Desintegrationssats

Inom matematiken är sönderdelningssatsen ett resultat i måttteori och sannolikhetsteori . Den definierar rigoröst idén om en icke-trivial "begränsning" av ett mått till en mått noll- delmängd av måttutrymmet i fråga. Det är relaterat till förekomsten av villkorade sannolikhetsmått . På sätt och vis är "sönderfall" den motsatta processen till konstruktionen av ett produktmått .

Motivering

Betrakta enhetskvadraten i det euklidiska planet R ² , S = [0, 1] × [0, 1] . Betrakta sannolikhetsmåttet μ definierat på S genom begränsningen av tvådimensionellt Lebesguemått λ ² till S . Det vill säga sannolikheten för en händelse E ⊆ S är helt enkelt arean av E . Vi antar att E är en mätbar delmängd av S .

Betrakta en endimensionell delmängd av S som linjesegmentet L _x = { x } × [0, 1]. L _x har μ-mått noll; varje delmängd av L _x är en μ- nollmängd ; eftersom Lebesgue-måttutrymmet är ett komplett måttutrymme ,

$$E\subseteq L_{x}\implies \mu (E)=0.$$

Även om det är sant, är detta något otillfredsställande. Det skulle vara trevligt att säga att μ "begränsad till" L _x är det endimensionella Lebesgue-måttet λ ¹ , snarare än nollmåttet . Sannolikheten för en "tvådimensionell" händelse E skulle då kunna erhållas som en integral av de endimensionella sannolikheterna för de vertikala "skivorna" E ∩ L _x : mer formellt, om μ _x betecknar ettdimensionellt Lebesgue-mått på L _x , då

$$\mu (E)=\int _{[0,1]}\mu _{x}(E\cap L_ {x})\,\mathrm {d} x$$

för alla "snälla" E ⊆ S . Desintegrationssatsen gör detta argument rigoröst i samband med mått på metriska utrymmen .

Uttalande av satsen

(Härefter kommer P ( X ) att beteckna samlingen av Borels sannolikhetsmått på ett topologiskt utrymme ( X , T ).) Antagandena för satsen är följande:

• Låt Y och X vara två radonrum (dvs. ett topologiskt utrymme så att varje Borel -sannolikhetsmått på M är inre regelbundna , t.ex. separerbara metriska utrymmen där varje sannolikhetsmått är ett radonmått ).
• Låt μ ∈ P ( Y ).
• Låt π : Y → X vara en Borel- mätbar funktion . Här bör man tänka på π som en funktion för att "sönderdela" Y , i betydelsen att partitionera Y i $\{\pi ^{-1}(x)\ |\ x\in X\}$ . Till exempel, för det motiverande exemplet ovan, kan man definiera $\pi ((a,b))=a,(a,b)\in [0,1]\ gånger [0,1 ]$ , vilket ger att $\pi ^{-1}(a)=a\ gånger [0,1]$ , en skiva vi vill fånga.
• Låt $\nu$ ∈ P ( X ) vara frammatningsmåttet ν = π _∗ (μ) = μ ∘ π ⁻¹ . Detta mått ger fördelningen av x (vilket motsvarar händelserna ${\displaystyle \pi ^{-1}(x)} )$ .

Slutsatsen av satsen: Det finns en $\nu$ - nästan överallt unikt bestämd familj av sannolikhetsmått {μ _x } _{x ∈ X} ⊆ P ( Y ), som ger en "sönderdelning" av $\ mu$ till ${\displaystyle \{\mu _{x}\}_{x\in X}} ,$ så att:

• funktionen $x\mapsto \mu _{x}$ är Borel-mätbar, i den meningen att $x\mapsto \mu _{x}(B)$ är en Borel-mätbar funktion för varje Borel-mätbar uppsättning B ⊆ Y ;
• μ _x "lever på" fibern π ⁻¹ ( x ): för $\nu$ - nästan alla x ∈ X ,
  $$\mu _{x}\left(Y\setminus \pi ^{-1}(x)\right)=0,$$
  och så μ _x ( E ) = μ _x ( E ∩ π ⁻¹ ( x ));
• för varje Borel-mätbar funktion f : Y → [0, ∞],
  $$\int _{Y}f(y)\,\mathrm {d} \mu (y)=\int _{X}\int _{\pi ^{-1}(x)}f(y )\,\mathrm {d} \mu _{x}(y)\mathrm {d} \nu (x).$$
  I synnerhet, för alla händelser E ⊆ Y , med f för att vara indikatorfunktionen för E ,
  $$\mu (E)=\int _{X}\mu _{x}\left(E\right)\,\mathrm {d} \nu (x).$$

Ansökningar

Produktutrymmen

Det ursprungliga exemplet var ett specialfall av problemet med produktutrymmen, som sönderdelningsteoremet gäller.

När Y skrivs som en kartesisk produkt Y = X ₁ × X ₂ och π _i : Y → X _i är den naturliga projektionen , då kan varje fiber π ₁ ⁻¹ ( x _{1 )} kanoniskt identifieras med X ₂ och det finns en Borels familj av sannolikhetsmått $\{\mu _{x_{1}}\}_{x_{1}\in X_{1}}$ i P ( X ₂ ) (som är (π ₁ ) _∗ (μ )-nästan överallt unikt bestämt) sådan att

$$\mu =\int _{X_{1}}\mu _{x_{1}}\,\mu \left(\pi _{1}^{-1}(\mathrm {d} x_{ 1})\right)=\int _{X_{1}}\mu _{x_{1}}\,\mathrm {d} (\pi _{1})_{*}(\mu )(x_ {1}),$$

vilket i synnerhet är

$$\int _{X_{1}\ gånger X_{2}}f(x_{1},x_{2})\,\mu (\mathrm {d} x_ {1},\mathrm {d} x_{2})=\int _{X_{1}}\left(\int _{X_{2}}f(x_{1},x_{2})\mu (\mathrm {d} x_{2}|x_{1})\right)\mu \left(\pi _{1}^{-1}(\mathrm {d} x_{1})\right)$$

och

$$\mu (A\ gånger B)=\int _{A}\mu \left(B|x_{1}\right)\,\mu \left(\pi _{1}^{-1} (\mathrm {d} x_{1})\right).$$

Relationen till betingad förväntan ges av identiteterna

$$\operatörsnamn {E} (f|\pi _{1 })(x_{1})=\int _{X_{2}}f(x_{1},x_{2})\mu (\mathrm {d} x_{2}|x_{1}),$$

$$\mu (A\ gånger B|\pi _{1})(x_{1})=1_{A}(x_{1})\cdot \mu (B|x_{1}).$$

Vektorkalkyl

Desintegrationssatsen kan också ses som motiverar användningen av ett "begränsat" mått i vektorkalkyl . Till exempel, i Stokes sats som tillämpas på ett vektorfält som flyter genom en kompakt yta Σ ⊂ R ³ , är det underförstått att det "rätta" måttet på Σ är sönderfallet av det tredimensionella Lebesgue-måttet λ ³ på Σ, och att sönderdelningen av detta mått på ∂Σ är densamma som sönderdelningen av λ ³ på ∂Σ.

Villkorliga distributioner

Disintegrationssatsen kan tillämpas för att ge en rigorös behandling av betingade sannolikhetsfördelningar i statistik, samtidigt som man undviker rent abstrakta formuleringar av betingad sannolikhet.

Se även

• Ionescu-Tulceas sats
• Gemensam sannolikhetsfördelning – Typ av sannolikhetsfördelning
• Copula (statistik) – Statistisk fördelning för beroende mellan slumpvariabler Sidor som visar korta beskrivningar av omdirigeringsmål
• Villkorlig förväntan – Förväntat värde för en slumpvariabel givet att vissa förhållanden är kända för att inträffa
• Regelbunden betingad sannolikhet