Mätbart utrymme

Inom matematiken är ett mätbart rum eller Borel-rum ett grundläggande objekt i måttteorin . Den består av en mängd och en σ-algebra , som definierar de delmängder som kommer att mätas.

Definition

Betrakta en mängd $X$ och en σ-algebra ${\mathcal {A}}$ på ${\displaystyle X.} Då$ kallas tupeln ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})} ett mätbart utrymme.$

Observera att i motsats till ett måttutrymme behövs inget mått för ett mätbart utrymme.

Exempel

Titta på uppsättningen:

X=\{1,2,3\}.

En möjlig

\sigma

-algebra skulle vara:

{\mathcal {A}}_{1}=\{X,\varnothing \}.

Då är

\left(X,{\mathcal {A}}_{1}\right)

ett mätbart utrymme. En annan möjlig

\sigma

-algebra skulle vara kraften inställd på

X

:

{\mathcal {A}}_{2}={\mathcal {P}}(X).

Med detta ges ett andra mätbart utrymme på uppsättningen

X

av

\left(X,{\mathcal {A}}_{2}\right).

Gemensamma mätbara utrymmen

Om $X$ är ändlig eller räkneligt oändlig, är $\sigma$ -algebra oftast den effekt som sätts på $X,$ så ${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {P}}(X).} Detta$ leder till det mätbara utrymmet $(X,{\mathcal {P}}(X)).$

Om $X$ är ett topologiskt utrymme är σ {\displaystyle \ ${\mathcal {B}},$ $}$ -algebra oftast Borel $\sigma$ -algebra så ${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {B}}(X).} Detta$ leder till det mätbara utrymmet $(X,{\mathcal {B}}(X))$ som är gemensam för alla topologiska utrymmen som de reella talen $\mathbb {R} .$

Tvetydighet med Borel-mellanrum

Termen Borel space används för olika typer av mätbara utrymmen. Det kan syfta på

något mätbart utrymme, så det är en synonym för ett mätbart utrymme enligt definitionen ovan
ett mätbart utrymme som är Borel isomorft till en mätbar delmängd av de reella talen (återigen med Borel $\sigma$ -algebra)

Familjer ${\mathcal {F}}$ av uppsättningar över $\Omega$
Är nödvändigtvis sant för ${\mathcal {F}}\colon$ eller är ${\mathcal {F}}$ stängd under:	Regisserad av $\,\supseteq$	$A\cap B$	$A\cup B$	$B\setminus A$	$\Omega \setminus A$	$A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots$	$A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots$	$\Omega \in {\mathcal {F}}$	$\varnothing \in {\mathcal {F}}$	FIP
$π$ -system
Semiring										Aldrig
Semialgebra (Semifield)										Aldrig
Monotone klass						endast om $A_{i}\searrow$	endast om $A_{i}\nearrow$
𝜆-system (Dynkin System)				endast om $A\subseteq B$			endast om $A_{i}\nearrow$ eller om de är osammanhängande			Aldrig
Ring (ordningsteori)
Ring (måttteori)										Aldrig
5-ring										Aldrig
𝜎-Ring										Aldrig
Algebra (fält)										Aldrig
𝜎-Algebra (𝜎-Fält)										Aldrig
Dubbelideal
Filtrera				Aldrig	Aldrig				$\varnothing \not \in {\mathcal {F}}$
Förfilter (Filterbas)				Aldrig	Aldrig				$\varnothing \not \in {\mathcal {F}}$
Filtrera subbas				Aldrig	Aldrig				$\varnothing \not \in {\mathcal {F}}$
Öppen topologi							(även godtyckligt $\cup$ )			Aldrig
Sluten topologi						(även godtyckligt $\cap$ )				Aldrig
Är nödvändigtvis sant för ${\mathcal {F}}\colon$ eller är ${\mathcal {F}}$ stängd under:	riktad nedåt	ändliga skärningspunkter	ändliga fackföreningar	relativa komplement	komplement i $\Omega$	räknebara korsningar	räkneliga fackföreningar	innehåller $\Omega$	innehåller $\varnothing$	Finita skärningsegenskap _
Dessutom är en *semiring* ett $π$ -system där varje komplement $B\setminus A$ är lika med en finit disjunkt union av mängder i ${\mathcal {F}}.$ En *semialgebra* är en semiring som innehåller $\Omega .$ $A,B,A_{1},A_{2},\ldots$ är godtyckliga element i ${\mathcal {F}}$ och det antas att ${\mathcal {F}}\neq \varnothing .$