Tätt definierad operatör

Inom matematik – närmare bestämt i operatorteori – är en tätt definierad operator eller partiellt definierad operator en typ av delvis definierad funktion . I topologisk mening är det en linjär operator som definieras "nästan överallt". Tätt definierade operatorer uppstår ofta i funktionsanalys som operationer som man skulle vilja tillämpa på en större klass av objekt än de för vilka de a priori "ger mening".

Definition

En tätt definierad linjär operator $T$ från ett topologiskt vektorrum , $X,$ till ett annat, $Y,$ är en linjär operator som definieras på ett tätt linjärt delrum $\operatorname {dom} (T)$ av $X$ och tar värden i $Y,$ skrivet $T:\operatörsnamn {dom} (T)\subseteq X\to Y.$ Ibland förkortas detta som $T:X\to Y$ när sammanhanget gör det tydligt att ${ \displaystyle X}$ kanske inte är den mängdteoretiska domänen för $T.$

Exempel

Betrakta utrymmet $C^{0}([0,1];\mathbb {R} )$ för alla reellt värderade kontinuerliga funktioner definierade på enhetsintervallet; låt $C^{1}([0,1];\mathbb {R} )$ beteckna delrummet som består av alla kontinuerligt differentierbara funktioner . Utrusta $C^{0}([0,1];\mathbb {R} )$ med den högsta normen $\|\,\cdot \ ,\|_{\infty }$ ; detta gör $C^{0}([0,1];\mathbb {R} )$ till ett riktigt Banach-utrymme . Differentieringsoperatorn $\displaystyle D}$ { ges av

$$(\mathrm {D} u)(x)=u'(x)$$

är en tätt definierad operator från $C^{0}([0,1];\mathbb {R} )$ till sig själv, definierad på det täta delrummet $C^{1}([0,1];\mathbb {R} ).$ Operatorn $\mathrm {D}$ är ett exempel på en ogränsad linjär operator , eftersom

$$u_{n}(x)=e^{-nx}\quad {\text{ har }}\quad {\frac {\left\|\mathrm {D} u_{n}\right\|_ {\infty }}{\left\|u_{n}\right\|_{\infty }}}=n.$$

Denna gränslöshet orsakar problem om man på något sätt kontinuerligt vill utöka differentieringsoperatorn $D$ till hela $C^{0}([0,1];\mathbb {R} ).$

Paley –Wiener-integralen är å andra sidan ett exempel på en kontinuerlig förlängning av en tätt definierad operator. I vilket abstrakt Wiener-utrymme som helst $i:H\to E$ med adjoint $j:=i^{*}:E^{*} \till H,$ det finns en naturlig kontinuerlig linjär operator (i själva verket är det inneslutningen och är en isometri ) från $j\left(E^{*}\right)$ till $L^{2}(E,\gamma ;\mathbb {R} ),$ under vilken $j(f )\in j\left(E^{*}\right)\subseteq H$ går till ekvivalensklassen $[f]$ för $f$ i $L^{2}(E,\gamma ;\mathbb {R} ).$ Det kan visas att $j\left(E^{*}\right)$ är tät i $H.$ Eftersom ovanstående inkludering är kontinuerlig, finns det en unik kontinuerlig linjär förlängning $I:H\to L^{2}(E,\ gamma ;\mathbb {R} )$ av inkluderingen $j\left(E^{*}\right)\to L^{2}( E,\gamma ;\mathbb {R} )$ till hela $H.$ Detta tillägg är Paley–Wiener-kartan.

Se även

• Blumbergs teorem – Vilken verklig funktion på R som helst tillåter en kontinuerlig begränsning av en tät delmängd av R
• Sluten grafsats (funktionell analys) – Satser som kopplar kontinuitet till stängning av grafer
• Linjär förlängning (linjär algebra) – Matematisk funktion, i linjär algebra Sidor som visar korta beskrivningar av omdirigeringsmål
• Partiell funktion – Funktion vars faktiska definitionsdomän kan vara mindre än dess skenbara domän

•    Renardy, Michael; Rogers, Robert C. (2004). En introduktion till partiella differentialekvationer . Texter i tillämpad matematik 13 (andra upplagan). New York: Springer-Verlag. s. xiv+434. ISBN 0-387-00444-0 . MR 2028503 .