Injektiv tensorprodukt

I matematik introducerades den injektiva tensorprodukten av två topologiska vektorrum (TVS) av Alexander Grothendieck och användes av honom för att definiera nukleära utrymmen . En injektiv tensorprodukt är i allmänhet inte nödvändigtvis komplett , så dess komplettering kallas för de färdiga injektiva tensorprodukterna . Injektiva tensorprodukter har applikationer utanför nukleära utrymmen. I synnerhet, som beskrivs nedan, fram till TVS-isomorfism, kan många TVS som är definierade för verkliga eller komplexa värderade funktioner, till exempel Schwartz-utrymmet eller utrymmet för kontinuerligt differentierbara funktioner, omedelbart utvidgas till funktioner som värderas lokalt i en Hausdorff konvexa TVS $Y$ utan behov av att utöka definitioner (som "differentierbara vid en punkt") från funktioner med verkliga/komplexa värden till $Y$ -värderade funktioner.

Preliminärer och notation

Låt $X,Y,$ och $Z$ vara topologiska vektorrum och $L:X\to Y$ vara en linjär karta.

• $L:X\to Y$ är en topologisk homomorfism eller homomorfism , om den är linjär, kontinuerlig och $L:X\to \operatorname {Im} L$ är en öppen karta , där $\operatorname {Im} L=L(X)$ har subrymdstopologin inducerad av $Y$
  • If $S$ är ett delrum av $X$ så är både kvotmappen $X\to X/S$ och den kanoniska injektionen $S\to X$ homomorfismer. Speciellt kan vilken linjär karta som helst $L:X\to Y$ kanoniskt dekomponeras enligt följande: $X\to X/ \ker L{\overset {L_{0}}{\rightarrow }}\operatörsnamn {Im} L\to Y$ där $L_{0}( x+\ker L):=L(x)$ definierar en bijektion.
• Uppsättningen av kontinuerliga linjära kartor $X\to Z$ (resp. kontinuerliga bilinjära kartor $X\times Y\to Z$ ) kommer att betecknas med $L(X;Z)$ (resp. $B(X,Y;Z)$ ) där om $Z$ är det skalära fältet så kan vi istället skriv $L(X)$ (resp. $B(X,Y)$ ).
• Uppsättningen av separata kontinuerliga bilinjära kartor $X\times Y\to Z$ (det vill säga kontinuerliga i varje variabel när den andra variabeln är fixerad) kommer att betecknas med ${\mathcal {B}}(X,Y;Z)$ där om $Z$ är det skalära fältet kan vi istället skriva ${\mathcal {B}}(X,Y).$
• Vi kommer att beteckna det kontinuerliga dubbla rummet för $X$ med $X^{\prime }$ eller $X^{\prime }$ och det algebraiska dubbla rummet (som är vektorn utrymme för alla linjära funktionaler på $X,$ oavsett om det är kontinuerligt eller inte) med $X^{\#}.$
  • För att öka klarheten i expositionen använder vi den vanliga konventionen att skriva element av $X^{\prime }$ med ett primtal efter symbolen (till exempel, $x^{\prime }$ betecknar ett element av $X^{\prime }$ och inte, säg, en derivata och variablerna $x$ och $x^{\prime }$ behöver inte vara relaterat på något sätt).

Notation för topologier

Huvudartiklar: Topologi för enhetlig konvergens och Mackey-topologi

• $\sigma \left(X,X^{\prime }\right)$ betecknar den grövre topologin på $X$ vilket gör varje karta i $X^{ \prime }$ kontinuerlig och $X_{\sigma \left(X,X^{\prime }\right)}$ eller $X_{\sigma }$ anger $X$ utrustad med denna topologi .
• $\sigma \left(X^{\prime },X\right)$ betecknar svag-* topologi på $X^{\prime }$ och $X_{\sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ eller $X_{\sigma }^{\prime }$ anger ${\ displaystyle X^{\prime }}$ utrustad med denna topologi .
  • Observera att varje $x_{0}\in X$ inducerar en karta $X^{\prime }\to \mathbb {R}$ definierad av $\lambda \mapsto \lambda \left(x_{0}\right).$$\sigma \left(X^{\prime },X\right)$ är grövsta topologin på X′ gör alla sådana kartor kontinuerliga.
• $b\left(X,X^{\prime }\right)$ anger topologin för gränsad konvergens på $X$ och ${\ displaystyle X_{b\left(X,X^{\prime }\right)}}$ eller $X_{b}$ betecknar $X$ som har denna topologi .
• $b\left(X^{\prime },X\right)$ betecknar topologin för avgränsad konvergens på $X^{\prime }$ eller den starka dubbla topologin på $X^{\prime }$ och $X_{b\left(X^{\prime },X\right)}$ eller ${\ displaystyle X_{b}^{\prime }}$ betecknar $X^{\prime }$ utrustad med denna topologi .
  • Som vanligt, om $X^{\prime }$ betraktas som ett topologiskt vektorrum men det inte har klargjorts vilken topologi det är försett med, kommer topologin att antas vara $b\left(X^{\prime },X\right).$
• $\tau \left(X,X^{\prime }\right)$ betecknar Mackey-topologin på $X$ eller topologin för enhetlig konvergens på den konvexa balanserade svagt kompakta delmängder av $X^{\prime }$ och $X_{\tau \left(X,X^{\prime }\right)}$ eller ${ \displaystyle X_{\tau }}$ betecknar $X$ med denna topologi. $\tau (X,X^{\prime })$ är den finaste lokalt konvexa TVS-topologin på $X$ vars kontinuerliga dubbelrum är lika med $X^{\prime }.$
• $\tau \left(X^{\prime },X\right)$ anger Mackey-topologin på $X^{\prime }$ eller topologin för enhetlig konvergens på de konvexa balanserade svagt kompakta delmängderna av $X$ och $X_{\tau \left(X^{\prime },X\right)}$ eller $X_{\tau }^{\prime }$ betecknar $X$ som har denna topologi.
  • Observera att $\tau \left(X^{\prime },X\right)\subseteq b\left(X^{\prime},X\right)\subseteq \tau \left(X^{\prime }, X^{\prime \prime }\right).$
• $\varepsilon \left(X,X^{\prime }\right)$ betecknar topologin för enhetlig konvergens på ekvikontinuerliga delmängder av $X^{\prime }$ och $X_{\varepsilon \left(X,X^{\prime }\right)}$ eller $X_{\varepsilon }$ anger $X$ utrustad med denna topologi .
  • Om $H$ är en uppsättning linjära mappningar $X\to Y$ så är $H$ ekvikontinuerlig om och endast om den är ekvikontinuerlig vid origo; det vill säga om och endast om det för varje område $V$ av ursprunget i $Y,$ finns ett område $U$ av ursprunget i $X$ så att $\lambda (U)\subseteq V$ för varje $\lambda \in H.$
• En uppsättning $H$ av linjära kartor från $X$ till $Y$ kallas ekvikontinuerlig om för varje grannskap $V$ av ursprunget i $Y,$ det finns en grannskap $U$ av ursprunget i $X$ så att $h(U)\subseteq V$ för alla $h\in H.$

Definition

Låt $X$ och ${\displaystyle Y} genomgående$ vara topologiska vektorrum med kontinuerliga dubbla rum $X^{\prime }$ och $Y^{\prime }.$ Observera att nästan alla resultat som beskrivs är oberoende av om dessa vektorrum är över $\mathbb {R}$ eller $\mathbb {C}$ men för att förenkla expositionen kommer vi att anta att de ligger över fältet $\mathbb {C} .$

Kontinuerliga bilinjära kartor som en tensorprodukt

Även om frågan om huruvida ett vektorrum är en tensorprodukt av två andra vektorrum är en rent algebraisk sådan (det vill säga svaret beror inte på topologierna för $X$ eller $Y$ ), ändå vektorrummet ${\displaystyle B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)} för$ kontinuerlig bilinjära funktionaler är alltid en tensorprodukt av $X$ och $Y,$ som nu beskrivs.

För varje $(x,y)\i X\ gånger Y$ definierar vi nu en bilinjär form, betecknad med symbolen $x\otimes y,$ från $X^{\prime }\ gånger Y^{\prime }$ till det underliggande fältet (det vill säga ${\displaystyle x\otimes y :X^{\prime }\ gånger Y^{\prime }\to \mathbb {C} } )$ av

$$(x\otimes y)\left(x^{\prime },y^{\prime }\right):=x^{\prime }(x)y^{\prime }(y).$$

Detta inducerar en kanonisk karta

$$\cdot \otimes \cdot :X\times Y\to {\mathcal {B}}\left(X_{\sigma }^ {\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)$$

definieras genom att skicka $(x,y)\in X\ gånger Y$ till den bilinjära formen $x\otimes y.$${\displaystyle B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right).} Följande teorem kan användas för att verifiera$ för denna karta är att ${\displaystyle B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)} tillsammans med kartan ovan ⊗ {\displaystyle \,\otimes$ \ $}$ är en tensorprodukt av $X$ och $Y.$

Teorem — Låt $X,Y,$ och $Z$ vara vektorrum och låt $T:X\ gånger Y\to Z$ vara en bilinjär Karta. Då $(Z,T)$ en tensorprodukt av $X$ och $Y$ om och endast om bilden av $T$ sträcker sig över hela $Z,$ och även $X$ och $Y$ är $T$ -linjärt disjunkta , vilket betyder att för alla positiva heltal $n$ och alla element $x_{1},\ldots ,x_{n}\in X$ och $y_{1},\ldots ,y_{ n}\in Y$ så att $\sum _{i=1}^{n}T\left(x_{i},y_{i }\right)=0,$

1. om alla $x_{1},\ldots ,x_{n}$ är linjärt oberoende så är alla ${\displaystyle y_{i}} ,$$\displaystyle 0,}$ och
2. om alla $y_{1},\ldots ,y_{n}$ är linjärt oberoende så är alla $x_{i}$$0.$

På motsvarande sätt är $X$ och $Y$$T$ -linjärt disjunkta om och endast om för alla linjärt oberoende sekvenser $x_{1},\ ldots ,x_{m}$ i $X$ och alla linjärt oberoende sekvenser $y_{1},\ldots ,y_{n}$ i $Y,$ vektorerna $\left\{T\left(x_{i},y_{j}\right):1 \leq i\leq m,1\leq j\leq n\right\}$ är linjärt oberoende.

Topologi

I fortsättningen kommer alla övervägda topologiska vektorrum att antas vara lokalt konvexa. Om $Z$ är något lokalt konvext topologiskt vektorrum, då för alla ekvikontinuerliga delmängder $G\subseteq X^{\prime }$ och $H\subseteq Y ^{\prime },$ och valfri stadsdel $N$ i $Z,$ definierar

$${\mathcal {U}}(G,H,N )=\left\{b\in {\mathcal {B}}\left(X_{b}^{\prime },Y_{b}^{\prime};Z\right)~:~b(G, H)\subseteq N\right\}$$

Varje uppsättning $b(G,H)$ är avgränsad, vilket är nödvändigt och tillräckligt för insamlingen av alla sådana ${\mathcal {U}} (G,H,N)$ för att bilda en lokalt konvex TVS-topologi på ${\mathcal {B}}\left(X_{b}^{\prime } ,Y_{b}^{\prime };Z\right)$ kallas $\varepsilon$ -topologin . Inneslutningarna

$${\mathcal {U}}(G,H,N)~\subseteq ~B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime };Z\right )~\subseteq ~{\mathcal {B}}\left(X_{b}^{\prime },Y_{b}^{\prime};Z\right).$$

håll alltid och närhelst något av dessa vektorutrymmen är försett med $\varepsilon$ -topologin kommer detta att indikeras genom att placera $\varepsilon$ som en sänkning före den inledande parentesen. Till exempel, ${\mathcal {B}}\left(X_{b}^{\prime },Y_{b}^{\prime };Z\ höger)$ utrustad med $\varepsilon$ -topologin kommer att betecknas med ${\mathcal {B}}_{\varepsilon }\left(X_{b}^{\prime },Y_{b}^{\prime};Z\right).$

I synnerhet när $Z$ är det underliggande skalära fältet då eftersom $B\left(X_{\sigma }^{\prime }, Y_{\sigma }^{\prime }\right)=X\otimes Y,$ det topologiska vektorrummet $B_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)$ kommer att betecknas med $X\otimes _{\varepsilon }Y,$ som kallas injektiv tensor produkten av $X$ och $Y.$ Denna TVS är inte nödvändigtvis komplett så dess komplettering kommer att betecknas med $X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y.$ Mellanrummet ${\mathcal {B}}\left(X_{\sigma } ^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)$ är komplett om och endast om både $X$ och $Y$ är kompletta, i vilket fall slutförandet av ${\displaystyle B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)} är ett subvektorrum, betecknat$ med $X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y,$ av ${\displaystyle {\mathcal {B}}\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right).} Om X {\displaystyle$ X $och$ Y $\ visningsstil Y}$ är normerade, så är ${\mathcal {B}}_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right).$ Och ${\mathcal {B}}_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)$ är ett Banach-mellanslag om och endast om både $X$ och $Y$ är Banach-mellanslag.

Likkontinuerliga set

En anledning till att konvergera på ekvikontinuerliga delmängder (av alla möjligheter) är följande viktiga faktum:

En uppsättning kontinuerliga linjära funktionaler $H$ på en TVS $X$ är likkontinuerlig om och endast om den finns i polären av någon grannskap $U$ av $0$ i $X$ ; det vill säga $H\subseteq U^{\circ }.$

En TVS:s topologi bestäms helt av ursprungets öppna kvarter. Detta faktum tillsammans med den bipolära satsen betyder att via operationen att ta polaren för en delmängd, " kodar" samlingen av alla ekvikontinuerliga delmängder av ${\displaystyle X^{\prime }} all information om$$X$ s givna topologi. Specifikt, distinkta LCTVS-topologier på $X$ producerar distinkta samlingar av ekvikontinuerliga delmängder och omvänt, givet en sådan samling av ekvikontinuerliga uppsättningar, kan TVS:ns ursprungliga topologi återställas genom att ta polaren för varje (likkontinuerlig) uppsättning i samlingen. Genom denna identifiering är således enhetlig konvergens på samlingen av ekvikontinuerliga delmängder väsentligen enhetlig konvergens på själva topologin hos TVS:n; detta gör att man direkt kan relatera den injektiva topologin till de givna topologierna för $X$ och $Y.$ Dessutom är topologin för ett lokalt konvext Hausdorff-rum $X$ identisk med topologin för enhetlig konvergens på de ekvikontinuerliga delmängderna av $X^{\prime }.$

Av denna anledning listar artikeln nu några egenskaper hos ekvikontinuerliga uppsättningar som är relevanta för att hantera den injektiva tensorprodukten. Genomgående $X$ och $Y$ godtyckliga TVS och $H$ är en samling linjära kartor från $X$ till $Y.$

• Om $H\subseteq L(X;Y)$ är ekvikontinuerlig så ärver subrymdstopologierna som $H$ från följande topologier på $L(X;Y)$ är identiska:
  1. topologin för prekompakt konvergens;
  2. topologin för kompakt konvergens;
  3. topologin för punktvis konvergens;
  4. topologin för punktvis konvergens på en given tät delmängd av $X.$
• En ekvikontinuerlig mängd $H\subseteq L(X;Y)$ är avgränsad i topologin för begränsad konvergens (det vill säga begränsad i $L_{ b}(X;Y)$ ). Så i synnerhet $H$ också att begränsas i varje TVS-topologi som är grövre än topologin för avgränsad konvergens.
• Om $X$ är ett hålrum och $Y$ är lokalt konvex, då för varje delmängd $H\subseteq L(X;Y),$ följande är likvärdiga:
  1. $H$ är ekvikontinuerlig;
  2. $H$ är avgränsad i topologin för punktvis konvergens (det vill säga begränsad i ${\displaystyle L_{\sigma }(X;Y)} )$ ;
  3. $H$ är avgränsad i topologin för bounded konvergens (det vill säga begränsad i ${\displaystyle L_{b}(X;Y)} )$ .

I synnerhet för att visa att en mängd $H$ är ekvikontinuerlig räcker det att visa att den är avgränsad i topologin för punktvis konvergering.

• Om $X$ är ett Baire-mellanrum så är vilken delmängd som helst $H\subseteq L(X;Y)$ som är begränsad i $L_ {\sigma }(X;Y)$ är nödvändigtvis likkontinuerlig.
• Om $X$ är separerbar , $Y$ är mätbar och $D$ är en tät delmängd av $X,$ så är topologin för punktvis konvergens på $D$ gör $L(X;Y)$ mätbar så att i synnerhet subrymdtopologin att varje ekvikontinuerlig delmängd $H\subseteq L(X; Y)$ ärver från $L_{\sigma }(X;Y)$ är mätbar.

För ekvikontinuerliga delmängder av det kontinuerliga dubbla utrymmet $X^{\prime }$ (där $Y$ nu är det underliggande skalära fältet för $X$ ), gäller följande:

• Den svaga stängningen av en ekvikontinuerlig uppsättning linjära funktionaler på $X$ är ett kompakt delrum av $X_{\sigma }^{\prime }.$
• Om $X$ är separerbar är varje svagt sluten ekvikontinuerlig delmängd av $X_{\sigma }^{\prime }$ ett mätbart kompakt utrymme när det ges den svaga topologin (det vill säga subrymdstopologi som ärvts från ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }} )$ .
• Om $X$ är ett normerbart utrymme så är en delmängd $H\subseteq X^{\prime }$ ekvikontinuerlig om och endast om den är starkt begränsad (det vill säga begränsad i $X_{b}^{\prime }$ ).
• Om $X$ är ett hålrum är följande för varje delmängd $H\subseteq X^{\prime },$ likvärdiga:
  1. $H$ är ekvikontinuerlig;
  2. $H$ är relativt kompakt i den svaga dubbla topologin;
  3. $H$ är svagt avgränsad;
  4. $H$ är starkt avgränsad.

Vi nämner några ytterligare viktiga grundläggande egenskaper som är relevanta för den injektiva tensorprodukten:

• Antag att $B:X_{1}\times X_{2}\to Y$ är en bilinjär karta där $X_{1}$ är ett Fréchet-mellanslag , $X_{2}$ är mätbar och $Y$ är lokalt konvex. Om $B$ är separat kontinuerlig så är den kontinuerlig.

Kanonisk identifiering av separat kontinuerliga bilinjära kartor med linjära kartor

Uppsättningslikheten $L\left(X_{\sigma }^{\prime };Y_{\sigma }\right)=L\ left(X_{\tau }^{\prime };Y\right)$ gäller alltid; det vill säga om $u:X^{\prime }\to Y$$u:X_{\sigma \left(X^{\prime },X\right)}^{\prime }\to Y_{\sigma \left(Y,Y^{\prime }\right) }$ en linjär karta, då är kontinuerlig om och endast om $u:X_{\tau \left(X^{\prime },X\right)}^{\prime } \to Y$ är kontinuerlig, där ${\displaystyle Y} här$ har sin ursprungliga topologi.

Det finns också en kanonisk vektorrymdisomorfism

$$J:{\mathcal {B}}\left(X_{\sigma \left(X^{\prime},X\right)}^{\prime},Y_{\sigma \left(Y^{ \prime },Y\right)}^{\prime }\right)\to L\left(X_{\sigma \left(X^{\prime},X\right)}^{\prime};Y_{ \sigma \left(Y,Y^{\prime }\right)}\right).$$

För att definiera det, för varje separat kontinuerlig bilinjär form $B$ definierad på ${\displaystyle X_{\sigma \left(X^{ \prime },X\right)}^{\prime }\ gånger Y_{\sigma \left(Y^{\prime },Y\right)}^{\prime }} och$ varje ${ \displaystyle x^{\prime }\in X^{\prime },}$ låt $B_{x^{\prime }}\in \left(Y_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }$ definieras av

$$B_{x^{\prime }}\left(y^{\prime}\right):=B\left(x^{\prime},y^{\prime}\right).$$

Eftersom $\left(Y_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }$ är kanoniskt vektorrymdisomorf till $Y$ (via den kanoniska kartan $y\mapsto$ värde vid $y$ ), $B_{x^{\prime }}$ kommer att identifieras som ett element av $Y,$ som kommer att betecknas med ${\tilde {B}}_{x^{\prime }}\in Y.$ Detta definierar en karta ${\tilde {B}}:X^{\ primtal }\to Y$ ges av $x^{\prime }\mapsto {\tilde {B}}_{x^{\prime }}$ och så är den kanoniska isomorfismen av kurs definierad av $J(B):={\tilde {B}}.$

När ${\displaystyle L\left(X_{\sigma }^{\sigma };Y_{\sigma }\right)} ges$ topologin för enhetlig konvergens på ekvikontinösa delmängder av $X^{\prime },$ blir den kanoniska kartan en TVS-isomorfism

$$J:{\mathcal {B}}_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime}\right)\to L_{\varepsilon }\left(X_{\tau }^{\prime};Y\right).$$

I synnerhet $X\otimes _{\varepsilon }Y=B_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime } ,Y_{\sigma }^{\prime }\right)$ kan kanoniskt TVS-inbäddas i $L_{\varepsilon }\left(X_{\tau }^{\ prime };Y\right)$ ; dessutom bilden i $L\left(X_{\sigma }^{\prime };Y_{\sigma }\right)$ av $X\otimes _{\varepsilon }Y=B_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\ höger)$ under den kanoniska kartan $J$ består exakt av utrymmet av kontinuerliga linjära kartor $X_{\sigma \left(X^{\prime }, X\right)}^{\prime }\to Y$ vars bild är ändlig dimensionell.

Inklusionen $L\left(X_{\tau }^{\prime };Y\right)\subseteq L\left(X_{b }^{\prime };Y\right)$ gäller alltid. Om $X$ är normerad så är $L_{\varepsilon }\left(X_{\tau }^{\prime };Y\right)$ i själva verket en ${\displaystyle L_{b}\left(X_{b}^{\prime };Y\right).} Och$ vektorunderrum om dessutom $Y$ är Banach så är $L_{b}\left(X_{b}^{\prime };Y\right)$ (även om $X$ inte är komplett).

Egenskaper

Den kanoniska kartan $\cdot \otimes \cdot :X\times Y\to {\mathcal {B}}\left(X_{\ sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)$ är alltid kontinuerlig och ε-topologin är alltid finare än π-topologin och grövre än den induktiva topologin (som är den finaste lokalt konvex TVS-topologi som gör $X\times Y\to X\otimes Y$ separat kontinuerlig). Mellanrummet $X\otimes _{\varepsilon }Y$ är Hausdorff om och endast om både $X$ och $Y$ är Hausdorff.

Om $X$ och $Y$ är normerade så är $X\otimes _{\varepsilon }Y$ normerbar i vilket fall för alla $\theta \i X\o gånger Y,$$\|\theta \|_{\varepsilon }\leq \|\theta \|_{\pi }.$

Antag att $u:X_{1}\to Y_{1}$ och $v:X_{2}\to Y_{2}$ är två linjära kartor mellan lokalt konvexa utrymmen. Om både $u$ och $v$ är kontinuerliga så är deras tensorprodukt ${\displaystyle u\otimes v:X_{1}\otimes _{\varepsilon }X_{2}\to Y_{1}\otimes _{\varepsilon }Y_{2}.} Dessutom$ :

• Om $u$ och $v$ båda är TVS-inbäddningar så är det $u{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }v:X_{1}{\widehat {\otimes}}_{\varepsilon }X_{2}\to Y_{1}{\widehat { \otimes }}_{\varepsilon }Y_{2}.$
• Om $X_{1}$ (resp. $Y_{1}$ ) är ett linjärt delrum av $X_{2}$ (resp. $Y_{ 2}$ ) då är $X_{1}\otimes _{\varepsilon }Y_{1}$ kanoniskt isomorft till ett linjärt delrum av $X_{2 }\otimes _{\varepsilon }Y_{2}$ och $X_{1}{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y_{1}$ är kanoniskt isomorf till ett linjärt delrum av $X_{2}{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y_{2}.$
• Det finns exempel på $u$ och $v$ så att både $u$ och $v$ är surjektiva homomorfismer men $u{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }v:X_{1}{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X_{2}\to Y_{1}{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y_{2}$ är inte en homomorfism.
• Om alla fyra mellanslag är normerade så är $\|u\otimes v\|_{\varepsilon }=\|u\|\|v\|.$

Relation till projektiv tensorprodukt och nukleära utrymmen

Huvudartiklar: Projective tensor product and Nuclear space

Den starkaste lokalt konvex topologi på $B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\ primtal }\right)=X\otimes Y$ gör den kanoniska kartan ${\displaystyle \cdot \otimes \cdot :X\times Y\to B \left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)} (definieras genom att skicka ( x , y )$ ∈ $y)\ i X\ gånger Y}$ till den bilinjära formen $x\otimes y$ ) kallas kontinuerlig projektiv topologi eller $\pi$ -topologin . När $B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)=X\otimes Y$ är försedd med denna topologi så kommer den att betecknas med $X\otimes _{\pi }Y$ och kallas den projektiva tensorprodukten av $X$ och $Y.$

Följande definition användes av Grothendieck för att definiera nukleära utrymmen.

Definition 0 : Låt $X$ vara ett lokalt konvext topologiskt vektorrum. Då $X$ nukleär om för något lokalt konvext utrymme $Y,$ det kanoniska vektorutrymmet som bäddar in ${\displaystyle X\otimes _{\pi }Y\to {\mathcal {B}}_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)} är$ en inbäddning av TVS vars bild är tät i koddomänen.

Kanoniska identifieringar av bilinjära och linjära kartor

I det här avsnittet beskriver vi kanoniska identifieringar mellan rum med bilinjära och linjära kartor. Dessa identifieringar kommer att användas för att definiera viktiga delrum och topologier (särskilt de som hänför sig till kärnkraftsoperatörer och nukleära utrymmen ).

Dubbla utrymmen för den injektiva tensorprodukten och dess komplettering

Anta att

$$\operatorname {In} :X\otimes _{\varepsilon }Y\to X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y$$

betecknar TVS-inbäddningen av $X\otimes _{\varepsilon }Y$ till dess komplettering och låter

$${}^{t}\operatörsnamn {In} :\left(X{\widehat {\otimes }}_{ \varepsilon }Y\right)_{b}^{\prime }\to \left(X\otimes _{\varepsilon }Y\right)_{b}^{\prime }$$

vara dess transponera , som är en vektorrymdisomorfism. Detta identifierar det kontinuerliga dubbla rummet för $X\otimes _{\varepsilon }Y$ som identiskt med det kontinuerliga dubbla rummet för $X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y.$

Identitetskartan

$$\operatorname {Id} _{X\otimes Y}:X\otimes _{\pi }Y\to X\otimes _{\varepsilon }Y$$

är kontinuerlig (enligt definitionen av π-topologin ) så det finns en unik kontinuerlig linjär förlängning

$${\hat {I}}:X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y\to X{\widehat {\otimes}}_{\varepsilon }Y.$$

Om $X$ och $Y$ är Hilbert-mellanslag då ${\displaystyle {\hat {I}}:X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y\to X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y} är$ injektiv och dualen av $X{\widehat {\otimes }}_ {\varepsilon }Y$ är kanoniskt isometriskt isomorft till vektorrymden $L^{1}\left(X;Y^{\prime }\right)$ för kärnoperatorer från $X$ till $Y$ (med spårningsnormen).

Injektiv tensorprodukt av Hilbert-utrymmen

Det finns en kanonkarta

$$K:X\otimes Y\to L\left(X^{\prime };Y\right)$$

som skickar $z=\sum _{i=1}^{n}x_{i}\otimes y_{i}$ till den linjära kartan $K(z):X^{\prime }\to Y$ definieras av

$$K(z)\left(x^{\prime }\right):=\summa _ {i=1}^{n}x^{\prime }(x_{i})y_{i}\in Y,$$

där det kan visas att definitionen av $K(z):X\to Y$ inte beror på det särskilda valet av representation ${ \textstyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}\otimes y_{i}}$ av $z.$ Kartan

$$K:X\otimes _{\varepsilon }Y\to L_{b}\left(X_{b}^{\prime };Y \höger)$$

är kontinuerlig och när $L_{b}\left(X_{b}^{\prime };Y\right)$ är komplett, har den en kontinuerlig förlängning

$${\hat {K}}:X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y\to L_{b}\left(X_{b}^{\prime};Y\right).$$

När $X$ och $Y$ är Hilbert-mellanslag då ${\displaystyle {\hat {K}}:X{\ widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y\to L_{b}\left(X_{b}^{\prime };Y\right)} är en$ TVS-inbäddning och isometri (när mellanslagen ges sina vanliga normer) vars intervall är utrymmet för alla kompakta linjära operatorer från $X$ till $Y$ (som är ett slutet vektordelrum av $L_{b }\left(X^{\prime };Y\right).$ Därför är $X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y$ identisk med utrymmet för kompakta operatorer från $X^{\prime }$ till $Y$ (notera primtal på $X$ ). Utrymmet för kompakta linjära operatorer mellan två valfria Banach-mellanslag (som inkluderar Hilbert-mellanslag ) $X$ och $Y$ är en sluten delmängd av $L_{b}(X;Y).$

Vidare, den kanoniska kartan $X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y\to X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon } Y$ är injektiv när $X$ och $Y$ är Hilbert-mellanslag.

Integralformer och operatorer

Huvudartikel: Integral linjär operator

Integrerade bilinjära former

Beteckna identitetskartan med

$$\operatorname {Id} :X\otimes _{\pi }Y\to X\otimes _{\varepsilon }Y$$

och låt

$${}^{t}\operatörsnamn {Id} :\left(X\otimes _{\varepsilon }Y\right) _{b}^{\prime }\to \left(X\otimes _{\pi}Y\right)_{b}^{\prime }$$

beteckna dess transponera , vilket är en kontinuerlig injektion. Kom ihåg att $\left(X\otimes _{\pi }Y\right)^{\prime }$ kanoniskt identifieras med $B(X ,Y),$ utrymmet för kontinuerliga bilinjära kartor på $X\times Y.$ På detta sätt kan det kontinuerliga dubbla rummet av $X\otimes _{\varepsilon }Y$ kanoniskt identifieras som ett subvektorrum av $B(X,Y),$ betecknad med $J(X,Y).$ Elementen i $J(X,Y)$ kallas integrala ( bilinjära ) former på $X\ gånger Y.$ Följande sats motiverar ordet integral .

Teorem — Den dubbla $J(X,Y)$ av $X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y$ består av exakt de kontinuerliga bilinjära former v på $X\ gånger Y$ som kan representeras i form av en karta

$$b\in B(X,Y)\mapsto v(b)=\int _{S\ gånger T}b{ \big \vert }_{S\times T}\left(x^{\prime },y^{\prime}\right)\operatörsnamn {d} \mu \left(x^{\prime },y^ {\prime }\right)$$

där $S$ och $T$ är några slutna, ekvikontinuerliga delmängder av $X_{\sigma }^{\prime }$ och $Y_{\sigma }^{\prime },$ respektive $\mu$ är ett positivt radonmått på den kompakta uppsättningen $S\times T$ med total massa $\leq 1 .$ Dessutom, om $A$ är en ekvikontinuerlig delmängd av $J(X,Y)$ så kan elementen $v\in A$ representeras med $S\times T$ fast och $\mu$ löper genom en normbegränsad delmängd av utrymmet för radonmått på $S\times T.$

Integrerade linjära operatorer

Givet en linjär karta $\Lambda :X\to Y,$ kan man definiera en kanonisk bilinjär form $B_{\Lambda }\ i Bi\left(X,Y^{\prime }\right),$ kallas den associerade bilinjära formen på $X\times Y^{\prime },$ av

$$B_{\Lambda }\left(x,y^{\prime}\right):=\left(y^{\prime}\circ \Lambda \right)(x).$$

En kontinuerlig karta $\Lambda :X\to Y$ kallas integral om dess associerade bilinjära form är en integral bilinjär form. En integralkarta $\Lambda :X\to Y$ har formen, för varje $x\in X$ och $y^{ \prime }\in Y^{\prime }:$

$$⟲$$

för lämpliga svagt slutna och ekvikontinuerliga delmängder $A^{\prime }$ och $B^{\prime \prime }$ av $X^{\prime }$ och $Y^{\prime \prime },$ respektive, och något positivt radonmått $\mu$ av total massa $\leq 1.$

Kanonisk karta till L ( X ; Y )

Det finns en kanonisk karta $K:X^{\prime }\ibland Y\to L(X;Y)$ som skickar ${\textstyle z=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{\prime }\otimes y_{i}}$ till den linjära kartan $K(z):X\to Y$ definierad av ${\textstyle K(z)(x ):=\summa _{i=1}^{n}x_{i}^{\prime }(x)y_{i}\in Y,} där det kan visas att definitionen$ av $K(z):X\to Y$ beror inte på det särskilda valet av representation ${\textstyle \sum _{i=1}^{n }x_{i}^{\prime }\otimes y_{i}}$ av $z.$

Exempel

Utrymme av sammanfattbara familjer

Se även: Serier (matematik) § Generaliseringar

Under hela det här avsnittet fixar vi några godtyckliga (möjligen oräkneliga ) uppsättningar $A,$ a TVS $X,$ och vi låter ${\mathcal {F}}(A)$ vara den riktade mängden av alla finita delmängder av $A$ riktade av inkludering $\subseteq .$

Låt $\left(x_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}$ vara en familj av element i en TVS $X$ och för varje finit delmängd $H\subseteq A,$ låt ${\textstil x_{H}:=\summa _{i\in H}x_{i}.}$ Vi kallar $\left(x_{\alpha }\right)_{\ alpha \in A}$ summeras i $X$ om gränsen ${\textstyle \lim _{H\in {\mathcal {F}}(A)}x_{H }}$ av nätet $\left(x_{H}\right)_{H\in {\mathcal {F}}(A)}$ konvergerar i ${\ displaystyle X}$ till något element (vilket som helst sådant element kallas dess summa ). Uppsättningen av alla sådana summerbara familjer är ett vektordelrum av $X^{A}$ betecknat med $S.$

Vi definierar nu en topologi på $S$ på ett mycket naturligt sätt. Denna topologi visar sig vara den injektiva topologin hämtad från $l^{1}(A){\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X$ och överförd till $S$ via en kanonisk vektorrymdisomorfism (den uppenbara). Detta är en vanlig företeelse när man studerar de injektiva och projektiva tensorprodukterna av funktions-/sekvensutrymmen och TVS:er: det "naturliga sättet" på vilket man skulle definiera (från grunden) en topologi på en sådan tensorprodukt är ofta ekvivalent med den injektiva eller projektiva tensorprodukttopologi .

Låt ${\mathfrak {U}}$ beteckna en bas av konvexa balanserade områden på 0 i $X$ och för varje $U\in {\mathfrak {U}},$ låt $\mu _{U}:X\to \mathbb {R}$ beteckna dess Minkowski-funktion . För alla sådana $U$ och alla $x=\left(x_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}\in S ,$ låt

$$q_{U}(x):=\sup _{x^{\prime }\in U^{\circ }}\summa _{\alpha \in A}\left|\left\langle x^ {\prime },x_{\alpha }\right\rangle \right|$$

där $q_{U}$ definierar en seminorm på $S.$ Familjen av seminormer $\left\{q_{U}:U\in {\mathfrak {U}}\right\}$ genererar en topologi som gör $S$ till ett lokalt konvext utrymme. Vektorutrymmet $S$ som har denna topologi kommer att betecknas med $l^{1}(A,X).$ Specialfallet där $X$ är det skalära fältet kommer att betecknas med $l^{1}(A).$

Det finns en kanonisk inbäddning av vektorrum $l^{1}(A)\otimes X\to l^{1}(A,E)$ definieras genom att linjärisera den bilinjära kartan $l^{1}(A)\ gånger X\till l^{1}(A,E)$ definierad av $\left(\left(r_{\alpha}\right)_{\alpha \in A},x\right)\mapsto \left(r_{\alpha}x\right)_{\alpha \in A}.$

Sats : — Den kanoniska inbäddningen (av vektorrum) $l^{1}(A)\otillfällen X\to l^{1}(A, E)$ blir en inbäddning av topologiska vektorrum $l^{1}(A)\otimes _{\varepsilon }X\to l^{ 1}(A,E)$ när $l^{1}(A)\otimes X$ ges den injektiva topologin och dessutom är dess omfång tätt i sin kodomän. Om ${\hat {X}}$ är en komplettering av $X$ så är den kontinuerliga förlängningen ${\displaystyle$ inbäddning $l^{1}(A)\otimes _{\varepsilon }X\to l^{1}\vänster (A,X\right)\subseteq l^{1}\left(A,{\hat {X}}\right)$ är en isomorfism av TVS. Så i synnerhet, om $X$ är komplett så är l $\displaystyle l^{1}(A){\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X}$ kanoniskt isomorf till $l^{1}(A,E).$

Utrymme av kontinuerligt differentierbara vektorvärderade funktioner

Huvudartikel: Differentiera vektorvärdade funktioner från det euklidiska rymden

Låt $\Omega$ vara en öppen delmängd av $\mathbb {R} ^{n},$ där $n\geq 1$ är ett heltal och låt $Y$ vara ett lokalt konvext topologiskt vektorrum (TVS).

Definition Antag att $p^{0}=\left(p_{1}^{0},\ldots ,p_{n}^{0}\right) \in \Omega$ och $f:\operatörsnamn {Dom} f\to Y$ är en funktion sådan att $p^{0}\in \operatörsnamn {Dom} f$ med $p^{0}$ en gränspunkt för $\operatorname {Dom} f.$ Säg att $f$ är differentierbar vid $p^{0}$ om det finns $n$ vektorer ${ \displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ i $Y,$ kallas partiella derivator av $f$ , så att

$$\lim _{ \stackrel {p\to p^{0},}{p\in \operatörsnamn {domän} f}}{\frac {f(p)-f\left(p^{0}\right)-\summa _ {i=1}^{n}\left(p_{i}-p_{i}^{0}\right)e_{i}}{\left\|pp^{0}\right\|_{2 }}}=0{\text{ i }}Y$$

där $p=\left(p_{1},\ldots ,p_{n}\right).$

Man kan naturligtvis utvidga begreppet kontinuerligt differentierbar funktion till $Y$ -värderade funktioner definierade på $\Omega .$ För alla $k=0,1,\ldots ,\infty ,$ låt $C^{k} (\Omega ;Y)$ betecknar vektorrymden för alla $C^{k}$$Y$ -värderade kartor definierade på $\Omega$ och låt $C_{c}^{k}(\Omega ;Y)$ betecknar vektordelrummet för $C^{k}(\Omega ;Y)$ bestående av alla kartor i $C^{k}(\Omega ;Y)$ som har kompakt stöd.

Man kan sedan definiera topologier på $C^{k}(\Omega ;Y)$ och $C_{c}^{k}(\ Omega ;Y)$ på samma sätt som topologierna på $C^{k}(\Omega )$ och $C_{c}^{k}( \Omega )$ är definierade för utrymmet för distributioner och testfunktioner (se artikeln: Differentiable vector-valued functions from Euclidean space ) . Allt detta arbete med att utöka definitionen av differentiabilitet och olika topologier visar sig vara exakt likvärdigt med att helt enkelt ta den färdiga injektiv tensorprodukten:

Teorem — Om $Y$ är ett komplett Hausdorff lokalt konvext utrymme, så är $C^{k}(\Omega ;Y)$ kanoniskt isomorf till den injektiva tensorprodukten $C^{k}(\Omega ){\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y.$

Utrymmen med kontinuerliga kartor från ett kompakt utrymme

Om $Y$ är ett normerat utrymme och om $K$ är en kompakt mängd, då $\varepsilon$ -normen på $C(K)\ ibland är Y$ lika med ${\textstyle \|f\|_{\varepsilon }=\sup _{x\in K}\|f(x)\|.} Om$ H $\displaystyle H}$ och $K$ är två kompakta mellanslag, sedan $C(H\times K)\cong C(H){\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }C(K),$ där denna kanoniska karta är en isomorfism av Banach-rum.

Mellanrum av sekvenser som konvergerar till 0

Om $Y$ är ett normerat mellanslag, låt $l_{\infty }(Y)$ beteckna utrymmet för alla sekvenser ( $\displaystyle \left (y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ i $Y$ som konvergerar till ursprunget och ger detta utrymme normen ‖ $\left\|\left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty}\right\|:=\sup _{i\in \mathbb {N} }\left\ |y_{i}\right\|.$ Låt $l_{\infty }$ beteckna $l_{\infty }\left(\mathbb {C} \right).$ Sedan för alla Banach-mellanslag $Y,$$l_{\infty }{\ widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y$ är kanoniskt isometriskt isomorft till $l_{\infty }(Y).$

Schwartz funktionsutrymme

Se även: Schwartz-rymden och differentierbara vektorvärderade funktioner från det euklidiska rummet

Vi kommer nu att generalisera Schwartz-utrymmet till funktioner som värderas i en TVS. Låt ${\mathcal {L}}\left(\mathbb {R} ^{n};Y\right)$ vara mellanrummet för alla $f\in C^{\infty }\left(\mathbb {R} ^{n};Y\right)$ så att för alla par av polynom $P$ och $Q$ i $n$ variabler, $\left\{P(x)Q\left(\partial / \partial x\right)f(x):x\in \mathbb {R} ^{n}\right\}$ är en begränsad delmängd av $Y.$ För att generalisera topologin för Schwartz-rymden till ${\mathcal {L}}\left(\mathbb {R} ^{n};Y\right) ,$ ger vi ${\mathcal {L}}\left(\mathbb {R} ^{n};Y\right)$ topologin för enhetlig konvergens över $\mathbb {R} ^{n}$ av funktionerna $P(x)Q\left(\partial /\partial x\right)f (x),$ eftersom $P$ och $Q$ varierar över alla möjliga polynompar i $n$ variabler.

Teorem — Om $Y$ är ett fullständigt lokalt konvext utrymme, då $}$${\displaystyle {\mathcal {L}}\left(\mathbb {R} ^{n};Y\right$${\mathcal {L}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right){\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y.$ kanoniskt isomorft till

Se även

• Extra normerat utrymme
• Slutlig topologi – Finaste topologin som gör vissa funktioner kontinuerliga
• Induktiv tensorprodukt
• Integral karta
• Kärnkraftsoperatör
• Kärnrum – En generalisering av ändliga dimensionella euklidiska rum som skiljer sig från Hilbert-rum
• Projektiv tensorprodukt – Den projektiva tensorprodukten av två topologiska vektorrum Sidor som visar wikidata-beskrivningar som en reserv
• Topologisk tensorprodukt – Tensorproduktkonstruktioner för topologiska vektorrum

Bibliografi

•    Diestel, Joe (2008). Den metriska teorin om tensorprodukter: Grothendiecks CV återbesökt . Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4440-3 . OCLC 185095773 .
•    Dubinsky, Ed (1979). Strukturen av kärnkraftsfréchet-utrymmen . Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09504-7 . OCLC 5126156 .
•    Grothendieck, Grothendieck (1966). Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires (på franska). Providence: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1216-5 . OCLC 1315788 .
•    Husain, Taqdir (1978). Barrelledness i topologiska och ordnade vektorrum . Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09096-7 . OCLC 4493665 .
•    Khaleelulla, SM (1982). Motexempel i topologiska vektorutrymmen . Föreläsningsanteckningar i matematik . Vol. 936. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6 . OCLC 8588370 .
•    Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topologiska vektorutrymmen . Ren och tillämpad matematik (andra upplagan). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666 . OCLC 144216834 .
•    Nlend, H (1977). Bornologier och funktionsanalys: introduktionskurs om teorin om dualitetstopologi-bornologi och dess användning i funktionsanalys . Amsterdam New York New York: North-Holland Pub. Co. Ensamdistributörer för USA och Kanada, Elsevier-North Holland. ISBN 0-7204-0712-5 . OCLC 2798822 .
•    Nlend, H (1981). Kärn- och konukleära utrymmen: introduktionskurser om nukleära och konukleära utrymmen i ljuset av dualiteten . Amsterdam New York New York, NY: North-Holland Pub. Co. Ensamdistributörer för USA och Kanada, Elsevier North-Holland. ISBN 0-444-86207-2 . OCLC 7553061 .
•    Pietsch, Albrecht (1972). Nukleära lokalt konvexa utrymmen . Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-05644-0 . OCLC 539541 .
•    Robertson, AP (1973). Topologiska vektorrum . Cambridge England: University Press. ISBN 0-521-29882-2 . OCLC 589250 .
•    Ryan, Raymond (2002). Introduktion till tensorprodukter från Banach-utrymmen . London New York: Springer. ISBN 1-85233-437-1 . OCLC 48092184 .
•    Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topologiska vektorutrymmen . GTM . Vol. 8 (andra upplagan). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135 .
•    Trèves, François (2006) [1967]. Topologiska vektorutrymmen, distributioner och kärnor . Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1 . OCLC 853623322 .
•    Wong (1979). Schwartz-rymden, nukleära utrymmen och tensorprodukter . Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09513-6 . OCLC 5126158 .

externa länkar

• Nukleärt utrymme vid ncatlab