Ekvivalens (måttteori)

I matematik , och specifikt i måttteorin , är ekvivalens en föreställning om två mått som är kvalitativt lika. Specifikt är de två måtten överens om vilka händelser som har måttet noll.

Definition

Låt $\mu$ och $\nu$ vara två mått på det mätbara utrymmet $(X,{\mathcal {A}}),$ och låt

$${\mathcal {N}}_{\mu }:=\{A\in {\mathcal {A}}\mid \mu (A )=0\}$$

och

$${\mathcal {N}}_{\nu }:=\{A\in {\mathcal {A}}\mid \nu (A )=0\}$$

vara mängderna av $\mu$ - nollmängder respektive $\nu$ -nullmängder. Då sägs måttet ${\displaystyle \nu } vara$ absolut kontinuerligt med avseende på $\mu$ om och endast om ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\nu }\supseteq {\mathcal {N}}_{\mu }.} Detta$ betecknas som $\nu \ll \mu .$

De två måtten kallas ekvivalenta om och endast om $\mu \ll \nu$ och $\nu \ll \mu ,$ som betecknas som $\mu \sim \nu .$ Det vill säga två mått är ekvivalenta om de uppfyller ${\mathcal {N}}_{\mu }={\mathcal {N}}_{\nu }.$

Exempel

På den riktiga linjen

Definiera de två måtten på den verkliga linjen som

$$\mu (A)=\int _{A}\mathbf {1} _{[0,1]}(x)\mathrm {d} x$$

$$\nu (A)=\int _{A}x^{2}\mathbf {1} _{[0,1 ]}(x)\mathrm {d} x$$

för alla Borel-set $A.$ Då är $\mu$ och $\nu$ ekvivalenta, eftersom alla uppsättningar utanför $[0,1]$ har $\mu$ och $\nu$ mäter noll, och en mängd inom $[0,1]$ är en $\mu$ -nulluppsättning eller en $\nu$ -nulluppsättning exakt när det är en nollmängd med avseende på Lebesgue-måttet .

Abstrakt måttutrymme

Titta på något mätbart utrymme $(X,{\mathcal {A}})$ och låt $\mu$ vara räknemåttet , så

$$\mu (A)=|A|,$$

där $|A|$ är kardinaliteten för mängden a. Så räknemåttet har bara en nolluppsättning, vilket är den tomma uppsättningen . Det vill säga ${\mathcal {N}}_{\mu }=\{\varnothing \}.$ Så enligt den andra definitionen är alla andra mått $\nu$ ekvivalent med räknemåttet om och endast om den har också bara den tomma uppsättningen som den enda $\nu$ -noll set.

Stödåtgärder

Ett mått $\mu$ kallas ett stödmått för ett mått $\nu$ om $\mu$ är $\sigma$ -ändlig och $\nu$ är ekvivalent med $\mu .$