L-oändlighet

Den här artikeln handlar om vektorutrymmen för sekvenser och funktioner. För det ändliga dimensionella vektorrymdavståndet, se Chebyshev-avståndet .

I matematik , $\ell ^{\infty }$ , det (reella eller komplexa) vektorutrymmet för avgränsade sekvenser med den högsta normen, och ${\displaystyle L ^{\infty }=L^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )} ,$ vektorrummet för väsentligen avgränsade mätbara funktioner med den väsentliga högsta normen, är två närbesläktade Banach-rum . I själva verket är det förra ett specialfall av det senare. Som ett Banach-utrymme är de den kontinuerliga dualen av Banach-rymden $\ell _{1}$ av absolut summerbara sekvenser, och $L^{1 }=L^{1}(X,\Sigma ,\mu )$ av absolut integrerbara mätbara funktioner (om måttutrymmet uppfyller villkoren för att vara lokaliserbart och därför semifinit). Punktvis multiplikation ger dem strukturen av en Banach-algebra , och i själva verket är de standardexemplen på abeliska Von Neumann-algebror .

Sekvensutrymme

Vektorutrymmet $\ell ^{\infty }$ är ett sekvensutrymme vars element är de avgränsade sekvenserna . Vektorrymdsoperationerna, addition och skalär multiplikation, tillämpas koordinat för koordinat. Med respekt för normen

$$\|x\|_{\infty }=\sup _{n}|x_{n}|$$

$\ell ^{\infty }$ är ett standardexempel på ett Banach-mellanslag . Faktum är att $\ell ^{\infty }$ kan betraktas som $\ell ^{p}$ utrymmet med det största $p$ . Dessutom definierar varje $x\in \ell ^{\infty }$ en kontinuerlig funktion på utrymmet $\ell ^{1}$ av absolut summerbara sekvenser genom komponentvis multiplikation och summering:

$${\begin{aligned}\ell ^{\infty }&\to {\ell ^{1}}^{\vee }\\x&\mapsto (y\mapsto \sum _{i=1}^ {\infty }x_{i}y_{i})\end{aligned}}.$$

Genom att utvärdera på $(0,\ldots ,0,1,0,\ldots )$ ser vi att varje kontinuerlig linjär funktionell på $\ell ^{1 }$ uppstår på detta sätt. dvs

$${\ell ^{1}}^{\vee }=\ell ^{\infty }.$$

Men inte varje kontinuerlig linjär funktion på $\ell ^{\infty }$ härrör från en absolut summerbar serie i $\ell ^{1},$ och därmed $\ ell ^{\infty }$ är inte ett reflexivt Banach-utrymme .

Funktionsutrymme

$L^{\infty }$ är ett funktionsutrymme . Dess element är de väsentligen avgränsade mätbara funktionerna . Mer exakt definieras ${\displaystyle L^{\infty }} baserat på ett underliggande$ måttutrymme , $(S,\Sigma ,\mu ).$ Börja med uppsättningen av alla mätbara funktioner från $S$ till $\mathbb {R}$ som är väsentligen avgränsade , det vill säga begränsade förutom på en uppsättning av mått noll. Två sådana funktioner identifieras om de är lika nästan överallt. Beteckna den resulterande mängden med $L^{\infty }(S,\mu ).$

För en funktion $f$ i denna uppsättning, fungerar dess väsentliga högsta som en lämplig norm:

$$\|f\|_{\infty }\equiv \inf\{C\geq 0:|f(x)|\leq C{\text{ för nästan varje }}x\}.$$

Se $L^{p}$ utrymme för mer information.

Sekvensutrymmet är ett specialfall av funktionsutrymmet: $\ell ^{\infty }=L^{\infty }(\mathbb {N} )$ där de naturliga talen är utrustad med räknemåttet.

Ansökningar

En tillämpning av $\ell ^{\infty }$ och $L^{\infty }$ är i ekonomier med oändligt många varor. I enkla ekonomiska modeller är det vanligt att anta att det bara finns ett ändligt antal olika varor, t.ex. hus, frukter, bilar etc., så varje bunt kan representeras av en ändlig vektor, och konsumtionsmängden är ett vektorrum med en ändlig dimension. Men i verkligheten kan antalet olika varor vara oändligt. Till exempel är ett "hus" inte en enskild varutyp eftersom värdet på ett hus beror på dess läge. Så antalet olika varor är antalet olika platser, vilket kan anses vara oändligt. I detta fall representeras förbrukningsmängden naturligt av $L^{\infty }.$

Se även

• Uniform norm – Funktion i matematisk analys