Strikt positiv åtgärd

Inom matematiken är strikt positivitet ett begrepp inom måttteorin . Intuitivt är ett strikt positivt mått ett som är "ingenstans noll", eller som är noll "bara på poäng".

Definition

Låt $(X,T)$ vara ett Hausdorff- topologiskt rum och låt $\Sigma$ vara en $\sigma$ -algebra på $X$ som innehåller topologi $T$ (så att varje öppen uppsättning är en mätbar uppsättning , och $\Sigma$ är minst lika fin som Borel $\sigma$ -algebra på $X$ ). Då kallas ett mått $\mu$ på $(X,\Sigma )$ strikt positivt om varje icke-tom öppen delmängd av $X$ har ett strikt positivt mått.

Mer kortfattat är $\mu$ strikt positiv om och endast om för alla $U\in T$ så att $U\neq \ varnothing ,\mu (U)>0.$

Exempel

Att räkna mått på valfri uppsättning $X$ (med valfri topologi) är strikt positivt.
Dirac-måttet är vanligtvis inte strikt positivt om inte topologin $T$ är särskilt "grov" (innehåller "få" uppsättningar). Till exempel, $\delta _{0}$ på den reella linjen $\mathbb {R}$ med sin vanliga Borel-topologi och $\sigma$ -algebra är inte strikt positiv; men om $\mathbb {R}$ är utrustad med den triviala topologin $T=\{\varnothing ,\mathbb {R} \},$ sedan $\delta _{0}$ är strikt positiv. Detta exempel illustrerar vikten av topologi för att bestämma strikt positivitet.
Gaussiskt mått på det euklidiska rummet $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$ (med dess Borel-topologi och $\sigma$ $\sigma$ -algebra) är strikt positivt.
- Wienermått på rymden av kontinuerliga banor i $\mathbb {R} ^{n}$ är ett strikt positivt mått — Wienermått är ett exempel på ett Gaussmått på ett oändligt dimensionellt utrymme.
Lebesgue-mått på $\mathbb {R} ^{n}$ (med sin Borel-topologi och $\sigma$ -algebra) är strikt positivt.
Det triviala måttet är aldrig strikt positivt, oavsett utrymmet $X$ eller topologin som används, förutom när $X$ är tom.

Egenskaper

Om $\mu$ och $\nu$ är två mått på ett mätbart topologiskt utrymme $(X,\Sigma ),$ med $\mu$ strikt positiv och även absolut kontinuerlig med avseende på $\nu ,$ så är $\nu$ strikt positiv också. Beviset är enkelt: låt $U\subseteq X$ vara en godtycklig öppen uppsättning; eftersom $\mu$ är strikt positiv, $\mu (U)>0;$ av absolut kontinuitet, $\nu (U)>0$ också.
Därför är strikt positivitet en invariant med avseende på likvärdighet av mått .

Se även

Stöd (måttteori) – givet ett Borel-mått, uppsättningen av de punkter vars stadsdelar alltid har positivt mått. – ett mått är strikt positivt om och bara om dess stöd är hela utrymmet.