Absolutvärde

Den här artikeln handlar om det absoluta värdet av reella och komplexa tal. För andra absoluta värden i matematik, se Absolut värde (algebra) . För annan användning, se Absolut värde (disambiguation) .

Grafen för absolutvärdesfunktionen för reella tal

Det absoluta värdet av ett tal kan ses som dess avstånd från noll.

I matematik , absolutvärdet eller modulen för ett reellt tal $displaystyle x}$ betecknat $|x|$ , , | är det icke-negativa värdet av $x$ utan hänsyn till dess tecken . Nämligen $|x|=x$ om $x$ är ett positivt tal , och $|x|=-x$ om $x$ är negativ (i vilket fall negation av $x$ gör $-x$ positiv), och $|0|=0$ . Till exempel är det absoluta värdet av 3 3 , och det absoluta värdet av −3 är också 3. Absolutvärdet för ett tal kan ses som dess avstånd från noll.

Generaliseringar av det absoluta värdet för reella tal förekommer i en mängd olika matematiska inställningar. Till exempel definieras också ett absolutvärde för de komplexa talen , kvaternionerna , ordnade ringar , fälten och vektorrymden . Det absoluta värdet är nära relaterat till föreställningarna om storlek , avstånd och norm i olika matematiska och fysiska sammanhang.

Terminologi och notation

1806 introducerade Jean-Robert Argand termen modul , som betyder måttenhet på franska, specifikt för det komplexa absoluta värdet, och det lånades till engelska 1866 som den latinska ekvivalentmodulen . Termen absolut värde har använts i denna mening från åtminstone 1806 på franska och 1857 på engelska. Beteckningen | x | , med en vertikal stapel på varje sida, introducerades av Karl Weierstrass 1841. Andra namn för absolut värde inkluderar numeriskt värde och magnitud . I programmeringsspråk och datorprogramvarupaket representeras det absoluta värdet av x i allmänhet av abs( x ) , eller ett liknande uttryck.

Den vertikala strecknotationen förekommer också i ett antal andra matematiska sammanhang: till exempel, när den tillämpas på en mängd, betecknar den dess kardinalitet ; när den appliceras på en matris anger den dess determinant . Vertikala staplar betecknar det absoluta värdet endast för algebraiska objekt för vilka begreppet ett absolut värde är definierat, särskilt ett element i en normerad divisionsalgebra, till exempel ett reellt tal, ett komplext tal eller en kvartärnion. En närbesläktad men distinkt notation är användningen av vertikala staplar för antingen den euklidiska normen eller sup-normen för en vektor i $\mathbb {R} ^{n}$ , även om dubbla vertikala staplar med sänkta linjer ( $\|\cdot \|_{2}$ respektive $\|\cdot \|_{\infty }}$ displaystyle ) är en vanligare och mindre tvetydig notation.

Definition och egenskaper

Riktiga nummer

För alla reella tal $x$ displaystyle betecknas det absoluta värdet eller modulen för $x}$ med $|x|$ , med en vertikal stapel på varje sida av kvantiteten, och definieras som

$$|x|={\begin{cases}x,&{\text{if }}x\geq 0\\-x,&{\ text{if }}x<0.\end{cases}}$$

Det absoluta värdet av $x$ är alltså alltid antingen ett positivt tal eller noll , men aldrig negativt . När $x$ i sig är negativ ( $x<0$ ), så är dess absoluta värde nödvändigtvis positivt ( $|x|=-x>0$ ) .

Ur en analytisk geometrisynpunkt är det absoluta värdet av ett reellt tal avståndet till talet från noll längs den reella tallinjen, och mer generellt är det absoluta värdet av skillnaden mellan två reella tal (deras absoluta skillnad ) avståndet mellan dem . Föreställningen om en abstrakt avståndsfunktion i matematik kan ses vara en generalisering av skillnadens absoluta värde (se " Avstånd" nedan).

Eftersom kvadratrotssymbolen representerar den unika positiva kvadratroten, när den appliceras på ett positivt tal, följer det det

$$|x|={\sqrt {x^{2}}}.$$

Detta motsvarar definitionen ovan och kan användas som en alternativ definition av det absoluta värdet av reella tal.

Det absoluta värdet har följande fyra grundläggande egenskaper ( a , b är reella tal), som används för att generalisera detta begrepp till andra domäner:

$|a|\geq 0$	Icke-negativitet
$|a|=0\iff a=0$	Positiv-bestämdhet
$|ab|=\left|a\right|\left|b\right|$	Multiplikativitet
$|a+b|\leq |a|+|b|$	Subadditivitet , specifikt triangelojämlikheten

Icke-negativitet, positiv bestämdhet och multiplikativitet är lätt uppenbara från definitionen. För att se att subadditivitet gäller, notera först att $|a+b|=s(a+b)$ där $s=\pm 1$ , med dess tecken valt för att göra resultatet positivt. Nu, eftersom $-1\cdot x\leq |x|$ och $+1\cdot x\leq |x|$ , det följer att, beroende på vilket av $\pm 1$ som är värdet av $s$ , har man $s\cdot x\leq |x|$ för alla verkliga $x$ . Följaktligen, ${\displaystyle |a+b|=s\cdot (a+b)=s\cdot a+s\cdot b\leq |a|+|b|} , enligt önskemål$ .

Några ytterligare användbara egenskaper ges nedan. Dessa är antingen omedelbara konsekvenser av definitionen eller antydda av de fyra grundläggande egenskaperna ovan.

${\bigl |}\left|a\right|{\bigr |}=|a|$	Idempotens (det absoluta värdet av det absoluta värdet är det absoluta värdet)
$\left|-a\right|=|a|$	Jämnhet ( grafens reflektionssymmetri )
$|ab|=0\iff a=b$	Identitet av oskiljbara (motsvarande positiv-definititet)
$|ab|\leq |ac|+|cb|$	Triangelojämlikhet (motsvarar subadditivitet)
${\displaystyle \left|{\frac {a}{b}}\right|={\frac {|a|}{|b|}}\ } (om b ≠ {\displaystyle b$ \ $b\neq 0$)	Bevarande av division (motsvarande multiplikativitet)
$|ab|\geq {\bigl |}\left|a\right|-\left|b\right|{\bigr |}$	Omvänd triangelolikhet (motsvarande subadditivitet)

Två andra användbara egenskaper när det gäller ojämlikheter är:

$|a|\leq b\iff -b\leq a\leq b$

$|a|\geq b\iff a\leq -b\$ eller $a\geq b$

Dessa relationer kan användas för att lösa ojämlikheter som involverar absoluta värden. Till exempel:

$|x-3|\leq 9$	$\iff -9\leq x-3\leq 9$
	$\iff -6\leq x\leq 12$

Det absoluta värdet, som "avstånd från noll", används för att definiera den absoluta skillnaden mellan godtyckliga reella tal, standardmåttet för de reella talen.

Komplexa tal

Det absoluta värdet av ett komplext tal $z$ är avståndet $r$ för $z$ från origo. Det kan också ses på bilden att $z$ och dess komplexa konjugat ${\bar {z}}$ har samma absoluta värde.

Eftersom de komplexa talen inte är ordnade kan definitionen som ges högst upp för det verkliga absoluta värdet inte tillämpas direkt på komplexa tal. Den geometriska tolkningen av det absoluta värdet av ett reellt tal som dess avstånd från 0 kan dock generaliseras. Det absoluta värdet av ett komplext tal definieras av det euklidiska avståndet för dess motsvarande punkt i det komplexa planet från origo . Detta kan beräknas med Pythagoras sats : för vilket komplext tal som helst

$$z=x+iy,$$

där $x$ och $\displaystyle y}$ { $|z|$ är reella tal, betecknas absolutvärdet eller modulen för $z$ och definieras av

$$|z|={\sqrt {\operatörsnamn {Re} (z)^{2}+\operatörsnamn {Im} (z)^{2}}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},$$

Pythagoras addition av $x$ och $y$ , där $\operatorname {Re} (z)=x$ och ${\ displaystyle \operatorname {Im} (z)=y}$ betecknar de verkliga och imaginära delarna av ${\displaystyle z} ,$ respektive . När den imaginära delen $y$ är noll, sammanfaller detta med definitionen av det absoluta värdet av det reella talet $x$ .

När ett komplext tal $z$ uttrycks i sin polära form som $z=re^{i\theta },$ är $|z|=r.$ dess absoluta värde

Eftersom produkten av ett komplext tal $z$ och dess komplexa konjugat ${\displaystyle {\bar {z}}=x-iy} ,$ med samma absoluta värde, alltid är icke -negativt reellt tal ${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)} ,$ det absoluta värdet av ett komplext tal $z$ är kvadratroten av $z\cdot {\overline {z}},$ som därför kallas den absoluta kvadraten eller kvadratmodulen för $z$ :

$$|z|={\sqrt {z\cdot {\overline {z}}}}.$$

Detta generaliserar den alternativa definitionen för reals: ${\textstil |x|={\sqrt {x\cdot x}}}$ .

Det komplexa absolutvärdet delar de fyra grundläggande egenskaperna som anges ovan för det verkliga absoluta värdet. Identiteten $|z|^{2}=|z^{2}|$ är ett specialfall av multiplikativitet som ofta är användbart i sig själv.

Absolut värde funktion

Grafen för absolutvärdesfunktionen för reella tal

Sammansättning av absolut värde med en kubisk funktion i olika ordningsföljder

Den verkliga absolutvärdesfunktionen är kontinuerlig överallt. Det är differentierbart överallt utom för x = 0 . Den minskar monotont i intervallet (−∞, 0] och ökar monotont i intervallet [0, +∞) . Eftersom ett reellt tal och dess motsats har samma absoluta värde är det en jämn funktion och är därför inte inverterbar . Den verkliga absolutvärdesfunktionen är en bitvis linjär , konvex funktion .

För både reella och komplexa tal är absolutvärdesfunktionen idempotent (vilket betyder att det absoluta värdet av ett absolut värde är sig själv).

Relation till teckenfunktionen

Absolutvärdesfunktionen för ett reellt tal returnerar dess värde oberoende av dess tecken, medan teckenfunktionen ( eller signum) returnerar ett tals tecken oavsett dess värde. Följande ekvationer visar sambandet mellan dessa två funktioner:

$|x|=x\operatörsnamn {sgn}(x),$

eller

$|x|\operatörsnamn {sgn}(x)=x,$

och för x ≠ 0 ,

$\operatorname {sgn}(x)={\frac {|x|}{x}}={\frac {x}{|x|}}.$

Derivat

Den reella absolutvärdesfunktionen har en derivata för varje x ≠ 0 , men är inte differentierbar vid x = 0 . Dess derivata för x ≠ 0 ges av stegfunktionen :

${\frac {d\left|x\right|}{dx}}={\frac {x}{|x|}}={\begin{cases }-1&x<0\\1&x>0.\end{cases}}$

Den verkliga absolutvärdesfunktionen är ett exempel på en kontinuerlig funktion som uppnår ett globalt minimum där derivatan inte existerar.

  Underdifferentialen av | x | _ vid x = 0 är intervallet [−1, 1] .

Den komplexa absolutvärdesfunktionen är kontinuerlig överallt men komplex differentierbar ingenstans eftersom den bryter mot Cauchy–Riemanns ekvationer .

Den andra derivatan av | x | med avseende på x är noll överallt utom noll, där det inte finns. Som en generaliserad funktion kan andraderivatan tas som två gånger Dirac deltafunktionen .

Antiderivat

Antiderivatan (obestämd integral) av den verkliga absolutvärdesfunktionen är

$\int \left|x\right|dx={\frac {x\left|x\right|}{2}}+C,$

där C är en godtycklig integrationskonstant . Detta är inte ett komplext antiderivat eftersom komplexa antiderivat endast kan existera för komplext differentierbara ( holomorfa ) funktioner, vilket den komplexa absolutvärdesfunktionen inte är.

Distans

Se även: Metriskt utrymme

Det absoluta värdet är nära relaterat till tanken om avstånd. Som nämnts ovan är det absoluta värdet av ett reellt eller komplext tal avståndet från det talet till origo, längs den reella tallinjen, för reella tal, eller i det komplexa planet, för komplexa tal, och mer allmänt, det absoluta värdet av skillnaden mellan två reella eller komplexa tal är avståndet mellan dem.

Det euklidiska standardavståndet mellan två punkter

$a=(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})$

och

$b=(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})$

i euklidiskt n -rum definieras som:

${\sqrt {\textstyle \sum _{i=1}^{n}(a_{i}-b_{i})^{2}}}.$

Detta kan ses som en generalisering, eftersom för $a_{1}$ och $b_{1}$ reell, dvs i ett 1-mellanslag, enligt den alternativa definitionen av det absoluta värdet,

$|a_{1}-b_{1}|={\sqrt {(a_{1}-b_ {1})^{2}}}={\sqrt {\textstyle \sum _{i=1}^{1}(a_{i}-b_{i})^{2}}},$

och för $a=a_{1}+ia_{2}$ och $b=b_{1}+ib_{2}$ komplex siffror, dvs i ett 2-mellanslag,

$|ab|$	$=|(a_{1}+ia_{2})-(b_{1}+ib_{2})|$
	$=|(a_{1}-b_{1})+i(a_{2}-b_{2})|$
	$={\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}}}={\sqrt {\textstyle \summa _{i=1}^{2}(a_{i}-b_{i})^{2}}}.$

Ovanstående visar att "absolutvärde"-avståndet, för reella och komplexa tal, stämmer överens med det euklidiska standardavståndet, som de ärver till följd av att de betraktas som en- respektive tvådimensionella euklidiska rum.

Egenskaperna för det absoluta värdet av skillnaden mellan två reella eller komplexa tal: icke-negativitet, identitet av oskiljbara, symmetri och triangelolikheten som ges ovan, kan ses motivera den mer allmänna uppfattningen om en avståndsfunktion enligt följande :

En funktion d med reellt värde på en mängd X × X kallas en metrisk (eller en avståndsfunktion ) på X , om den uppfyller följande fyra axiom:

$d(a,b)\geq 0$	Icke-negativitet
$d(a,b)=0\iff a=b$	Identitet av oskiljbara
$d(a,b)=d(b,a)$	Symmetri
$d(a,b)\leq d(a,c)+d(c,b)$	Triangelojämlikhet

Generaliseringar

Beställda ringar

Definitionen av absolutvärde som ges för reella tal ovan kan utökas till valfri ordnad ring . Det vill säga, om a är ett element i en ordnad ring R , då det absoluta värdet av a , betecknat med | en | , definieras som:

$|a|=\left\{{\begin{array}{rl}a,&{\text{if }}a\geq 0\ \-a,&{\text{if }}a<0.\end{array}}\right.$

där − a är den additiva inversen av a , 0 är den additiva identiteten och < och ≥ har den vanliga betydelsen med avseende på ordningen i ringen.

Fält

Huvudartikel: Absolut värde (algebra)

De fyra grundläggande egenskaperna för det absoluta värdet för reella tal kan användas för att generalisera begreppet absolutvärde till ett godtyckligt fält, enligt följande.

  En verkligt värderad funktion v på ett fält F kallas ett absolut värde (även en modul , magnitud , värde eller värdering ) om den uppfyller följande fyra axiom:

$v(a)\geq 0$	Icke-negativitet
$v(a)=0\iff a=\mathbf {0}$	Positiv-bestämdhet
$v(ab)=v(a)v(b)$	Multiplikativitet
$v(a+b)\leq v(a)+v(b)$	Subadditivitet eller triangelolikheten

0 Där anger den additiva identiteten för F . Av positiv-definititet och multiplikativitet följer att v ( 1 ) = 1 , där 1 betecknar den multiplikativa identiteten för F . De reella och komplexa absolutvärdena definierade ovan är exempel på absoluta värden för ett godtyckligt fält.

Om v är ett absolut värde på F , då är funktionen d på F × F , definierad av d ( a , b ) = v ( a − b ) , ett mått och följande är ekvivalenta:

• d uppfyller den ultrametriska olikheten $d(x,y)\leq \max(d(x,z),d (y,z))$ för alla x , y , z i F .
• ${\textstil \left\{v\left(\sum _{k=1}^{n}\mathbf {1} \right):n\in \mathbb {N} \right\}}$ är avgränsad i R .
• $v\left({\textstyle \sum _{k=1}^{n}}\mathbf {1} \right)\leq 1\$ för varje $n\in \mathbb {N}$ .
• $v(a)\leq 1\Högerpil v(1+a)\leq 1\$ för alla $a\in F$ .
• $v(a+b)\leq \max\{v(a),v(b)\}\$ för alla $a,b\in F$ .

Ett absolut värde som uppfyller alla (därav alla) ovanstående villkor sägs vara icke-arkimediskt , annars sägs det vara arkimediskt .

Vektor utrymmen

Huvudartikel: Norm (matematik)

Återigen kan de fundamentala egenskaperna för det absoluta värdet för reella tal användas, med en liten modifiering, för att generalisera begreppet till ett godtyckligt vektorrum.

  En verkligt värderad funktion på ett vektorrum V över ett fält F , representerat som || · || , kallas ett absolut värde , men oftast en norm , om det uppfyller följande axiom:

För alla a i F , och v , u i V ,

$\|\mathbf {v} \|\geq 0$	Icke-negativitet
$\|\mathbf {v} \|=0\iff \mathbf {v} =0$	Positiv-bestämdhet
$\|a\mathbf {v} \|=\left|a\right|\left\|\mathbf {v} \right\|$	Positiv homogenitet eller positiv skalbarhet
$\|\mathbf {v} +\mathbf {u} \|\leq \|\mathbf {v} \|+\|\mathbf {u} \|$	Subadditivitet eller triangelolikheten

Normen för en vektor kallas också dess längd eller magnitud .

I fallet med det euklidiska rymden $\mathbb {R} ^{n}$ , funktionen definierad av

$\|(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\|= {\sqrt {\textstyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}$

är en norm som kallas den euklidiska normen . När de reella talen $\mathbb {R}$ betraktas som det endimensionella vektorutrymmet ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}} ,$ är det absoluta värdet en norm och är p -norm (se L ^p space ) för valfritt p . Det absoluta värdet är faktiskt den "enda" normen på ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}} ,$ i den meningen att för varje norm || · || på $\mathbb {R} ^{1}$ , || x || = || 1 || ⋅ | x | .

  Det komplexa absolutvärdet är ett specialfall av normen i ett inre produktrum , vilket är identiskt med den euklidiska normen när det komplexa planet identifieras som det euklidiska planet $\mathbb {R} ^{2}$ .

Sammansättning algebror

Huvudartikel: Kompositionsalgebra

Varje sammansättningsalgebra A har en involution x → x * som kallas dess konjugation . Produkten i A av ett element x och dess konjugat x * skrivs N ( x ) = xx * och kallas normen för x .

De reella talen $\mathbb {R}$ , komplexa tal $\mathbb {C}$ och quaternions $\mathbb {H}$ är alla sammansättningsalgebror med normer givna av bestämda kvadratiska former . Det absoluta värdet i dessa divisionsalgebror ges av kvadratroten av kompositionsalgebranormen.

I allmänhet kan normen för en sammansättningsalgebra vara en kvadratisk form som inte är bestämd och har nollvektorer . Men som i fallet med divisionsalgebror, när ett element x har en norm som inte är noll, har x en multiplikativ invers given av x */ N ( x ).

Se även

• Minsta absoluta värden

Anteckningar

•   Bartle; Sherbert; Introduktion till verklig analys (4:e upplagan), John Wiley & Sons, 2011 ISBN 978-0-471-43331-6 .
•   Nahin, Paul J.; En imaginär berättelse ; Princeton University Press; (inbunden, 1998). ISBN 0-691-02795-1 .
•   Mac Lane, Saunders, Garrett Birkhoff, Algebra , American Mathematical Soc., 1999. ISBN 978-0-8218-1646-2 .
•   Mendelson, Elliott, Schaum's Outline of Beginning Calculus , McGraw-Hill Professional, 2008. ISBN 978-0-07-148754-2 .
• O'Connor, JJ och Robertson, EF; "Jean Robert Argand" .
•   Schechter, Eric; Handbook of Analysis and Its Foundations , s. 259–263, "Absolute Values" , Academic Press (1997) ISBN 0-12-622760-8 .

externa länkar

• "Absolut värde" . Encyclopedia of Mathematics . EMS Tryck på . 2001 [1994].
• absolut värde på PlanetMath .
• Weisstein, Eric W. "Absolut värde" . MathWorld .