Kvadratintegrerbar funktion

Inom matematiken är en kvadratintegrerbar funktion , även kallad en kvadratiskt integrerbar funktion eller $L^{2}$ funktion eller kvadratsummbar funktion , en verklig eller komplex mätbar funktion för vilken integralen av kvadraten på det absoluta värdet är ändlig. Således definieras kvadratintegrerbarhet på den reella linjen ${\displaystyle (-\infty ,+\infty )} enligt följande.$

$f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} {\text{ square integrable}}\quad \iff \quad \int _{-\infty }^{\infty }| f(x)|^{2}\,\mathrm {d} x<\infty$

Man kan också tala om kvadratisk integrerbarhet över avgränsade intervall såsom $[a,b]$ för $a\leq b$ .

$f:[a,b]\to \mathbb {C} {\text{ kvadrat integrerad på }}[a,b]\quad \iff \quad \int _{a}^{ b}|f(x)|^{2}\,\mathrm {d} x<\infty$

En motsvarande definition är att säga att kvadraten på själva funktionen (snarare än dess absoluta värde) är Lebesgue-integrerbar . För att detta ska vara sant måste integralen av de positiva och negativa delarna av den reella delen både vara ändliga, såväl som de för den imaginära delen.

Vektorutrymmet för (ekvivalensklasser av) kvadratintegrerbara funktioner (med avseende på Lebesgue-måttet) bildar ${\displaystyle L^{p}}-$ utrymmet med $p=2.$ Bland $L^{p}$ utrymmen, klassen av kvadratiska integrerbara funktioner är unik genom att den är kompatibel med en inre produkt , som gör att begrepp som vinkel och ortogonalitet kan definieras. Tillsammans med denna inre produkt bildar de kvadratiska integrerbara funktionerna ett Hilbert-utrymme , eftersom alla $L^{p}$ utrymmen är kompletta under sina respektive $p$ -normer .

Ofta används termen inte för att referera till en specifik funktion, utan till ekvivalensklasser av funktioner som är lika nästan överallt .

Egenskaper

De kvadratiska integrerbara funktionerna (i den mening som nämnts där en "funktion" egentligen betyder en ekvivalensklass av funktioner som är lika nästan överallt) bildar ett inre produktrum med inre produkt som ges av

$$\langle f,g\rangle =\int _{A}{\överlinje {f(x)}}g(x) \,\mathrm {d} x$$

var

• $f$ och $g$ är fyrkantiga integrerbara funktioner,
• ${\overline {f(x)}}$ är den komplexa konjugatet av $f(x),$
• $A$ är mängden över vilken man integrerar — i den första definitionen (given i inledningen ovan), är $A$$(-\infty ,+\infty );$ i den andra är $A$$[a,b].$

Sedan $|a|^{2}=a\cdot {\overline {a}},$ kvadratintegrerbarhet är detsamma som att säga

$$\langle f,f\rangle <\infty .\,$$

Det kan visas att kvadratintegrerbara funktioner bildar ett komplett metriskt utrymme under metriken som induceras av den inre produkten definierad ovan. Ett komplett metriskt utrymme kallas också ett Cauchy-utrymme , eftersom sekvenser i sådana metriska utrymmen konvergerar om och bara om de är Cauchy . Ett utrymme som är komplett under måtten som induceras av en norm är ett Banach-utrymme . Därför är utrymmet för kvadratiska integrerbara funktioner ett Banach-utrymme, under metriken inducerad av normen, som i sin tur induceras av den inre produkten. Eftersom vi har den inre produktens ytterligare egenskap är detta specifikt ett Hilbert-utrymme , eftersom utrymmet är komplett under metriken som induceras av den inre produkten.

Detta inre produktutrymme betecknas konventionellt med $\left(L_{2},\langle \cdot ,\cdot \rangle _{2}\right)$ och många gånger förkortas som $L_{2}.$ Observera att $L_{2}$ betecknar uppsättningen av kvadratiska integrerbara funktioner, men inget val av metrisk, norm eller inre produkt specificeras av denna notation. Uppsättningen, tillsammans med den specifika inre produkten $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{2}$ anger det inre produktutrymmet.

Utrymmet för kvadratintegrerbara funktioner är $L^{p}$ rymden där $p=2.$

Exempel

Funktionen ${\tfrac {1}{x^{n}}},$ definierad på $\displaystyle (0,1),}$ är i $L ^{2}$ för $n<{\tfrac {1}{2}}$ men inte för $n={\tfrac {1}{2}}.$ Funktionen ${\tfrac {1}{x}},$ definierad på $[1 ,\infty ),$ är kvadratintegrerbar.

Begränsade funktioner, definierade på $[0,1],$ är kvadratintegrerbara. Dessa funktioner finns också i $L^{p},$ för alla värden på $sid.$

Icke-exempel

Funktionen ${\tfrac {1}{x}},$ definierad på $[0,1],$ där värdet vid $0$ är godtyckligt. $[1,\infty ).$ är denna funktion inte i $L^{p}$ för något värde på $p$ i

Se även

• Inre produktutrymme
• $L^{p}$ rymd – Funktionsrum som generaliserar ändliga dimensionella p normrum