Grothendieck utrymme

Inom matematiken är ett Grothendieck-rum , uppkallat efter Alexander Grothendieck , ett Banach-rum $X$ där varje sekvens i dess kontinuerliga dubbla rymd $X^{\prime }$ som konvergerar i svag-* topologi ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)} ($ även känd som topologin för punktvis konvergens) kommer också att konvergera när $X^{ \prime }$ är utrustad med $\sigma \left(X^{\prime },X^{\prime \prime }\right),$ som är den svaga topologin inducerad på $X^{\prime }$ av dess bidual . Sagt annorlunda, ett Grothendieck-rum är ett Banach-rum för vilket en sekvens i sitt dubbla rum konvergerar svagt-* om och bara om den konvergerar svagt.

Karakteriseringar

Låt $X$ vara ett Banach-mellanslag. Då är följande villkor likvärdiga:

1. $X$ är ett Grothendieck-utrymme,
2. för varje separerbart Banach-mellanslag $Y,$ är varje avgränsad linjär operator från $X$ till $Y$ svagt kompakt , det vill säga bilden av en avgränsad delmängd av $X$ är en svagt kompakt delmängd av $Y.$
3. för varje svagt kompakt genererat Banach-utrymme $Y,$ är varje avgränsad linjär operator från $X$ till $Y$ svagt kompakt .
4. varje svag*-kontinuerlig funktion på dual $X^{\prime }$ är svagt Riemann-integrerbar.

Exempel

• Varje reflexmässigt Banach-utrymme är ett Grothendieck-utrymme. Omvänt är det en konsekvens av Eberlein–Šmulian-satsen att ett separerbart Grothendieck-rum $X$ måste vara reflexivt, eftersom identiteten från $X\to X$ är svagt kompakt i detta fall.
• Grothendieck-utrymmen som inte är reflexiva inkluderar utrymmet $C(K)$ för alla kontinuerliga funktioner på ett steniskt kompakt utrymme $K,$ och utrymmet $L ^{\infty }(\mu )$ för ett positivt mått $\mu$ (ett Stonean kompakt utrymme är ett Hausdorff kompakt utrymme där stängningen av varje öppen uppsättning är öppen).
• Jean Bourgain bevisade att utrymmet $H^{\infty }$ av avgränsade holomorfa funktioner på skivan är ett Grothendieck-utrymme.

Se även

• Dunford–Pettis fastighet

• J. Diestel, Geometry of Banach spaces , Selected Topics, Springer, 1975.
•   J. Diestel, JJ Uhl: Vektormått . Providence, RI: American Mathematical Society, 1977. ISBN 978-0-8218-1515-1 .
• Shaw, S.-Y. (2001) [1994], "Grothendieck space" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
•   Khurana, Surjit Singh (1991). "Grothendieck spaces, II" . Journal of Mathematical Analysis and Applications . Elsevier BV. 159 (1): 202–207. doi : 10.1016/0022-247x(91)90230-w . ISSN 0022-247X .
• Nisar A. Lone, på svag Riemann integrering av svag* - kontinuerliga funktioner. Mediterranean journal of Mathematics, 2017.