Dubbel topologi

Inom funktionsanalys och relaterade områden av matematik är en dubbeltopologi en lokalt konvex topologi på ett vektorrum som induceras av den kontinuerliga dualen av vektorrymden, med hjälp av den bilinjära formen (även kallad parning ) associerad med det dubbla paret .

De olika dubbla topologierna för ett givet dubbla par karakteriseras av Mackey-Arens sats. Alla lokalt konvexa topologier med sin kontinuerliga dual är trivialt ett dubbelt par och den lokalt konvexa topologin är en dubbeltopologi.

Flera topologiska egenskaper beror bara på det dubbla paret och inte på den valda dubbla topologin och därför är det ofta möjligt att ersätta en komplicerad dubbeltopologi med en enklare.

Definition

Givet ett dubbelt par ${\displaystyle (X,Y,\langle ,\rangle )} är$ en dubbel topologi på $X$ en lokalt konvex topologi $\tau$ så att

$(X,\tau )'\simeq Y.$

Här betecknar $(X,\tau )'$$(X,\tau )'\simeq Y$ kontinuerliga dualen av $(X,\tau )$ och betyder att det finns en linjär isomorfism

$\Psi :Y\to (X,\tau )',\quad y\mapsto (x\mapsto \langle x,y\rangle ).$

(Om en lokalt konvex topologi $\tau$ på $X$ inte är en dubbel topologi, så är antingen $\Psi$ inte surjektiv eller så är den dåligt definierad eftersom den linjära funktionella $x\mapsto \langle x,y\rangle$ är inte kontinuerlig på $X$ för vissa $y$ .)

Egenskaper

• Teorem (av Mackey ): Givet ett dubbelt par är de avgränsade mängderna under någon dubbeltopologi identiska.
• Under vilken dubbel topologi som helst är samma uppsättningar trumlade .

Karakterisering av dubbla topologier

Mackey -Arens-teorem , uppkallad efter George Mackey och Richard Arens , karaktäriserar alla möjliga dubbla topologier på ett lokalt konvext utrymme .

Satsen visar att den grovaste dubbla topologin är den svaga topologin , topologin för enhetlig konvergens på alla finita delmängder av $X'$ och den finaste topologin är Mackey-topologin , topologin för enhetlig konvergens på alla absolut konvexa . svagt kompakta delmängder av $X'$ .

Mackey-Arens teorem

Givet ett dubbelt par $(X,X')$ med $X$ ett lokalt konvext utrymme och $X'$ dess kontinuerliga dubbla , sedan $\ tau$ är en dubbel topologi på $X$ om och endast om det är en topologi med enhetlig konvergens på en familj av absolut konvexa och svagt kompakta delmängder av $X'$

Se även

• Polär topologi

•    Bogachev, Vladimir I; Smolyanov, Oleg G. (2017). Topologiska vektorrum och deras tillämpningar . Springer Monographs in Mathematics. Cham, Schweiz: Springer International Publishing. ISBN 978-3-319-57117-1 . OCLC 987790956 .