M. Riesz förlängningssats

För fler satser som ibland kallas Riesz sats, se Riesz sats .

M. Riesz förlängning teorem är ett teorem i matematik , bevisat av Marcel Riesz under hans studie av problemet med ögonblick .

Formulering

Låt $E$ vara ett reellt vektorrum , $F\subset E$ vara ett vektordelrum , och $K\subset E$ vara en konvex kon .

En linjär funktionell $\phi :F\to \mathbb {R}$ kallas $K$ - positiv , om den endast tar icke-negativa värden på konen $K$ :

$\phi (x)\geq 0\quad {\text{för}}\quad x\in F\cap K.$

En linjär funktionell $\psi :E\to \mathbb {R}$ kallas en $K$ -positiv förlängning av $\phi$ , om den är identisk med $\phi$ i domänen för $\phi$ , och returnerar även ett värde på minst 0 för alla punkter i konen $K$ :

$\psi |_{F}=\phi \quad {\text{and}}\quad \psi (x)\geq 0\quad {\text{för}}\quad x\in K.$

I allmänhet kan en $K$ -positiv linjär funktion på $F$ inte utökas till en $K$ -positiv linjär funktion på $E$ . Redan i två dimensioner får man ett motexempel. Låt $E=\mathbb {R} ^{2},\ K=\{( x,y):y>0\}\cup \{(x,0):x>0\},$ och $F$ är $x$ -axeln. Den positiva funktionella $\phi (x,0)=x$ kan inte utökas till en positiv funktion på $E$ .

Förlängningen existerar dock under det ytterligare antagandet att $E\subset K+F,$ nämligen för varje $y\in E,$ finns det en ${ \displaystyle x\in F}$ så att $yx\in K.$

Bevis

Beviset liknar beviset för Hahn–Banach-satsen (se även nedan).

Genom transfinit induktion eller Zorns lemma är det tillräckligt att betrakta fallet dim $E/F=1$ .

Välj valfri $y\in E\setminus F$ . Uppsättning

$a=\sup\{\,\phi (x)\mid x\in F,\ yx\in K\,\},\ b=\inf\{\,\phi (x)\mid x \i F,xy\i K\,\}.$

Vi kommer att bevisa nedan att $-\infty <a\leq b$ . För nu, välj vilken ${\displaystyle c} som helst$ som uppfyller $a\leq c\leq b$ , och ställ in $\psi (y)=c$ , $\psi |_{F}=\phi$ , och utöka sedan $\psi$ till hela $E$ med linjäritet. Vi måste visa att $\psi$ är $K$ -positiv. Antag att $z\in K$ . Då är antingen $z=0$ , eller $z=p(x+y)$ eller $z=p(xy )$ för vissa $p>0$ och $x\in F$ . Om $z=0$ , då $\psi (z)>0$ . I det första återstående fallet ${\displaystyle x+y=y-(-x)\in K} ,$ och så

$\psi (y)=c\geq a\geq \phi (-x)=\psi (-x)$

per definition. Således

$\psi (z)=p\psi (x+y)=p(\psi (x)+\psi (y))\geq 0.$

I det andra fallet, $xy\in K$ , och så liknande

$\psi (y)=c\leq b\leq \phi (x)=\psi (x)$

per definition och så

$\psi (z)=p\psi (xy)=p(\psi (x) )-\psi (y))\geq 0.$

I alla fall är $\psi (z)>0$ , och så är $\psi$$K$ -positiv.

Vi bevisar nu att $-\infty <a\leq b$ . Meddelande genom antagande att det finns minst en $x\in F$ för vilken ${\displaystyle yx\in K} ,$ och så $-\infty <a$ . Det kan dock vara så att det inte finns några $x\in F$ för vilka $xy\in K$ , i vilket fall $b=\ infty$ och ojämlikheten är trivial (märk i det här fallet att det tredje fallet ovan inte kan hända). Därför kan vi anta att $b<\infty$ och det finns minst en $x\in F$ för vilken $xy\in K$ . För att bevisa olikheten räcker det att visa att när $x\in F$ och $yx\in K$ , och $x'\in F$ och $x'-y\in K$ , sedan $\phi (x)\leq \phi (x')$ . Verkligen,

$x'-x=(x'-y)+(yx)\in K$

eftersom $K$ är en konvex kon, och så

$0\leq \phi (x'-x)=\phi (x')-\phi (x)$

eftersom $\phi$ är $K$ -positiv.

Följd: Kreins förlängningssats

  Låt E vara ett reellt linjärt rum och låt K ⊂ E vara en konvex kon . Låt x ∈ E \(− K ) vara sådan att R x + K = E . Då finns det en K -positiv linjär funktionell φ : E → R så att φ ( x ) > 0.

Koppling till Hahn–Banachs sats

Huvudartikel: Hahn–Banachs teorem

Hahn–Banach-satsen kan härledas från M. Riesz förlängningssats.

Låt V vara ett linjärt rum och låt N vara en sublinjär funktion på V . Låt φ vara en funktion på ett delrum U ⊂ V som domineras av N :

$\phi (x)\leq N(x),\quad x\in U.$

Hahn–Banach-satsen hävdar att φ kan utökas till en linjär funktional på V som domineras av N .

För att härleda detta från M. Riesz förlängningssats, definiera en konvex kon K ⊂ R × V med

$K=\left\{(a,x)\,\mid \,N(x)\leq a\right\}.$

Definiera en funktionell φ ₁ på R × U by

$\phi _{1}(a,x)=a-\phi (x).$

Man kan se att φ ₁ är K -positiv, och att K + ( R × U ) = R × V . Därför φ ₁ utökas till en K -positiv funktionell ψ ₁ på R × V . Sedan

$\psi (x)=-\psi _{1}(0,x)$

är den önskade förlängningen av φ . Faktum är att om ψ ( x ) > N ( x ), har vi: ( N ( x ), x ) ∈ K , medan

$\psi _{1}(N(x),x)=N(x)-\psi (x) <0,$

leder till en motsägelse.

Anteckningar

• Castillo, Reńe E. (2005), "A note on Krein's theorem" (PDF) , Lecturas Matematicas , 26 , arkiverad från originalet (PDF) 2014-02-01 , hämtad 2014-01-18
•   Riesz, M. (1923), "Sur le problème des moments. III.", Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik (på franska), 17 (16), JFM 49.0195.01
•   Akhiezer, NI (1965), Det klassiska ögonblicksproblemet och några relaterade frågor i analys , New York: Hafner Publishing Co., MR 0184042