Missbruk av notation

I matematik uppstår missbruk av notation när en författare använder en matematisk notation på ett sätt som inte är helt formellt korrekt , men som kan hjälpa till att förenkla framställningen eller föreslå rätt intuition (samtidigt som möjligtvis minimerar fel och förvirring samtidigt). Men eftersom begreppet formell/syntaktisk korrekthet beror på både tid och sammanhang, kan vissa notationer i matematik som flaggas som missbruk i ett sammanhang vara formellt korrekta i ett eller flera andra sammanhang. Tidsberoende missbruk av notation kan inträffa när nya notationer introduceras till en teori en tid innan teorin först formaliseras; dessa kan formellt korrigeras genom att stelna och/eller på annat sätt förbättra teorin. Missbruk av notation bör jämföras med missbruk av notation, som inte har de presentationsmässiga fördelarna med den förra och som bör undvikas (som missbruk av integrationskonstanter ).

Ett relaterat begrepp är missbruk av språk eller missbruk av terminologi, där en term – snarare än en notation – missbrukas. Missbruk av språk är ett nästan synonymt uttryck för övergrepp som till sin natur är icke-noterande. Till exempel, medan ordet representation korrekt betecknar en grupphomomorfism från en grupp G till GL( V ) , där V är ett vektorrum , är det vanligt att kalla V "en representation av G ". Ett annat vanligt missbruk av språket består i att identifiera två matematiska objekt som är olika, men kanoniskt isomorfa . Andra exempel inkluderar identifiering av en konstant funktion med dess värde, identifiering av en grupp med en binär operation med namnet på dess underliggande mängd, eller identifiering till $\mathbb {R} ^{3}$ det euklidiska rummet av dimension tre utrustad med ett kartesiskt koordinatsystem .

Exempel

Strukturerade matematiska objekt

Många matematiska objekt består av en uppsättning , ofta kallad den underliggande uppsättningen, utrustad med någon ytterligare struktur, såsom en matematisk operation eller en topologi . Det är ett vanligt missbruk av notation att använda samma notation för den underliggande uppsättningen och det strukturerade objektet (ett fenomen som kallas undertryckning av parametrar ). Till exempel $\mathbb {Z}$ beteckna mängden av heltal , gruppen av heltal tillsammans med addition eller ringen av heltal med addition och multiplikation . Generellt sett är det inga problem med detta om objektet som refereras är väl förstått, och att undvika ett sådant missbruk av notation kan till och med göra matematiska texter mer pedantiska och svårare att läsa. När detta missbruk av notation kan vara förvirrande kan man skilja mellan dessa strukturer genom att beteckna $(\mathbb {Z} ,+)$ gruppen av heltal med addition, och $(\mathbb {Z} ,+,\cdot )$ ringen av heltal.

På liknande sätt består ett topologiskt utrymme av en mängd $X$ (den underliggande mängden) och en topologi ${\mathcal {T}},$ som kännetecknas av en uppsättning delmängder av $X$ (de öppna mängderna ). Oftast tar man bara hänsyn till en topologi på $X$ , så det är vanligtvis inga problem att hänvisa till $X$ som både den underliggande mängden och paret som består av $X$ och dess topologi ${\mathcal {T}}$ — även om de är tekniskt distinkta matematiska objekt. Icke desto mindre kan det förekomma vid vissa tillfällen att två olika topologier betraktas samtidigt på samma uppsättning. I så fall måste man vara försiktig och använda notation som $(X,{\mathcal {T}})$ och $(X,{\mathcal { T}}')$ för att skilja mellan de olika topologiska utrymmena.

Funktionsnotation

Man kan i många läroböcker stöta på meningar som "Låt $f (x)$ vara en funktion ...". Detta är ett missbruk av notation, eftersom namnet på funktionen är $f$ , och $f (x)$ vanligtvis anger värdet på funktionen $f$ för elementet $x$ i dess domän. Den korrekta frasen skulle vara "Låt $f$ vara en funktion av variabeln $x$ ..." eller "Låt $x \mapsto f (x)$ vara en funktion ..." Detta missbruk av notation används ofta, eftersom det förenklar formuleringen, och den systematiska användningen av en korrekt notation blir snabbt pedantisk.

Ett liknande missbruk av notation förekommer i meningar som "Låt oss betrakta funktionen $x 2 + x + 1$ ...", när $x 2 + x + 1 i själva verket$ inte är en funktion. Funktionen är operationen som associerar $x 2 + x + 1$ till $x$ , ofta betecknad som $x \mapsto x 2 + x + 1$ . Ändå är detta missbruk av notation flitigt, eftersom det kan hjälpa en att undvika pedanteri samtidigt som det i allmänhet inte är förvirrande.

Jämlikhet vs. isomorfism

Många matematiska strukturer definieras genom en karakteriserande egenskap (ofta en universell egenskap ). När den önskade egenskapen väl har definierats kan det finnas olika sätt att konstruera strukturen, och motsvarande resultat är formellt olika objekt, men som har exakt samma egenskaper (dvs. isomorfa ). Eftersom det inte finns något sätt att särskilja dessa isomorfa objekt genom deras egenskaper, är det standard att betrakta dem som lika, även om detta är formellt fel.

Ett exempel på detta är den kartesiska produkten , som ofta ses som associativ:

(E\ gånger F)\ gånger G=E\ gånger (F\ gånger G)=E\ gånger F\ gånger G

.

Men detta är strängt taget inte sant: om $x\in E$ , $y\in F$ och $z\in G$ , identiteten $((x,y),z)=(x,(y,z))$ skulle antyda att $(x,y)=x$ och $z=(y,z)$ , och så $((x,y),z)=(x,y,z)$ skulle inte betyda något. Dessa jämlikheter kan dock legitimeras och göras rigorösa i kategoriteorin - med hjälp av idén om en naturlig isomorfism .

Ett annat exempel på liknande övergrepp förekommer i uttalanden som "det finns två icke-abelska grupper av ordning 8", vilket mer strikt uttryckt betyder "det finns två isomorfismklasser av icke-abelska grupper av ordning 8".

Ekvivalensklasser

Att hänvisa till en ekvivalensklass för en ekvivalensrelation med x istället för [ x ] är ett missbruk av notation. Formellt, om en mängd X är uppdelad av en ekvivalensrelation ~, då för varje x ∈ X , ekvivalensklassen { y ∈ X | y ~ x } betecknas [ x ]. Men i praktiken, om resten av diskussionen fokuserar på ekvivalensklasserna snarare än de enskilda delarna av den underliggande mängden, är det vanligt att ta bort hakparenteserna i diskussionen.

Till exempel, i modulär aritmetik , kan en ändlig grupp av ordningen n bildas genom att dela upp heltalen via ekvivalensrelationen " x ~ y om och endast om x ≡ y (mod n )". Elementen i den gruppen skulle då vara [0], [1], ..., [ n − 1], men i praktiken betecknas de vanligtvis helt enkelt som 0, 1, ..., n − 1.

Ett annat exempel är utrymmet för (klasser av) mätbara funktioner över ett måttutrymme , eller klasser av Lebesgue-integrerbara funktioner, där ekvivalensrelationen är likhet " nästan överallt ".

Subjektivitet

Termerna "missbruk av språk" och "missbruk av notation" beror på sammanhanget. Att skriva " $f : A \to B$ " för en delfunktion från $A$ till $B$ är nästan alltid ett missbruk av notation, men inte i en kategoriteoretisk kontext, där $f$ kan ses som en morfism i kategorin mängder och delfunktioner.

Se även