Standard Borel utrymme

Inom matematik är ett standard Borel-rymd det Borel-utrymme som är associerat med ett polskt utrymme . Om man rabatterar Borel-utrymmen av diskreta polska utrymmen, finns det, upp till isomorfism av mätbara utrymmen , bara ett standard Borel-utrymme.

Formell definition

Ett mätbart utrymme $(X,\Sigma )$ sägs vara "standard Borel" om det finns ett mått på $X$ som gör det till ett fullständigt separerbart metriskt utrymme på ett sådant sätt att $\Sigma$ är då Borel σ-algebra . Standard Borel-utrymmen har flera användbara egenskaper som inte håller för generella mätbara utrymmen.

Egenskaper

• Om $(X,\Sigma )$ och $(Y,T)$ är standard Borel så är varje bijektiv mätbar mappning $f:(X,\Sigma )\to (Y,\mathrm {T} )$ är en isomorfism (det vill säga den inversa mappningen är också mätbar). Detta följer av Souslins teorem , eftersom en uppsättning som är både analytisk och koanalytisk är nödvändigtvis Borel.
• Om $(X,\Sigma )$ och $(Y,T)$ är standard Borel-mellanslag och $f:X\to Y$ då är $f$ mätbar om och endast om grafen för $f$ är Borel.
• Produkten och direkt förening av en räknebar familj av standard Borel-utrymmen är standard.
• Varje komplett sannolikhetsmått på ett standard Borel-utrymme förvandlar det till ett standardsannolikhetsutrymme .

Kuratowskis teorem

Sats . Låt $X$ vara ett polskt utrymme , det vill säga ett topologiskt utrymme så att det finns ett mått $d$ på $X$ som definierar topologin för $X$ och som gör $X$ till ett komplett separerbart metriskt utrymme. Då $X$ som ett Borel-utrymme Borel isomorft till en av (1) $\mathbb {R} ,$ (2) $\mathbb {Z}$ eller (3) ett ändligt diskret utrymme. (Detta resultat påminner om Maharams teorem .)

Det följer att ett standard Borel-utrymme kännetecknas upp till isomorfism av dess kardinalitet , och att varje oräknelig standard-Borel-rymd har kontinuumets kardinalitet .

Borel isomorphisms på standard Borel utrymmen är analoga med homeomorphisms på topologiska utrymmen : båda är bijektiva och stängda under sammansättning, och en homeomorphism och dess invers är båda kontinuerliga , istället för att båda är bara Borel mätbara.

Se även

• Mätbart utrymme – ordnat par som associerar en uppsättning med en sigma-algebra, på vilken det sedan är möjligt att definiera ett mått Sidor som visar wikidata-beskrivningar som reserv