan sedan användas för att bevisa många av de grundläggande egenskaperna hos topologiska vektorrum och även visa att en Hausdorff TVS med en räkningsbar bas av grannskap är mätbar. Följande sats gäller mer generellt för kommutativa additiva topologiska grupper .

Sats — Låt ${\displaystyle U_{\bullet }=\left(U_{i}\right)_{i=0}^{\infty }} vara$ en samling av delmängder av ett vektorrum så att $0\in U_{i}$ och $U_{i+1}+U_{i+1}\subseteq U_{i}$ för alla $i\geq 0.$ För alla $u\in U_{0},$ låt

$$\mathbb {S} (u):=\left\{n_{\bullet }=\left(n_{1},\ldots ,n_{k}\right)~:~k\geq 1,n_ {i}\geq 0{\text{ för alla }}i,{\text{ och }}u\i U_{n_{1}}+\cdots +U_{n_{k}}\right\}.$$

Definiera $f:X\to [0,1]$ med $f(x)=1$ om $x\not \in U_{0}$ och annars låt

$$f(x):=\inf _{}\left\{2^{-n_{1}}+\cdots 2^{-n_{k}}~:~n_{\bullet }=\left (n_{1},\ldots ,n_{k}\right)\in \mathbb {S} (x)\right\}.$$

Då är $f$ subadditiv (vilket betyder $f(x+y)\leq f(x)+ f(y){\text{ för alla }}x,y\in X$ ) och $f=0$ på $\bigcap _{i\geq 0}U_ {i},$ så i synnerhet $f(0)=0.$ Om alla $U_{i}$ är symmetriska mängder så är $f(-x)=f(x)$ och om alla $U_{i}$ är balanserade så är $f(sx)\leq f(x)$ för alla skalärer $s$ så att $|s|\leq 1$ och alla $x\in X.$ Om $X$ är ett topologiskt vektorrum och om alla $U_{i}$ är stadsdelar med ursprunget så är $f$ kontinuerlig, där om dessutom $X$ är Hausdorff och $​​{\displaystyle U_{\bullet }} bildar en$$d(x,y):=f(xy)$ för balanserade stadsdelar av ursprunget i $X$ då är ett mått som definierar vektortopologin på $X.$

Bevis

Antag att $n_{\bullet }=\left(n_{1},\ldots ,n_{k}\right)$ alltid betecknar en ändlig sekvens av icke- negativa heltal och använd notationen: $$\sum 2^{-n_{\bullet }}:=2^{-n_{1}}+\cdots +2^{-n_{k}}\quad {\text{ och }}\quad \sum U_{n_{\bullet }}:=U_{n_{1}}+\cdots +U_{n_{k}}.$$ För alla heltal $n\geq 0$ och $d>2,$ $$U_{n}\supseteq U_{n+1}+U_{n+1}\supseteq U_{n+1}+U_{n+2}+U_{n+2}\supseteq U_{n+ 1}+U_{n+2}+\cdots +U_{n+d}+U_{n+d+1}+U_{n+d+1}.$$ Av detta följer att om $n_{\bullet }=\left(n_{1},\ldots ,n_{k}\right)$ består av distinkta positiva heltal sedan $\sum U_{n_{\bullet }}\subseteq U_{-1+\min \left(n_{\bullet}\right)}.$ Det kommer nu att visas med induktion på $k$ att om $n_{\bullet }=\left(n_{1},\ldots ,n_{ k}\right)$ består av icke-negativa heltal så att $\sum 2^{-n_{\bullet }}\leq 2^{-M}$ för något heltal $M\geq 0$ sedan ${\displaystyle \sum U_{n_{\bullet }}\subseteq U_{M}.} Detta$ är helt klart sant för $k=1$ och $k=2$ så anta att $k>2,$ vilket innebär att alla $n_{i}$ är positiva. Om alla $n_{i}$ är distinkta så är detta steg gjort, och annars välj distinkta index $i<j$ så att $n_{i}= n_{j}$ och konstruera $m_{\bullet }=\left(m_{1},\ldots ,m_{k-1}\right)$ från $n_{\bullet }$ genom att ersätta varje $n_{i}$ med $n_{i}-1$ och ta bort den $j ^{\text{th}}$ element i $n_{\bullet }$ (alla andra element i $n_{\bullet }$ överförs till $m_{\bullet }$ oförändrad). Observera att $\sum 2^{-n_{\bullet }}=\summa 2^{-m_{\bullet }}$ och ${\displaystyle \sum U_{n_{\bullet }}\subseteq \sum U_{m_{\bullet }}} (eftersom$ U $\displaystyle U_{n_{ i}}+U_{n_{j}}\subseteq U_{n_{i}-1}} )$ så genom att appellera till den induktiva hypotesen drar vi slutsatsen att $\displaystyle \sum U_{n_{\bullet }}\subseteq \sum U_{m_{\bullet }}\subseteq U_{M},}$ enligt önskemål. Det är tydligt att $f(0)=0$ och att $0\leq f\leq 1$ så för att bevisa att $f$ är subadditiv räcker det för att bevisa att $f(x+y)\leq f(x)+f(y)$ när $x ,y\in X$ är sådana att $f(x)+f(y)<1,$ vilket antyder att $x,y\in U_{0}.$ Det här är en övning. Om alla $U_{i}$ är symmetriska så är $x\in \sum U_{n_{\bullet }}$ om och endast om ${ \displaystyle -x\in \sum U_{n_{\bullet }}}$ av vilket det följer att $f(-x)\leq f(x)$ och $f(-x)\geq f(x).$ Om alla $U_{i}$ är balanserade så är olikheten $f(sx) \leq f(x)$ för alla enhetsskalärer $s$ så att $|s|\leq 1$ bevisas på liknande sätt. Eftersom $f$ är en icke-negativ subadditiv funktion som uppfyller $f(0)=0,$ som beskrivs i artikeln om sublinjära funktionaler , är $f$ likformigt kontinuerlig på ${ \displaystyle X}$ om och endast om $f$ är kontinuerlig vid origo. Om alla $U_{i}$ är stadsdelar av ursprunget så välj för valfri verklig $r>0,$ ett heltal $M>1$ så att $2^{-M}<r$ så att $x\in U_{M}$ antyder $f(x)\leq 2^{-M}<r.$ Om mängden av alla $U_{i}$ utgör grunden för balanserade kvarter av ursprunget kan det visas att för alla $n>1,$ det finns några $0<r\leq 2^{-n}$ så att $f(x )<r$ innebär $x\in U_{n}.$$\blacksquare$

Paranormer

Om $X$ är ett vektorrum över de reella eller komplexa talen så är en paranorm på $X$ en G-seminorm (definierad ovan) $p:X\rightarrow \ mathbb {R}$ på $X$ som uppfyller något av följande ytterligare villkor, som vart och ett börjar med "för alla sekvenser $x_{\bullet }= \left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ i $X$ och alla konvergerande sekvenser av skalärer ${\displaystyle s_ {\bullet }=\left(s_{i}\right)_{i=1}^{\infty }} "$ :

1. Kontinuitet av multiplikation : om $s$ är en skalär och $x\in X$ är sådana att $p\left(x_{i}-x \right)\to 0$ och $s_{\bullet }\to s,$ sedan $p\left(s_{i }x_{i}-sx\right)\till 0.$
2. Båda villkoren:
   • om $s_{\bullet }\to 0$ och om $x\in X$ är sådan att $p\left(x_{i }-x\right)\to 0$ sedan $p\left(s_{i}x_{i}\right)\to 0$ ;
   • om $p\left(x_{\bullet }\right)\to 0$ då $p\left(sx_{i}\right)\to 0$ för varje skalär $s.$
3. Båda villkoren:
   • om $p\left(x_{\bullet }\right)\to 0$ och $s_{\bullet }\to s$ för vissa skalära $s$ sedan $p\left(s_{i}x_{i}\right)\to 0$ ;
   • om $s_{\bullet }\to 0$ så $p\left(s_{i}x\right)\to 0{\text{ för alla }}x\i X.$
4. Separat kontinuitet :
   • om $s_{\bullet }\to s$ för vissa skalära $s$ då $p\left(sx_{i}-sx \right)\till 0$ för varje $x\in X$ ;
   • om $s$ är en skalär, $x\in X,$ och $p\left(x_{i}-x\right)\ till 0$ sedan $p\left(sx_{i}-sx\right)\to 0$ .

En paranorm kallas total om den dessutom uppfyller:

• Totalt / Positivt definitivt : $p(x)=0$ innebär $x=0.$

Paranormernas egenskaper

Om $p$ är en paranorm på ett vektorrum $X$ så är kartan $d:X\times X\rightarrow \mathbb {R}$ definierad av $d(x,y):=p(xy)$ är en translationsinvariant pseudometrisk på $X$ som definierar en vektortopologi på $X.$

Om $p$ är en paranorm på ett vektorrum $X$ då:

• mängden $\{x\in X:p(x)=0\}$ är ett vektordelrum av $X.$
• $p(x+n)=p(x){\text{ för alla }}x,n\in X$ med $p(n)=0.$
• Om en paranorm $p$ uppfyller $p(sx)\leq |s|p(x){\text{ för alla }}x\in X$ och skalärer $s,$ sedan $p$ är absolut homogenitet (dvs. likhet gäller) och därför är ${\displaystyle p} en$ seminorm .

Exempel på paranormer

• Om $d$ är en translationsinvariant pseudometrisk på ett vektorrum ${ \displaystyle (X,\tau )}$$\displaystyle X}$ som inducerar en vektortopologi $\tau$ på $X$ (dvs är en TVS) så definierar kartan $p(x):=d(xy,0)$ en kontinuerlig paranorm på $(X,\tau )$ ; dessutom är topologin som denna paranorm $p$ definierar i $X$$\tau .$
• Om $p$ är en paranorm på $X$ så är kartan $q(x):=p(x)/[1+p(x)].$
• Varje positiv skalär multipel av en paranorm (resp. total paranorm) är återigen en sådan paranorm (resp. total paranorm).
• Varje seminorm är en paranorm.
• Begränsningen av en paranorm (resp. total paranorm) till ett vektordelrum är en paranorm (resp. total paranorm).
• Summan av två paranormer är en paranorm.
• Om $p$ och $q$ är paranormer på $X$ så är det $(p\wedge q)(x):=\inf _{}\{p(y)+q(z):x=y+z{\text{ med }}y,z\i X\ }.$ Dessutom, $(p\wedge q)\leq p$ och $(p\wedge q)\leq q.$ Detta gör uppsättningen paranormer på $X$ till ett villkorligt komplett gitter .
• Var och en av följande kartor med verkligt värde är paranormer på $X:=\mathbb {R} ^{2}$ :
  • $(x,y)\mapsto |x|$
  • $(x,y)\mapsto |x|+|y|$
• De realvärderade kartorna $(x,y)\mapsto {\sqrt {\left|x^{2}-y^{2}\right|}}$ och $}}$ är inte paranormer på $X:=\mathbb {R} ^{2}.$
• Om ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}} är$ en Hamel-bas på ett vektorrum $X$ sedan den verkliga kartan som skickar ${\displaystyle x=\summa _{i\in I}s_{i}x_{i}\in X} ($ där alla utom ändligt många av skalärerna $s_{i}$ är 0) till ${\displaystyle \sum _{i\in I}{\sqrt {\left|s_{i}\right|}}} är$ en paranorm på $X,$ som uppfyller $p(sx)={\sqrt {|s|}}p(x)$ för alla $x\in X$ och skalärer $s.$
• Funktionen ${\displaystyle p(x):=|\sin(\pi x)|+\min\{2,|x|\}} är en paranorm$ på $\mathbb {R}$ som inte är balanserad men likväl motsvarande den vanliga normen på $R.$ Observera att funktionen $x\mapsto |\sin(\pi x)|$ är subadditiv.
• Låt $X_{\mathbb {C} }$ vara ett komplext vektorrum och låt $X_{\mathbb {R} }$ beteckna $X_{\mathbb {C} }$ betraktas som ett vektorrum över $\mathbb {R} .$ Vilken paranorm som helst på $X_{\mathbb {C} }$ är också en paranorm på $X_{\mathbb {R} }.$

F -seminormer

Om $X$ är ett vektorrum över de reella eller komplexa talen så är en F -seminorm på $X$ (F $F$ står för Fréchet ) en realvärderad $p:X\to \mathbb {R}$ med följande fyra egenskaper:

1. Icke-negativ : $p\geq 0.$
2. Subadditiv : $p(x+y)\leq p(x)+p(y)$ för alla $x ,y\in X$
3. Balanserad : $p(ax)\leq p(x)$ för $x\in X$ alla skalärer $a$ uppfyller $|a|\leq 1;$
   • Detta villkor garanterar att varje uppsättning av formen $\{z\in X:p(z)\leq r\ }$ eller $\{z\in X:p(z)<r\}$ för vissa $r\geq 0$ är en balanserad uppsättning .
4. För varje $x\in X,$$p\left({\tfrac {1}{n}}x\right)\to 0$ som $n\to \infty$
   • Sekvensen $\left({\tfrac {1}{n}}\right)_{n=1}^{\infty }$ kan ersättas av vilken positiv sekvens som helst som konvergerar till noll.

En F -seminorm kallas en F -norm om den dessutom uppfyller:

5. Totalt / Positivt definitivt : $p(x)=0$ innebär $x=0.$

En F -seminorm kallas monoton om den uppfyller:

6. Monotone : $p(rx)<p(sx)$ för alla icke-noll $x\in X$ och alla reella $s$ och $t$ så att $s<t.$

F -halvnormerade utrymmen

Ett F -seminormerat utrymme (resp. F -normerat utrymme ) är ett par $(X,p)$ bestående av ett vektorrum $X$ och en F -seminorm (resp. F) -norm) $p$ på $X.$

Om $(X,p)$ och $(Z,q)$ är F -seminormerade utrymmen så är en karta $f:X\ till Z$ kallas en isometrisk inbäddning om $q(f(x)-f(y))=p(x,y){\text{ för alla }}x,y\i X.$

Varje isometrisk inbäddning av ett F -seminormerat utrymme i ett annat är en topologisk inbäddning , men det omvända är inte sant i allmänhet.

Exempel på F -seminormer

• Varje positiv skalär multipel av en F -seminorm (resp. F -norm, seminorm) är återigen en F -seminorm (resp. F -norm, seminorm).
• Summan av ändligt många F -seminormer (resp. F -normer) är en F -seminorm (resp. F -norm).
• Om $p$ och $q$ är F -seminormer på $X$ så är deras punktvisa supremum $x\mapsto \sup\{p(x),q(x)\}.$ Detsamma gäller det högsta av alla icke-tomma finita familjer av F -seminormer på $X.$
• Begränsningen av en F -seminorm (resp. F -norm) till ett vektordelrum är en F -seminorm (resp. F -norm).
• En icke-negativ funktion med verkligt värde på $X$ är en seminorm om och endast om den är en konvex F -seminorm, eller motsvarande, om och endast om den är en konvex balanserad G -seminorm. I synnerhet är varje seminorm en F -seminorm.
• För alla $0<p<1,$ kartan $f$ på $\mathbb {R} ^{n}$ definierad av
  $$[f\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)]^{p}=\left|x_{1}\right|^{p}+\cdots \left| x_{n}\right|^{p}$$
  är en F -norm som inte är en norm.
• Om $L:X\to Y$ är en linjär karta och om $q$ är en F -seminorm på $Y,$ då $q \circ L$ är en F -seminorm på $X.$
• Låt $X_{\mathbb {C} }$ vara ett komplext vektorrum och låt $X_{\mathbb {R} }$ beteckna $X_{\mathbb {C} }$ betraktas som ett vektorrum över $\mathbb {R} .$ Vilken F -seminorm som helst på $X_{\mathbb {C} }$ är också en F -seminorm på $X_{\mathbb {R} }.$

Egenskaper för F -seminormer

Varje F -seminorm är en paranorm och varje paranorm är likvärdig med någon F -seminorm. Varje F -seminorm på ett vektorrum $X$ är ett värde på $X.$ Speciellt $p(x)=0,$ och $p(x)=p(-x)$ för alla $x\in X.$

Topologi inducerad av en enda F -seminorm

Sats — Låt $p$ vara en F -seminorm på ett vektorrum $X.$ Därefter kartan $d:X\times X\to \mathbb {R}$ definierad av ${ \displaystyle d(x,y):=p(xy)}$ är en translationsinvariant pseudometrisk på $X$ som definierar en vektortopologi $\tau$ på $X.$ Om $p$ är en F -norm så är $d$ ett mått. När $X$ är utrustad med denna topologi är $p$ en kontinuerlig karta på $X.$

De balanserade mängderna $\{x\in X~:~p(x)\leq r\},$ eftersom $r$ sträcker sig över det positiva reals, bildar en grannskapsbas vid ursprunget för denna topologi bestående av sluten uppsättning. På liknande sätt, de balanserade uppsättningarna $\{x\in X~:~p(x)<r\},$ eftersom $r$ sträcker sig över positiva realer, bildar en grannskapsbas vid ursprunget för denna topologi bestående av öppna uppsättningar.

Topologi inducerad av en familj av F -seminormer

Antag att ${\mathcal {L}}$ är en icke-tom samling av F -seminormer på ett vektorrum $X$ och för valfri finit delmängd ${\mathcal {F }}\subseteq {\mathcal {L}}$ och valfri $r>0,$ låt

$$U_{{\mathcal {F}},r}:=\bigcap _{p\in {\mathcal {F}}}\{x\in X:p(x)<r\}.$$

Mängden ${\displaystyle \left\{U_{{\mathcal {F}},r}~:~r>0,{\mathcal {F} }\subseteq {\mathcal {L}},{\mathcal {F}}{\text{ finite }}\right\}} bildar en filterbas$ på $X$ som också bildar en grannskapsbas vid ursprunget för en vektortopologi på $X$ betecknad med $\tau _{\mathcal {L}}.$ Varje $U_{{\mathcal {F}},r}$ är en balanserad och absorberande delmängd av $X.$ Dessa uppsättningar uppfyller

$$U_{{\mathcal {F}},r/2}+U_{{\mathcal {F}},r/2}\subseteq U_{{\mathcal {F}},r}.$$

• $\tau _{\mathcal {L}}$ är den grövsta vektortopologin på $X$ vilket gör varje $p\in {\mathcal {L}}$ kontinuerlig.
• $\tau _{\mathcal {L}}$ är Hausdorff om och endast om det för varje icke-noll $x\in X,$ finns några $p \in {\mathcal {L}}$ så att $p(x)>0.$
• Om ${\mathcal {F}}$ är mängden av alla kontinuerliga F -seminormer på $\left(X,\tau _{\mathcal {L}}\right)$ sedan $\tau _{\mathcal {L}}=\tau _{\mathcal {F}}.$
• Om ${\mathcal {F}}$ är mängden av alla punktvis suprema av icke-tomma ändliga delmängder av ${\mathcal {F}}$ av ${\mathcal {L} }$ då är ${\mathcal {F}}$ en riktad familj av F -seminormer och $\tau _{\mathcal {L}}=\tau _{\mathcal {F}}.$

Fréchet kombination

Antag att ${\displaystyle p_{\bullet }=\left(p_{i}\right)_{i=1}^{\infty }} är$ en familj av icke- negativa subadditiva funktioner på ett vektorrum $X.$

Fréchet -kombinationen av $p_{\bullet }$ definieras som den verkliga kartan

$$p(x):=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {p_{i}(x)}{2^{i}\left[1+p_{i}( x)\right]}}.$$

Som en F -seminorm

Antag att ${\displaystyle p_{\bullet }=\left(p_{i}\right)_{i=1}^{\infty }} är$ en ökande sekvens av seminormer på $X$ och låt $p$ vara Fréchet-kombinationen av $p_{\bullet }.$ Då är $p$ en F -seminorm på $X$ som inducerar samma lokalt konvexa topologi som familjen $p_{\bullet }$ av seminormer.

Eftersom ${\displaystyle p_{\bullet }=\left(p_{i}\right)_{i=1}^{\infty }} ökar, ökar basen$ för öppen kvarter av ursprunget består av alla mängder av formen $\left\{x\in X~:~p_{i}(x)<r\right\ }$ som $i$ intervall över alla positiva heltal och $r>0$ intervall över alla positiva reella tal.

Den översättningsinvarianta pseudometriska på $X$ inducerad av denna F -seminorm $p$ är

$$d(x,y)=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{i}}}{\frac {p_{i}(xy)}{ 1+p_{i}(xy)}}.$$

Detta mått upptäcktes av Fréchet i sin avhandling från 1906 för utrymmen av verkliga och komplexa sekvenser med punktvisa operationer.

Som en paranorm

Om varje $p_{i}$ är en paranorm så är det också $p$ och dessutom inducerar $p$ samma topologi på $X$ som familjen ${ \displaystyle p_{\bullet }}$ av paranormer. Detta gäller även för följande paranormer på $X$ :

• $q(x):=\inf _{}\left\{\sum _{i=1}^{n}p_{i}(x)+{\frac {1}{n}}~: ~n>0{\text{ är ett heltal }}\right\}.$
• $r(x):=\summa _{n=1}^{\infty }\min \left\{{\frac {1}{2^{n}}},p_{n}(x) \höger\}.$

Generalisering

Fréchet-kombinationen kan generaliseras med hjälp av en begränsad ommetriseringsfunktion.

En avgränsad ommetriseringsfunktion är en kontinuerlig icke-negativ icke-minskande karta $R:[0,\infty )\to [0,\infty )$ som har ett begränsat område , är subadditiv (vilket betyder att $R(s+t)\leq R(s)+R(t)$ för alla ${ \displaystyle s,t\geq 0}$ ), och uppfyller $R(s)=0$ om och endast om $s=0.$

Exempel på avgränsade ommetriseringsfunktioner inkluderar $\arctan t,$$\tanh t,$$t\mapsto \min\{t ,1\},$ och $t\mapsto {\frac {t}{1+t}}.$ Om $d$ är en pseudometrisk (respektive metrik) på $X$ och $R$ är en begränsad ommetriseringsfunktion då är $R\circ d$ en bounded pseudometrisk (respektive bounded metrisk) på $X$ som är enhetligt ekvivalent med $d.$

Antag att ${\displaystyle p_{\bullet }=\left(p_{i}\right)_{i=1}^{\infty }} är$ en familj av icke- negativ F -seminorm på ett vektorrum $X,$$R$ är en begränsad ommetriseringsfunktion, och $r_{\bullet }=\ left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ är en sekvens av positiva reella tal vars summa är ändlig. Sedan

$${\displaystyle p(x):=\summa _{i=1}^{\infty }r_{i}R\$$

definierar en begränsad F -seminorm som är enhetligt ekvivalent med $p_{\bullet }.$ Den har egenskapen att för alla nät $x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a \in A}$ i $X,$$p\left(x_{\bullet }\right)\to 0$ om och endast om $p_{i}\left(x_{\bullet}\right)\to 0$ för alla $i.$$p$ är en F -norm om och endast om $p_{\bullet }$ skiljer punkter på $X.$

Karakteriseringar

Av (pseudo)metrik inducerad av (semi)normer

En pseudometrisk (resp. metrisk) $d$ induceras av en seminorm (resp. norm) på ett vektorrum $X$ om och endast om $d$ är translationsinvariant och absolut homogen , vilket betyder att för alla skalärer $s$ och alla $x,y\in X,$ i vilket fall funktionen definierad av ${ \displaystyle p(x):=d(x,0)}$ är en seminorm (resp. norm) och den pseudometriska (resp. metriska) inducerad av $p$ är lika med $d.$

Av pseudometriserbara TVS

Om $(X,\tau )$ är ett topologiskt vektorrum (TVS) (där notera särskilt att $\tau$ antas vara en vektortopologi) så är följande ekvivalenta :

1. $X$ är pseudometriserbar (dvs vektortopologin $\tau$ induceras av en pseudometrisk på $X$ ).
2. $X$ har en räknebar grannskapsbas vid ursprunget.
3. Topologin på $X$ induceras av en translationsinvariant pseudometrisk på $X.$
4. Topologin på $X$ induceras av en F -seminorm.
5. Topologin på $X$ induceras av en paranorm.

Av mätbara TV-apparater

Om $(X,\tau )$ är en TVS är följande likvärdiga:

1. $X$ är mätbar.
2. $X$ är Hausdorff och pseudometriserbar.
3. $X$ är Hausdorff och har en räknebar grannskapsbas vid ursprunget.
4. Topologin på $X$ induceras av ett translationsinvariant mått på $X.$
5. Topologin på $X$ induceras av en F -norm.
6. Topologin på $X$ induceras av en monoton F -norm.
7. Topologin på $X$ induceras av en total paranorm.

Birkhoff–Kakutani-satsen — Om $(X,\tau )$ är ett topologiskt vektorrum är följande tre villkor ekvivalenta:

1. Ursprunget $\{0\}$ är stängt i $X,$ och det finns en räknebar grund av grannskap för $0$ i $X.$
2. $(X,\tau )$ är mätbar (som ett topologiskt utrymme).
3. Det finns ett översättningsinvariant mått på $X$ som inducerar på $X$ topologin $\tau ,$ som är den givna topologin på $X.$

Av Birkhoff–Kakutani-satsen följer att det finns en ekvivalent metrik som är translationsinvariant.

Av lokalt konvexa pseudometriserbara TVS

Om $(X,\tau )$ är TVS så är följande likvärdiga:

1. $X$ är lokalt konvex och pseudometriserbar.
2. $X$ har en räknebar grannskapsbas vid ursprunget som består av konvexa mängder.
3. Topologin för $X$ induceras av en räkningsbar familj av (kontinuerliga) seminormer.
4. Topologin för $X$ induceras av en räknebar ökande sekvens av (kontinuerliga) seminormer ( $\displaystyle \left(p_{i}\right)_{i=1}^{ \infty }}$ (ökande betyder att för alla $i,$$p_{i}\geq p_{i+1}.$
5. Topologin för $X$ induceras av en F -seminorm av formen:
   $$p(x)=\summa _{n=1}^{\infty }2^{-n}\operatörsnamn { arctan} p_{n}(x)$$
   där $\left(p_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ är (kontinuerliga) seminormer på $X.$

Kvotienter

Låt $M$ vara ett vektordelrum av ett topologiskt vektorrum $(X,\tau ).$

• Om $X$ är en pseudometriserbar TVS så är $X/M.$
• Om $X$ är en komplett pseudometriserbar TVS och $M$ är ett slutet vektordelrum av $X$ så är $\displaystyle X/M}$ komplett.
• Om $X$ är mätbar TVS och $M$ är ett slutet vektordelrum av $X$ så är $\displaystyle X/M}$ mätbar.
• Om $p$ är en F -seminorm på $X,$ så är kartan $P:X/M\to \mathbb {R}$ definierad av
  $$P(x+M):=\inf _{}\{p(x+m):m\in M \}$$
  är en F -seminorm på $X/M$ som inducerar den vanliga kvottopologin på $X/M.$ Om dessutom $p$ är en F -norm på $X$ och om $M$ är ett slutet vektordelrum av $X$ så $P$ är en F -norm på $X.$

Exempel och tillräckliga villkor

• Varje seminorerat mellanslag $(X,p)$ är pseudometriserbart med en kanonisk pseudometrisk given av $d(x,y):= p(xy)$ för alla $x,y\in X.$ .
• Om $(X,d)$ är pseudometrisk TVS med en translationsinvariant pseudometrisk $d,$ då $p(x) :=d(x,0)$ definierar en paranorm. Men om $d$ är en translationsinvariant pseudometrisk på vektorrymden $X$ (utan tilläggsvillkoret att $(X,d)$ är pseudometrisk TVS ), då $d$ behöver inte vara antingen en F -seminorm eller en paranorm.
• Om en TVS har ett avgränsat område av ursprunget är det pseudometriserbart; motsatsen är i allmänhet falsk.
• Om en Hausdorff TVS har ett avgränsat område med ursprunget är det mätbart.
• Antag att $X$ är antingen ett DF-mellanslag eller ett LM-mellanslag . Om $X$ är ett sekventiellt utrymme så är det antingen mätbart eller ett Montel DF-utrymme.

Om $X$ är Hausdorff lokalt konvex TVS då $X$ med den starka topologin , $\left(X,b\left(X, X^{\prime }\right)\right),$ är mätbar om och endast om det finns en räknebar uppsättning ${\mathcal {B}}$ av avgränsade delmängder av $X$ så att varje begränsad delmängd av $X$ finns i något element av ${\mathcal {B}}.$

Det starka dubbla utrymmet $X_{b}^{\prime }$ i ett mätbart lokalt konvext utrymme (som ett Fréchet-utrymme ) $X$ är ett DF-utrymme . Den starka dualen av ett DF-utrymme är ett Fréchet-utrymme . Den starka dualen av ett reflexivt Fréchet-rum är ett bornologiskt rum . Den starka bidualen (det vill säga det starka dubbla utrymmet hos det starka dubbla utrymmet) hos ett metriserbart lokalt konvext utrymme är ett Fréchet-utrymme. Om $X$ är ett mätbart lokalt konvext utrymme så har dess starka dubbla $X_{b}^{\prime }$ en av följande egenskaper, om och bara om den har alla dessa egenskaper : (1) bornological , (2) infrabarreled , (3) barreled .

Normabilitet

Ett topologiskt vektorrum är seminormabelt om och endast om det har ett konvext avgränsat område av ursprunget. Dessutom är en TVS normbar om och endast om den är Hausdorff och seminormabel. Varje mätbar TVS på ett ändligt dimensionellt vektorrum är en normabel lokalt konvex komplett TVS , som är TVS-isomorf till euklidisk rymd . Följaktligen måste alla mätbara TVS som inte är normerbara vara oändliga dimensionella.

Om $M$ är en mätbar lokalt konvex TVS som har ett räknebart fundamentalt system av begränsade mängder, då är $M$ normabel.

Om $X$ är ett Hausdorff lokalt konvext utrymme är följande likvärdiga:

1. $X$ är normbar .
2. $X$ har ett (von Neumann) avgränsat område av ursprunget.
3. det starka dubbla utrymmet $X_{b}^{\prime }$ av $X$ är normerbart.

och om detta lokalt konvexa utrymme $X$ också är mätbart, kan följande läggas till i denna lista:

4. det starka dubbla utrymmet för $X$ är mätbart.
5. det starka dubbla utrymmet av $X$ är ett Fréchet–Urysohn lokalt konvext utrymme.

I synnerhet om ett mätbart lokalt konvext utrymme $X$ (som ett Fréchet-utrymme ) inte är normerbart, är dess starka dubbla utrymme $X_{b}^{\prime }$ inte en Fréchet –Urysohn utrymme och följaktligen är detta kompletta Hausdorff lokalt konvexa utrymme $X_{b}^{\prime }$ heller varken mätbart eller normerbart.

En annan konsekvens av detta är att om $X$ är en reflexiv lokalt konvex TVS vars starka dubbla $X_{b}^{\prime }$ är mätbar då $X_{b }^{\prime }$ är nödvändigtvis ett reflexivt Fréchet-mellanslag, $X$ är ett DF-mellanslag , både $X$ och $X_{b}^{\prime }$ är nödvändigtvis kompletta Hausdorff ultrabornological distinguished webbed spaces , och dessutom är $X_{b}^{\prime }$ normbar om och endast om $X$ är normerbar om och endast om $X$ är Fréchet–Urysohn om och endast om $X$ är mätbar. I synnerhet är ett sådant mellanslag $X$ antingen ett Banach-utrymme eller så är det inte ens ett Fréchet–Urysohn-utrymme.

Metriskt avgränsade uppsättningar och avgränsade uppsättningar

Antag att $(X,d)$ är ett pseudometriskt utrymme och $B\subseteq X.$ Mängden $B$ är metriskt begränsad eller $d$ -gränsad om det finns ett reellt tal $R>0$ så att $d(x,y)\leq R$ för alla $x,y\in B$ ; den minsta sådana $R$ kallas då diametern eller $d$ -diametern av $B.$ Om $B$ är avgränsad i en pseudometriserbar TVS $X$ så är den metriskt begränsad; det omvända är i allmänhet falskt men det är sant för lokalt konvexa mätbara TVS.

Egenskaper för pseudometriserbara TVS

Teorem — Alla oändligt dimensionella separerbara kompletta mätbara TV-apparater är homeomorfa .

• Varje mätbar lokalt konvex TVS är ett kvasiborrelat utrymme , ett bornologiskt utrymme och ett Mackey-utrymme .
• Varje komplett pseudo- metriserbar TVS är ett trumutrymme och ett Baire-utrymme (och därmed inte magert). Det finns dock mätbara Baire-utrymmen som inte är kompletta .
• Om ${\displaystyle X} är ett mätbart lokalt konvext utrymme, så$ är den starka dualen av $X$ bornologisk om och bara om den är barreled , om och bara om den är infrabarreled .
• Om $X$ är en komplett pseudometriserbar TVS och $M$ är ett slutet vektordelrum av $X,$ så är $X/M$ komplett.
• Den starka dual av en lokalt konvex metriserbar TVS är ett webbrum .
• Om $(X,\tau )$ och $(X,\nu )$ är kompletta mätbara TVS (dvs. F-mellanslag) och om $\nu$ är grövre än $\tau$ då $\tau =\nu$ ; detta är inte längre garanterat sant om någon av dessa mätbara TVS inte är komplett. Sagt annorlunda, om $(X,\tau )$ och $(X,\nu )$ båda är F-rum men med olika topologier, då är ingen av $\tau$ och $\nu$ innehåller den andra som en delmängd. En speciell konsekvens av detta är till exempel att om $(X,p)$ är ett Banach-mellanslag och $(X,q)$ är något annat normerat utrymme vars norminducerade topologi är finare än (eller alternativt är grövre än) den för $(X,p)$ (dvs om $p\leq Cq$ eller om $q\leq Cp$ för någon konstant $C>0$ ), då är det enda sättet som $(X,q)$ kan vara ett Banach-mellanslag ( dvs också vara komplett) är om dessa två normer $p$ och $q$ är ekvivalenta ; om de inte är ekvivalenta kan $(X,q)$ inte vara ett Banach-mellanslag. Som en annan konsekvens, om $(X,p)$ är ett Banach-mellanslag och $(X,\nu )$ är ett Fréchet-mellanslag , då är kartan $p:(X,\nu )\to \mathbb {R}$ är kontinuerlig om och endast om Fréchet-mellanrummet $(X,\nu )$ är TVS ${\displaystyle (X,p)} (här$ betraktas Banach-utrymmet ${\displaystyle (X,p)} som ett TVS, vilket betyder att dess norm är "$ glömt " men dess topologi kommer ihåg).
• Ett metriserbart lokalt konvext utrymme är normerbart om och endast om dess starka dubbla utrymme är ett Fréchet–Urysohn lokalt konvext utrymme.
• Varje produkt av kompletta mätbara TVS är ett Baire-utrymme .
• En produkt av mätbara TVS:er är mätbara om och bara om allt men högst många av dessa TVS har dimension $0.$
• En produkt av pseudometriserbara TVS:er är pseudometriserbara om och bara om allt utom högst uträkneligt många av dessa TVS:er har den triviala topologin.
• Varje komplett pseudo- metriserbar TVS är ett trumutrymme och ett Baire-utrymme (och därmed icke magert).
• Dimensionen på en komplett mätbar TVS är antingen ändlig eller oräknelig.

Fullständighet

Huvudartikel: Komplett topologisk vektorrymd

Varje topologisk vektorrum (och mer allmänt, en topologisk grupp ) har en kanonisk enhetlig struktur , inducerad av dess topologi, vilket gör att begreppen fullständighet och enhetlig kontinuitet kan tillämpas på den. Om $X$ är en mätbar TVS och $d$ är ett mått som definierar $X$ s topologi, då är det möjligt att $X$ är komplett som en TVS (dvs. i förhållande till dess enhetlighet) men måtten $d$ är inte en komplett måttenhet (sådana mätvärden finns även för $X=\mathbb {R}$ ). Således, om $X$ är en TVS vars topologi induceras av en pseudometrisk $d,$ då är begreppet fullständighet av $X$ (som en TVS) och begreppet fullständighet för det pseudometriska utrymmet $(X,d)$ är inte alltid ekvivalenta. Nästa sats ger ett villkor för när de är ekvivalenta:

Teorem — Om $X$ är en pseudometriserbar TVS vars topologi induceras av en translationsinvariant pseudometrisk $d,$ så är $d$ en komplett pseudometrisk på $X$ om och endast om $X$ är komplett som en TVS.

  Sats (Klee) — Låt $d$ vara valfri måttenhet på ett vektorrum $X$ så att topologin $\tau$ inducerad av $d$ på $X$ gör $(X,\tau )$ till ett topologiskt vektorrum. Om $(X,d)$ är ett komplett metriskt utrymme så är $(X,\tau )$ ett komplett-TVS.

Teorem — Om $X$ är en TVS vars topologi induceras av en paranorm $p,$ så är $X$ komplett om och endast om för varje sekvens $\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ i $X,$ om ${\ displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }p\left(x_{i}\right)<\infty }$ sedan $\sum _{i=1}^{ \infty }x_{i}$ konvergerar i $X.$

Om $M$ är ett slutet vektordelrum av en komplett pseudometriserbar TVS $X,$ så är kvotutrymmet $X/M$ komplett. Om $M$ är ett komplett vektordelrum av en mätbar TVS $X$ och om kvotutrymmet $X/M$ är komplett så är $X.$ Om $X$ inte är komplett så är $M:=X,$ men inte komplett, vektorunderrymden av $X.$

En Baire separerbar topologisk grupp är mätbar om och endast om den är kosmisk.

Delmängder och delsekvenser

• Låt $M$ vara en separerbar lokalt konvex metriserbar topologisk vektorrymd och låt $C$ vara dess komplettering. Om $S$ är en begränsad delmängd av $C$ så finns det en begränsad delmängd $R$ av $X$ så att $S\subseteq \operatörsnamn {cl} _{C}R.$
• Varje helt avgränsad delmängd av en lokalt konvex metriserbar TVS $X$ finns i det stängda konvexa balanserade skrovet av någon sekvens i $X$ som konvergerar till $0.$
• I en pseudometriserbar TVS är varje bornivore en stadsdel av ursprunget.
• Om $d$ är ett invariant översättningsmått på ett vektorrum $X,$ då $d(nx,0)\leq nd (x,0)$ för alla $x\in X$ och varje positivt heltal $n.$
• Om $\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ är en nollsekvens (det vill säga den konvergerar till origo) i en mätbara TVS så finns det en sekvens $\left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ av positiva reella tal som divergerar till $\infty$ så att $\left(r_{i}x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to 0.$
• En delmängd av ett komplett metriskt utrymme stängs om och endast om det är komplett. Om ett blanksteg $X$ inte är komplett, är $X$ en sluten delmängd av $X$ som inte är komplett.
• Om $X$ är en mätbar lokalt konvex TVS så finns det för varje avgränsad delmängd $B$ av ${\displaystyle X,} en avgränsad$ disk $D$ i $X$ så att $B\subseteq X_{D},$ och både $X$ och det normala hjälputrymmet $X_{D}$ inducerar samma subrymdstopologi på $B.$

Banach-Saks sats — Om $\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }$ är en sekvens i en lokalt konvex mätbar TVS $(X,\tau )$ som konvergerar svagt till några $x\in X,$ då finns det en sekvens $y_{\bullet }=\left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ i $X$ så att $y_{\bullet }\ till x$ i $(X,\tau )$ och varje $y_{i}$ är en konvex kombination av ändligt många $x_{n}.$

Mackeys räknebarhetsvillkor — Antag att $X$ är en lokalt konvex mätbar TVS och att $\left(B_{i}\right)_{i=1}^{\ infty }$ är en räknebar sekvens av avgränsade delmängder av $X.$ Sedan finns det en avgränsad delmängd $B$ av $X$ och en sekvens $\left(r_{i}\right)_ {i=1}^{\infty }$ av positiva reella tal så att $B_{i}\subseteq r_{i}B$ för alla $i.$

Generaliserade serier

Som beskrivs i denna artikels avsnitt om generaliserade serier , för alla $I$ - indexerad familjefamilj ( $\displaystyle \left(r_{i}\right)_{i\in I}}$ av vektorer från en TVS $X,$ är det möjligt att definiera deras summa $\textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}$ som gränsen av nettot av finita partiella summor $F\in \operatorname {FiniteSubsets} (I)\mapsto \textstyle \sum \limits _{i\in F} r_{i}$ där domänen $\operatorname {FiniteSubsets} (I)$ styrs av $\,\subseteq .\,$ Om $I=\mathbb {N}$ och $X=\mathbb {R} ,$ till exempel, då den generaliserade serien ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in \mathbb {N} }r_{i}} konvergerar$ om och endast om $\textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }r_{i}$ konvergerar villkorslöst i vanlig mening (vilket för reella tal är ekvivalent med absolut konvergens ). Om en generaliserad serie $\textstyle \sum \limits _{i\in I}r_{i}$ konvergerar i en mätbar TVS, då uppsättningen ${ \displaystyle \left\{i\in I:r_{i}\neq 0\right\}}$ är nödvändigtvis räknebar (det vill säga antingen finit eller countably oändlig ); med andra ord, alla utom högst $r_{i}$ kommer att vara noll och så denna generaliserade serie ${\displaystyle \textstyle \ summa \limits _{i\in I}r_{i}~=~\textstyle \sum \limits _{\stackrel {i\in I}{r_{i}\neq 0}}r_{i}} är$ faktiskt en summa av högst uträkneligt många termer som inte är noll.

Linjära kartor

Om $X$ är en pseudometriserbar TVS och $A$ mappar avgränsade delmängder av $X$ till avgränsade delmängder av $Y,$ så är $A$ kontinuerlig. Diskontinuerliga linjära funktioner finns på alla oändliga dimensionella pseudometriserbara TVS. Således är en pseudometriserbar TVS ändlig-dimensionell om och endast om dess kontinuerliga dubbla utrymme är lika med dess algebraiska dubbla utrymme .

Om $F:X\to Y$ är en linjär karta mellan TVS och $X$ är mätbar då är följande ekvivalenta:

1. $F$ är kontinuerlig;
2. $F$ är en (lokalt) avgränsad karta (det vill säga $F$ mappar (von Neumann) avgränsade delmängder av $X$ till avgränsade delmängder av $Y$ );
3. $F$ är sekventiellt kontinuerlig ;
4. bilden under $F$ av varje nollsekvens i $X$ är en begränsad uppsättning där en nollsekvens per definition är en sekvens som konvergerar till ursprunget.
5. $F$ mappar nollsekvenser till nollsekvenser;

Öppna och nästan öppna kartor

Sats : Om $X$ är en komplett pseudometriserbar TVS, är $Y$ en Hausdorff TVS, och $T:X\to Y$ är en sluten och nästan öppen linjär bild , då är $T$ en öppen karta.

Sats : Om $T:X\to Y$ är en surjektiv linjär operator från ett lokalt konvext utrymme $X$ till ett hålrum $Y$ (t.ex. varje komplett pseudometriserbart utrymme är fat) så är $T$ nästan öppen .

Sats : Om $T:X\to Y$ är en surjektiv linjär operator från en TVS $X$ till ett Baire-utrymme $Y$ så är $T$ nästan öppet.

Sats : Antag att $T:X\to Y$ är en kontinuerlig linjär operator från en komplett pseudometriserbar TVS $X$ till en Hausdorff TVS $Y.$ Om bilden av $T$ inte är mager i $Y$ så är $T:X\to Y$ en surjektiv öppen karta och $Y$ är ett komplett mätbart utrymme.

Hahn-Banach förlängningsfastighet

Huvudartikel: Hahn-Banachs teorem

Ett vektordelrum $M$ av en TVS $X$ har extensionsegenskapen om någon kontinuerlig linjär funktion på $M$ kan utökas till en kontinuerlig linjär funktion på $X.$ Säg att en TVS $X$ har tilläggsegenskapen Hahn-Banach ( HBEP ) om varje vektordelrum av $X$ har tilläggsegenskapen.

Hahn -Banach-satsen garanterar att varje Hausdorff lokalt konvext utrymme har HBEP. För kompletta mätbara TVS finns det en omvänd:

  Teorem (Kalton) — Varje komplett mätbar TVS med Hahn-Banach-förlängningsegenskapen är lokalt konvex.

Om ett vektorrum $X$ har oräkneliga dimensioner och om vi ger det den finaste vektortopologin så är detta en TVS med HBEP som varken är lokalt konvex eller mätbar.

Se även

• Asymmetrisk norm – Generalisering av begreppet norm
• Komplett metriskt utrymme – metrisk geometri
• Komplett topologisk vektorrymd – en TVS där punkter som kommer gradvis närmare varandra alltid kommer att konvergera till en punkt
• Motsvarighet av mått
• F-rymd – Topologisk vektorrymd med en komplett translations-invariant mått
• Fréchet space – Ett lokalt konvext topologiskt vektorrum som också är ett komplett metriskt utrymme
• Generaliserad metrisk – Metrisk geometri
• K-space (funktionsanalys)
• Lokalt konvext topologiskt vektorrum – Ett vektorrum med en topologi definierad av konvexa öppna uppsättningar
• Metriskt utrymme – Matematiskt utrymme med en föreställning om avstånd
• Pseudometriskt utrymme – Generalisering av metriska utrymmen i matematik
• Relation mellan normer och mått – Matematiskt utrymme med en föreställning om avstånd Sidor som visar korta beskrivningar av omdirigeringsmål
• Seminorm – icke-negativ-reellt värderad funktion på ett verkligt eller komplext vektorutrymme som uppfyller triangelolikheten och är absolut homogena Sidor som visar wikidata-beskrivningar som en reserv
• Sublinjär funktion
• Uniform space – Topologiskt utrymme med en föreställning om enhetliga egenskaper
• Ursescu teorem – Generalisering av sluten graf, öppen kartläggning och enhetlig begränsningssats

Anteckningar

Bevis

Bibliografi

•    Berberian, Sterling K. (1974). Föreläsningar i funktionsanalys och operatorteori . Examentexter i matematik. Vol. 15. New York: Springer. ISBN 978-0-387-90081-0 . OCLC 878109401 .
•    Bourbaki, Nicolas (1987) [1981]. Topologiska vektorrum: Kapitel 1–5 . Éléments de mathématique . Översatt av Eggleston, HG; Madan, S. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4 . OCLC 17499190 .
•   Bourbaki, Nicolas (1950). "Sur sures espaces vectoriels topologiques" . Annales de l'Institut Fourier (på franska). 2 : 5-16 (1951). doi : 10.5802/aif.16 . MR 0042609 .
•    Edwards, Robert E. (1995). Funktionsanalys: teori och tillämpningar . New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6 . OCLC 30593138 .
•    Grothendieck, Alexander (1973). Topologiska vektorutrymmen . Översatt av Chaljub, Orlando. New York: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7 . OCLC 886098 .
•    Jarchow, Hans (1981). Lokalt konvexa utrymmen . Stuttgart: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4 . OCLC 8210342 .
•    Khaleelulla, SM (1982). Motexempel i topologiska vektorutrymmen . Föreläsningsanteckningar i matematik . Vol. 936. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6 . OCLC 8588370 .
•     Köthe, Gottfried (1983) [1969]. Topologiska vektorrum I . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 159. Översatt av Garling, DJH New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2 . MR 0248498 . OCLC 840293704 .
•    Köthe, Gottfried (1979). Topologiska vektorrum II . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 237. New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90400-9 . OCLC 180577972 .
•    Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topologiska vektorutrymmen . Ren och tillämpad matematik (andra upplagan). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666 . OCLC 144216834 .
•    Rudin, Walter (1991). Funktionsanalys . Internationell serie i ren och tillämpad matematik. Vol. 8 (andra upplagan). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5 . OCLC 21163277 .
•    Robertson, Alex P.; Robertson, Wendy J. (1980). Topologiska vektorutrymmen . Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 53. Cambridge England: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-29882-7 . OCLC 589250 .
•    Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topologiska vektorutrymmen . GTM . Vol. 8 (andra upplagan). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135 .
•    Schechter, Eric (1996). Handbok för analys och dess grunder . San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4 . OCLC 175294365 .
•    Swartz, Charles (1992). En introduktion till funktionsanalys . New York: M. Dekker. ISBN 978-0-8247-8643-4 . OCLC 24909067 .
•    Trèves, François (2006) [1967]. Topologiska vektorutrymmen, distributioner och kärnor . Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1 . OCLC 853623322 .
•    Wilansky, Albert (2013). Moderna metoder i topologiska vektorutrymmen . Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4 . OCLC 849801114 .
•    Husain, Taqdir (1978). Barrelledness i topologiska och ordnade vektorrum . Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09096-7 . OCLC 4493665 .