Variationskalkyl

"Variationsmetod" omdirigerar hit. För användning som approximationsmetod inom kvantmekanik, se Variationsmetod (kvantmekanik) .

Variationskalkylen (eller Variationskalkylen) är ett fält för matematisk analys som använder variationer, som är små förändringar i funktioner och funktionaler , för att hitta maxima och minima för funktionaler: avbildningar från en uppsättning funktioner till de reella talen . Funktionaler uttrycks ofta som bestämda integraler som involverar funktioner och deras derivator . Funktioner som maximerar eller minimerar funktionaliteter kan hittas med Euler–Lagrange-ekvationen för variationskalkylen.

Ett enkelt exempel på ett sådant problem är att hitta kurvan med kortast längd som förbinder två punkter. Om det inte finns några begränsningar är lösningen en rät linje mellan punkterna. Men om kurvan är begränsad till att ligga på en yta i rymden, är lösningen mindre uppenbar, och det kan finnas många lösningar. Sådana lösningar är kända som geodetik . Ett relaterat problem utgörs av Fermats princip : ljus följer den kortaste optiska längden som förbinder två punkter, vilket beror på mediets material. Ett motsvarande begrepp inom mekanik är principen om minsta/stationära verkan .

Många viktiga problem involverar funktioner av flera variabler. Lösningar av gränsvärdesproblem för Laplace-ekvationen uppfyller Dirichlets princip . Plataus problem kräver att man hittar en yta med minimal yta som spänner över en given kontur i rymden: en lösning kan ofta hittas genom att doppa en ram i tvålvatten. Även om sådana experiment är relativt lätta att utföra, är deras matematiska formulering långt ifrån enkel: det kan finnas mer än en lokalt minimerande yta, och de kan ha icke-trivial topologi .

Historia

Variationskalkylen kan sägas börja med Newtons minimala resistansproblem 1687, följt av brachistochrone kurvproblem som togs upp av Johann Bernoulli (1696). Det upptog omedelbart Jakob Bernoullis och markisen de l'Hôpital uppmärksamhet , men Leonhard Euler utarbetade först ämnet, med början 1733. Lagrange påverkades av Eulers arbete för att bidra väsentligt till teorin. Efter att Euler såg 1755 års arbete av den 19-åriga Lagrange, släppte Euler sin egen delvis geometriska strategi till förmån för Lagranges rent analytiska tillvägagångssätt och döpte om ämnet till variationskalkylen i sin föreläsning från 1756 Elementa Calculi Variationum .

Legendre (1786) fastställde en metod, inte helt tillfredsställande, för att särskilja maxima och minima. Isaac Newton och Gottfried Leibniz uppmärksammade också ämnet tidigt. Till denna diskriminering Vincenzo Brunacci (1810), Carl Friedrich Gauss (1829), Siméon Poisson (1831), Mikhail Ostrogradsky (1834) och Carl Jacobi (1837) varit bland bidragsgivarna. Ett viktigt allmänt arbete är Sarrus (1842) som kondenserades och förbättrades av Cauchy (1844). Andra värdefulla avhandlingar och memoarer har skrivits av Strauch (1849), Jellett (1850), Otto Hesse (1857), Alfred Clebsch (1858) och Lewis Buffett Carll (1885), men århundradets kanske viktigaste verk är att av Weierstrass . Hans berömda kurs i teorin är epokgörande, och det kan hävdas att han var den förste att placera den på en fast och otvivelaktig grund. Det 20:e och det 23:e Hilbertproblemet som publicerades 1900 uppmuntrade vidare utveckling.

Under 1900-talet gjorde bland andra David Hilbert , Oskar Bolza , Gilbert Ames Bliss , Emmy Noether , Leonida Tonelli , Henri Lebesgue och Jacques Hadamard betydande insatser. Marston Morse tillämpade kalkyl av variationer i vad som nu kallas Morse teori . Lev Pontryagin , Ralph Rockafellar och FH Clarke utvecklade nya matematiska verktyg för beräkning av variationer i optimal kontrollteori . Richard Bellmans dynamiska programmering är ett alternativ till variationskalkylen.

Extrema

Variationskalkylen handlar om maxima eller minima (kollektivt kallade extrema ) för funktionaler. En funktionell mappar funktioner till skalärer , så funktionaler har beskrivits som "funktioner av funktioner." Funktionaler har extrema med avseende på elementen $y$ i ett givet funktionsutrymme definierat över en given domän . En funktionell $J[y]$ sägs ha ett extremum vid funktionen $f$ om $\Delta J=J [y]-J[f]$ har samma tecken för alla $y$ i ett godtyckligt litet område av $f.$ Funktionen $f$ kallas en extremalfunktion eller extremal. Extremumet $J[f]$ kallas ett lokalt maximum om $\Delta J\leq 0$ överallt i en godtyckligt liten omgivning av $f,$ och en lokalt minimum om $\Delta J\geq 0$ där. För ett funktionsutrymme av kontinuerliga funktioner kallas extrema av motsvarande funktional starka extrema eller svaga extrema , beroende på om de första derivatorna av de kontinuerliga funktionerna alla är kontinuerliga eller inte.

Både starka och svaga extrema av funktionaler är för ett rum med kontinuerliga funktioner, men starka extrema har det ytterligare kravet att de första derivatorna av funktionerna i rummet är kontinuerliga. Ett starkt extremum är alltså också ett svagt extremum, men det omvända kanske inte håller. Att hitta starka extrema är svårare än att hitta svaga extrema. Ett exempel på ett nödvändigt villkor som används för att hitta svaga extrema är Euler–Lagrange-ekvationen .

Euler–Lagrange ekvation

Huvudartikel: Euler–Lagrange ekvation

Att hitta extrema för funktionaler liknar att hitta maxima och minima för funktioner. Maxima och minima för en funktion kan lokaliseras genom att hitta punkterna där dess derivata försvinner (dvs. är lika med noll). Extrema av funktionaler kan erhållas genom att hitta funktioner för vilka den funktionella derivatan är lika med noll. Detta leder till att lösa den associerade Euler-Lagrange-ekvationen .

Tänk på det funktionella

$$J[y]=\int _{x_{1}}^{x_{2}}L\left(x,y(x),y'(x)\right)\,dx\,.$$

var

• $x_{1},x_{2}$ är konstanter ,
• $y(x)$ är två gånger kontinuerligt differentierbar,
• $y'(x)={\frac {dy}{dx}},$
• $L\left(x,y(x),y'(x)\right)$ är två gånger kontinuerligt differentierbar med avseende på dess argument $x,y,$ och $y'.$

Om den funktionella $J[y]$ uppnår ett lokalt minimum vid $är {\displaystyle f,}$ och $\eta (x)$ en godtycklig funktion som har minst en derivata och försvinner vid ändpunkterna $x_{1}$ och $x_{2},$ sedan för valfritt tal $\varepsilon$ nära 0,

$$J[f]\leq J[f+\varepsilon \eta ]\,.$$

Termen $\varepsilon \eta$ kallas variationen av funktionen $f$ och betecknas med $\delta f.$

Genom att ersätta $f+\varepsilon \eta$ för $y$ i den funktionella $J[y],$ är resultatet en funktion av $\ varepsilon ,$

$$\Phi (\varepsilon )=J[f+\varepsilon \eta ]\,.$$

Eftersom den funktionella $J[y]$ har ett minimum för ${\displaystyle y=f} har$ funktionen $\Phi (\varepsilon )$ ett minimum vid $\varepsilon =0$ och därmed,

$$\Phi '(0)\equiv \left.{\frac {d\Phi }{d\varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}=\int _{x_{1}}^{ x_{2}}\left.{\frac {dL}{d\varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}dx=0\,.$$

Med den totala derivatan av $L\left[x,y,y'\right],$ där $y=f+\varepsilon \eta$ och $y'=f'+\varepsilon \eta '$ betraktas som funktioner av $\varepsilon$ snarare än $x,$ ger

$${\frac {dL}{d\varepsilon }}={\frac {\partial L}{\ partiell y}}{\frac {dy}{d\varepsilon }}+{\frac {\partial L}{\partial y'}}{\frac {dy'}{d\varepsilon }}$$

och eftersom ${\frac {dy}{d\varepsilon }}=\eta$ och ${\frac {dy'}{d\ varepsilon }}=\eta ',$

$${\frac {dL}{d\varepsilon }}={\frac {\partial L}{\partial y}}\eta +{\frac {\partial L}{\partial y'}}\eta '.$$

Därför,

$${ \begin{aligned}\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left.{\frac {dL}{d\varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}dx&=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left({\frac {\partial L}{\partial f}}\eta +{\frac {\partial L}{\partial f'}}\ eta '\right)\,dx\\&=\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\frac {\partial L}{\partial f}}\eta \,dx+\left. {\frac {\partial L}{\partial f'}}\eta \right|_{x_{1}}^{x_{2}}-\int _{x_{1}}^{x_{2} }\eta {\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}\,dx\\&=\int _{x_{1}}^{x_{2} }\left({\frac {\partial L}{\partial f}}\eta -\eta {\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}\right )\,dx\\\end{aligned}}$$

där $L\left[x,y,y'\right]\to L\left[x,f,f'\right ]$ när $\varepsilon =0$ och vi har använt integration av delar på den andra termen. Den andra termen på den andra raden försvinner eftersom $\eta =0$ vid $x_{1}$ och $x_{2}$ per definition. Som tidigare nämnt är den vänstra sidan av ekvationen också noll så att

$$\int _{x_{1}}^{x_{2}}\eta (x)\left({\frac {\partial L}{\partial f}}-{\frac {d}{dx }}{\frac {\partial L}{\partial f'}}\right)\,dx=0\,.$$

Enligt det fundamentala lemmat för variationskalkyl är den del av integranden inom parentes noll, dvs.

$${\frac {\partial L}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L} {\partial f'}}=0$$

som kallas Euler–Lagrange-ekvationen . Den vänstra sidan av denna ekvation kallas den funktionella derivatan av $J[f]$ och betecknas $\delta J/\delta f(x).$

Generellt ger detta en andra ordningens ordinarie differentialekvation som kan lösas för att erhålla extremalfunktionen $f(x).$ Euler–Lagrange-ekvationen är ett nödvändigt , men inte tillräckligt , villkor för ett extremum $J[f].$ Ett tillräckligt villkor för ett minimum anges i avsnittet Variationer och tillräckligt villkor för ett minimum .

Exempel

För att illustrera denna process, överväg problemet med att hitta extremalfunktionen $y=f(x),$ som är den kortaste kurvan som förbinder två punkter ${ \displaystyle \left(x_{1},y_{1}\right)}$ och $\left(x_{2},y_{2}\right).$ Båglängden på kurvan ges av

$$A[y]=\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {1+[y'(x)]^{2}}}\,dx\,,$$

med

$$y'(x)={\frac {dy}{dx}}\,,\ \ y_{1}=f(x_{1})\,,\ \ y_{2}=f(x_{ 2})\,.$$

Observera att om man antar att y är en funktion av x förlorar man generaliteten; helst borde båda vara en funktion av någon annan parameter. Detta tillvägagångssätt är bra endast för lärorikt syfte.

Euler–Lagrange-ekvationen kommer nu att användas för att hitta extremalfunktionen $f(x)$ som minimerar den funktionella $A[y].$

$${\frac {\partial L}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L} {\partial f'}}=0$$

med

$$L={\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,.$$

Eftersom $f$ inte förekommer explicit i $L,$ den första termen i Euler–Lagrange-ekvationen för alla $f(x)$ och därmed,

$${\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}=0\,.$$

Ersätter $L$ och tar derivatan,

$${\frac {d}{dx}}\ {\frac {f'(x)}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}}\ =0\,.$$

Således

$${\frac {f'(x)}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}} }=c\,,$$

för någon konstant $c.$ Sedan

$${\frac {[f'(x)]^{2}}{1+[f'(x) ]^{2}}}=c^{2}\,,$$

var

$$0\leq c^{2}<1.$$

Lösning får vi

$$[f'(x)]^{2}={\frac {c^{2}}{1-c^{2}}}$$

vilket innebär det

$$f'(x)=m$$

är en konstant och därför den kortaste kurvan som förbinder två punkter $\left(x_{1},y_{1}\right)$ och $\left(x_{2},y_{2}\right)$ är

$$f(x)=mx+b \qquad {\text{med}}\ \ m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\quad {\text{and}}\quad b={\frac {x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}$$

och vi har alltså hittat extremalfunktionen $f(x)$ som minimerar den funktionella $A[y]$ så att $A[f]$ är ett minimum. Ekvationen för en rät linje är $y=f(x).$ Med andra ord är det kortaste avståndet mellan två punkter en rät linje.

Beltramis identitet

I fysikproblem kan det vara så att ${\frac {\partial L}{\partial x}}=0,$ vilket betyder att integranden är en funktion av $f(x)$ och $f'(x)$ men $x$ visas inte separat. I så fall kan Euler-Lagrange-ekvationen förenklas till Beltrami-identiteten

$$Lf'{\frac {\partial L}{\partial f'}}=C\,,$$

där $C$ är en konstant. Den vänstra sidan är Legendre-transformationen av $L$ med avseende på $f'(x).$

Intuitionen bakom detta resultat är att om variabeln ${\displaystyle x} faktiskt är tid, så$ innebär påståendet ${\frac {\partial L}{\partial x}}=0$ att Lagrangian är tidsoberoende. Enligt Noethers teorem finns det en associerad konserverad kvantitet. I det här fallet är denna kvantitet Hamiltonian, Legendre-transformationen av Lagrangian, som (ofta) sammanfaller med systemets energi. Detta är (minus) konstanten i Beltramis identitet.

Euler-Poissons ekvation

Om $S$ beror på högre derivator av $y(x),$ det vill säga om

$$S=\int _{a}^{b}f( x,y(x),y'(x),\dots ,y^{(n)}(x))dx,$$

då måste $y$ uppfylla Euler- Poisson -ekvationen,

$${\frac {\partial f }{\partial y}}-{\frac {d}{dx}}\left({\frac {\partial f}{\partial y'}}\right)+\dots +(-1)^{n }{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left[{\frac {\partial f}{\partial y^{(n)}}}\right]=0.$$

Du Bois-Reymonds teorem

Diskussionen hittills har antagit att extrema funktioner har två kontinuerliga derivator, även om existensen av integralen $J$ endast kräver första derivator av försöksfunktioner. Villkoret att den första variationen försvinner vid en extremal kan betraktas som en svag form av Euler-Lagrange-ekvationen. Du Bois-Reymonds teorem hävdar att denna svaga form innebär den starka formen. Om $L$ har kontinuerliga första- och andraderivator med avseende på alla dess argument, och om

$${\frac {\partial ^{2}L}{\partial f'^{2}}}\neq 0,$$

då har $f$ två kontinuerliga derivator, och den uppfyller Euler–Lagrange-ekvationen.

Lavrentiev-fenomen

Hilbert var den första som gav goda förutsättningar för Euler–Lagrange-ekvationerna att ge en stationär lösning. Inom ett konvext område och en positiv tre gånger differentierbar Lagrangian består lösningarna av en räknebar samling sektioner som antingen går längs gränsen eller uppfyller Euler–Lagrange-ekvationerna i det inre.

Men Lavrentiev 1926 visade att det finns omständigheter där det inte finns någon optimal lösning men man kan närma sig godtyckligt nära genom att öka antalet sektioner. Lavrentiev-fenomenet identifierar en skillnad i infimum av ett minimeringsproblem mellan olika klasser av tillåtna funktioner. Till exempel följande problem, presenterat av Manià 1934:

$$L[x]=\int _{0}^{1}(x^{3}-t)^{2}x '^{6},$$

$${A}=\{x\in W^{1,1}(0,1):x(0)=0,\ x(1)=1\}.$$

Tydligen minimerar $x(t)=t^{\frac {1}{3}}$ den funktionella, men vi hittar vilken funktion som helst $x \in W^{1,\infty }$ ger ett värde avgränsat från infimumet.

Exempel (i endimensionell) manifesteras traditionellt över $W^{1,1}$ och $W^{1,\infty },$ men Ball och Mizel skaffade den första funktionaliteten som visade Lavrentievs fenomen över $W^{1,p}$ och $W^{1,q}$ för $1\leq p<q<\infty .$ Det finns flera resultat som ger kriterier under vilka fenomenet inte uppstår - till exempel 'standardtillväxt', en lagrangian utan beroende av den andra variabeln eller en approximativ sekvens tillfredsställer Cesaris tillstånd (D) - men resultaten är ofta speciella och applicerbara på en liten klass av funktionaliteter.

Kopplad till Lavrentiev-fenomenet är repulsionsegenskapen: alla funktionella som visar Lavrentievs fenomen kommer att visa den svaga repulsionsegenskapen.

Funktioner av flera variabler

Till exempel, om $\varphi (x,y)$ anger förskjutningen av ett membran ovanför domänen $D$ i $x,y$ -planet då är dess potentiella energi proportionell mot dess yta:

$$U[\varphi ]=\iint _{D}{\sqrt {1+\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi }}\,dx\,dy.$$

Plataus problem består i att hitta en funktion som minimerar ytan samtidigt som man antar föreskrivna värden på gränsen för $D$ ; lösningarna kallas minimala ytor . Euler-Lagrange-ekvationen för detta problem är olinjär:

$$\varphi _{xx}(1+\varphi _{y }^{2})+\varphi _{yy}(1+\varphi _{x}^{2})-2\varphi _{x}\varphi _{y}\varphi _{xy}=0.$$

Se Courant (1950) för detaljer.

Dirichlets princip

Det räcker ofta att endast beakta små förskjutningar av membranet, vars energiskillnad från ingen förskjutning approximeras av

$$V[\varphi ]={\frac {1}{2}}\iint _{D}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \,dx\,dy.$$

Den funktionella $V$ ska minimeras bland alla testfunktioner $\varphi$ som antar föreskrivna värden på gränsen för $D.$ Om $u$ är minimeringsfunktionen och $v$ är en godtycklig jämn funktion som försvinner på gränsen till $D,$ så är den första varianten av $V[u+\varepsilon v]$ måste försvinna:

$$\left.{\frac {d}{d\varepsilon }}V[u+\varepsilon v]\right|_{\varepsilon = 0}=\iint _{D}\nabla u\cdot \nabla v\,dx\,dy=0.$$

Förutsatt att u har två derivator kan vi tillämpa divergenssatsen för att erhålla

$${\display{D }\nabla \cdot (v\nabla u)\,dx\,dy=\iint _{D}\nabla u\cdot \nabla v+v\nabla \cdot \nabla u\,dx\,dy=\int _{C}v{\frac {\partial u}{\partial n}}\,ds,}$$

där $C$ är gränsen för $D,$$s$ är båglängden längs $C$ och $\partial u/\partial n$ är normalderivatan av $u$ på $C.$ Eftersom $v$ försvinner på $C$ och den första varianten försvinner, är resultatet

$$\iint _{D}v\nabla \cdot \nabla u\,dx\,dy=0$$

för alla smidiga funktioner v som försvinner på gränsen till $D.$ Beviset för fallet med endimensionella integraler kan anpassas till detta fall för att visa att

$$\nabla \cdot \nabla u=0$$

i $D.$

Svårigheten med detta resonemang är antagandet att minimeringsfunktionen u måste ha två derivator. Riemann hävdade att förekomsten av en smidig minimeringsfunktion säkerställdes av sambandet med det fysiska problemet: membran antar verkligen konfigurationer med minimal potentiell energi. Riemann kallade denna idé för Dirichlet-principen för att hedra sin lärare Peter Gustav Lejeune Dirichlet . Weierstrass gav dock ett exempel på ett variationsproblem utan lösning: minimera

$$W[\varphi ]=\int _{-1}^{1}(x\varphi ')^{2}\,dx$$

bland alla funktioner $\varphi$ som uppfyller $\varphi (-1)=-1$ och $\varphi (1)= 1.$$W$ kan göras godtyckligt liten genom att välja bitvis linjära funktioner som gör en övergång mellan −1 och 1 i ett litet område av origo. Det finns dock ingen funktion som gör att $W=0.$ Så småningom visades det att Dirichlets princip är giltig, men den kräver en sofistikerad tillämpning av regularitetsteorin för elliptiska partiella differentialekvationer ; se Jost och Li–Jost (1998).

Generalisering till andra gränsvärdesproblem

Ett mer allmänt uttryck för den potentiella energin hos ett membran är

$$V[\varphi ]=\iint _{D}\left[{\frac {1}{2}}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi +f(x,y)\varphi \right] \,dx\,dy\,+\int _{C}\left[{\frac {1}{2}}\sigma (s)\varphi ^{2}+g(s)\varphi \right]\ ,ds.$$

Detta motsvarar en extern kraftdensitet $f(x,y)$ i $D,$ en extern kraft $g(s)$ på gränsen $C,$ och elastiska krafter med modul $\sigma (s)$ som verkar på $C.$ Funktionen som minimerar den potentiella energin utan begränsning av dess gränsvärden kommer att betecknas med $u.$ Förutsatt att $f$ och $g$ är kontinuerliga, innebär regularitetsteori att minimeringsfunktionen $u$ kommer att ha två derivator. När du tar den första varianten behöver inget gränsvillkor ställas på inkrementet $v.$ Den första varianten av $V[u+\varepsilon v]$ ges av

$$\iint _{D}\left[\nabla u\cdot \ nabla v+fv\right]\,dx\,dy+\int _{C}\left[\sigma uv+gv\right]\,ds=0.$$

Om vi ​​tillämpar divergenssatsen blir resultatet

$$\iint _{D}\vänster[- v\nabla \cdot \nabla u+vf\right]\,dx\,dy+\int _{C}v\left[{\frac {\partial u}{\partial n}}+\sigma u+g\ höger]\,ds=0.$$

Om vi ​​först sätter $v=0$ på $C,$ försvinner gränsintegralen, och vi drar slutsatsen som tidigare att

$$-\nabla \cdot \nabla u+f=0$$

i $D.$ Om vi ​​sedan tillåter $v$ att anta godtyckliga gränsvärden, innebär detta att $u$ måste uppfylla gränsvillkoret

$${\frac {\partial u}{\partial n}}+\sigma u+g=0,$$

på $C.$ Detta gränsvillkor är en konsekvens av minimeringsegenskapen för $u$ : det är inte påtvingat i förväg. Sådana förhållanden kallas naturliga randvillkor .

Det föregående resonemanget är inte giltigt om $\sigma$ försvinner identiskt på $C.$ I ett sådant fall skulle vi kunna tillåta en testfunktion $\varphi \equiv c,$ där $c$ är en konstant. För en sådan testfunktion,

$$V[c]=c\left[\iint _{D}f\,dx\,dy+\int _{C}g\,ds\right].$$

Genom lämpligt val av $c,$$\displaystyle V}$ anta vilket värde som helst såvida inte kvantiteten inom parentesen försvinner. Därför är variationsproblemet meningslöst om inte

$$\iint _{D}f\,dx\,dy+\int _{C}g\,ds=0.$$

Detta tillstånd innebär att externa nettokrafter på systemet är i jämvikt. Om dessa krafter är i jämvikt har variationsproblemet en lösning, men det är inte unikt, eftersom en godtycklig konstant kan läggas till. Ytterligare detaljer och exempel finns i Courant och Hilbert (1953).

Egenvärdesproblem

Både endimensionella och flerdimensionella egenvärdesproblem kan formuleras som variationsproblem.

Sturm–Liouville problem

Se även: Sturm–Liouville-teorin

Egenvärdesproblemet Sturm–Liouville involverar en allmän kvadratisk form

$$Q[\varphi ]=\int _{x_{ 1}}^{x_{2}}\left[p(x)\varphi '(x)^{2}+q(x)\varphi (x)^{2}\right]\,dx,$$

där $\varphi$ är begränsad till funktioner som uppfyller gränsvillkoren

$$\varphi (x_{1})=0,\quad \varphi (x_{2})=0.$$

Låt $R$ vara en normaliseringsintegral

$$R[\varphi ]=\int _{x_{1}}^{x_{2}}r(x)\varphi (x)^{2}\,dx.$$

Funktionerna $p(x)$ och $r(x)$ måste vara positiva överallt och avgränsade från noll. Det primära variationsproblemet är att minimera förhållandet $Q/R$ bland alla $\varphi$ som uppfyller ändpunktsvillkoren. Det visas nedan att Euler–Lagrange-ekvationen för minimerings $u$ är

$$-(pu')'+qu-\lambda ru=0,$$

där $\lambda$ är kvoten

$$\lambda ={\frac {Q[u]}{R[u]}}.$$

Det kan visas (se Gelfand och Fomin 1963) att den minimerande $u$ har två derivator och uppfyller Euler–Lagrange-ekvationen. Den associerade $\lambda$ kommer att betecknas med $\lambda _{1}$ ; det är det lägsta egenvärdet för denna ekvation och randvillkor. Den tillhörande minimeringsfunktionen kommer att betecknas med $u_{1}(x).$ Denna variationskaraktärisering av egenvärden leder till Rayleigh–Ritz-metoden : välj ett approximativt $u$ som en linjär kombination av basfunktioner (till exempel trigonometriska funktioner) och utför en finitdimensionell minimering bland sådana linjära kombinationer. Denna metod är ofta förvånansvärt korrekt.

Det näst minsta egenvärdet och egenfunktionen kan erhållas genom att minimera $Q$ under den extra begränsningen

$$\int _{x_{1}}^{x_{2}}r(x)u_{1} (x)\varphi (x)\,dx=0.$$

Denna procedur kan utökas för att erhålla den fullständiga sekvensen av egenvärden och egenfunktioner för problemet.

Variationsproblemet gäller även mer generella randvillkor. Istället för att kräva att $\varphi$ försvinner vid ändpunkterna, får vi inte införa något villkor vid ändpunkterna och ställa in

$$Q[\varphi ]=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left[p(x)\varphi '(x)^{2}+q(x) \varphi (x)^{2}\right]\,dx+a_{1}\varphi (x_{1})^{2}+a_{2}\varphi (x_{2})^{2},$$

där $a_{1}$ och $a_{2}$ är godtyckliga. Om vi ​​sätter $\varphi =u+\varepsilon v$ är den första varianten för förhållandet $Q/R$

$$V_{1}={\frac {2 }{R[u]}}\left(\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left[p(x)u'(x)v'(x)+q(x)u (x)v(x)-\lambda r(x)u(x)v(x)\höger]\,dx+a_{1}u(x_{1})v(x_{1})+a_{ 2}u(x_{2})v(x_{2})\höger),$$

där λ ges av förhållandet $Q[u]/R[u]$ som tidigare. Efter integrering av delar,

$${\frac {R[u]}{2}}V_{1}=\int _{x_{1}}^{x_{2}}v(x)\left[-(pu')' +qu-\lambda ru\right]\,dx+v(x_{1})[-p(x_{1})u'(x_{1})+a_{1}u(x_{1})] +v(x_{2})[p(x_{2})u'(x_{2})+a_{2}u(x_{2})].$$

Om vi ​​först kräver att $v$ försvinner vid ändpunkterna, kommer den första varianten att försvinna för alla sådana $v$ endast om

$$-(pu')'+qu-\lambda ru=0\quad {\hbox{for}}\quad x_{1}<x<x_{2}.$$

Om $u$ uppfyller detta villkor, kommer den första varianten att försvinna för godtycklig $v$ endast om

$$-p (x_{1})u'(x_{1})+a_{1}u(x_{1})=0,\quad {\hbox{and}}\quad p(x_{2})u'( x_{2})+a_{2}u(x_{2})=0.$$

Dessa senare villkor är de naturliga randvillkoren för detta problem, eftersom de inte åläggs försöksfunktioner för minimeringen, utan är istället en konsekvens av minimeringen.

Egenvärdesproblem i flera dimensioner

Egenvärdesproblem i högre dimensioner definieras i analogi med det endimensionella fallet. Till exempel, givet en domän $D$ med gräns $B$ i tre dimensioner kan vi definiera

$$Q[\varphi ]= \iiint _{D}p(X)\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi +q(X)\varphi ^{2}\,dx\,dy\,dz+\iint _{B}\sigma (S )\varphi ^{2}\,dS,$$

och

$$R[\varphi ]=\iiint _{D}r(X)\varphi (X)^{2}\,dx\,dy\,dz.$$

Låt $u$ vara funktionen som minimerar kvoten $Q[\varphi ]/R[\varphi ],$ utan något villkor föreskrivet på gränsen $B.$ Euler–Lagrange-ekvationen uppfylld av $u$ är

$$-\nabla \cdot (p(X)\nabla u)+q(x)u- \lambda r(x)u=0,$$

var

$$\lambda ={\frac {Q[u]}{R[u]}}.$$

Den minimerande $u$ måste också uppfylla det naturliga gränsvillkoret

$$p(S){\frac {\partial u}{\partial n}}+\sigma (S)u=0,$$

på gränsen $B.$ Detta resultat beror på regularitetsteorin för elliptiska partiella differentialekvationer; se Jost och Li–Jost (1998) för detaljer. Många förlängningar, inklusive fullständighetsresultat, asymptotiska egenskaper hos egenvärdena och resultat beträffande egenfunktionernas noder finns i Courant och Hilbert (1953).

Ansökningar

Optik

Fermats princip säger att ljus tar en väg som (lokalt) minimerar den optiska längden mellan dess ändpunkter. Om $x$ -koordinaten väljs som parameter längs banan, och $y=f(x)$ längs banan, så ges den optiska längden av

$$A[f]=\int _{x_{0}}^{x_{ 1}}n(x,f(x)){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}dx,$$

där brytningsindex $n(x,y)$ beror på materialet. Om vi ​​försöker $f(x)=f_{0}(x)+\varepsilon f_{1}(x)$ så kommer den första varianten av $A$ (derivatan av $A$ med avseende på ε) är

$$\delta A[f_{0},f_{1}]=\int _{x_{0}}^{x_{1}}\left[{\frac {n(x,f_{0}) f_{0}'(x)f_{1}'(x)}{\sqrt {1+f_{0}'(x)^{2}}}}+n_{y}(x,f_{0} )f_{1}{\sqrt {1+f_{0}'(x)^{2}}}\right]dx.$$

Efter integration med delar av den första termen inom parentes får vi Euler–Lagrange-ekvationen

$$-{\frac {d}{dx }}\left[{\frac {n(x,f_{0})f_{0}'}{\sqrt {1+f_{0}'^{2}}}}\right]+n_{y} (x,f_{0}){\sqrt {1+f_{0}'(x)^{2}}}=0.$$

Ljusstrålarna kan bestämmas genom att integrera denna ekvation. Denna formalism används i samband med Lagrangian optik och Hamiltonian optik .

Snells lag

Det finns en diskontinuitet i brytningsindexet när ljus kommer in i eller lämnar en lins. Låta

$$n(x,y)={\begin{cases}n_{(-)}&{\text {if}}\quad x<0,\\n_{(+)}&{\text{if}}\quad x>0,\end{cases}}$$

där $n_{(-)}$ och $n_{(+)}$ är konstanter. Då gäller Euler–Lagrange-ekvationen som tidigare i området där $x<0$ eller $x>0,$ och i själva verket är banan en rät linje där, eftersom brytningsindex är konstant. Vid $x=0,$$f$ vara kontinuerlig, men $f'$ kan vara diskontinuerlig. Efter integration av delar i de separata regionerna och med Euler–Lagrange-ekvationerna, tar den första varianten formen

$$\delta A[f_{0},f_{1}]=f_{1}(0)\left[n_{(-)}{\frac {f_{0}'(0^{-}) }{\sqrt {1+f_{0}'(0^{-})^{2}}}}-n_{(+)}{\frac {f_{0}'(0^{+})} {\sqrt {1+f_{0}'(0^{+})^{2}}}}\höger].$$

Faktorn som multiplicerar $n_{(-)}$ är sinus för vinkeln för den infallande strålen med $x$ -axeln, och faktorn multiplicerar $n_{( +)}$ är sinus för vinkeln för den brutna strålen med $x$ -axeln. Snells lag för brytning kräver att dessa termer är lika. Som denna beräkning visar är Snells lag ekvivalent med att den första variationen av den optiska väglängden försvinner.

Fermats princip i tre dimensioner

Det är lämpligt att använda vektornotation: låt $X=(x_{1},x_{2},x_{3}),$ låt $t$ vara en parameter, låt $X(t)$ vara den parametriska representationen av en kurva $C,$ och låt ${\dot {X} }(t)$ vara dess tangentvektor. Kurvans optiska längd ges av

$$A[C]=\int _{t_{0}}^{t_{1}}n(X){\sqrt {{\dot {X}}\cdot {\dot {X}}}} \,dt.$$

Observera att denna integral är invariant med avseende på förändringar i den parametriska representationen av $C.$ Euler–Lagrange-ekvationerna för en minimeringskurva har den symmetriska formen

$${\frac {d}{dt}}P={\sqrt {{\dot {X}}\cdot {\dot {X}}}} \,\nabla n,$$

var

$$P={\frac {n(X){\dot {X}}}{\sqrt {{\dot {X}}\cdot {\dot {X}}}}}.$$

Det följer av definitionen att $P$ uppfyller

$$P\cdot P=n(X)^{2}.$$

Därför kan integralen också skrivas som

$$A[C]=\int _{t_{0}}^{t_{1}}P\cdot {\dot {X}}\,dt.$$

Denna form antyder att om vi kan hitta en funktion $\psi$ vars gradient ges av ${\displaystyle P,} så$ ges integralen ${\displaystyle A} av skillnaden mellan$$\ psi$ vid ändpunkterna för integrationsintervallet. Således kan problemet med att studera kurvorna som gör integralen stationär relateras till studiet av de plana ytorna på $\psi .$ För att hitta en sådan funktion vänder vi oss till vågekvationen, som styr ljusets utbredning. Denna formalism används i samband med Lagrangian optik och Hamiltonian optik .

Samband med vågekvationen

Vågekvationen för ett inhomogent medium är

$$u_{tt}=c^{2}\nabla \cdot \nabla u,$$

där $c$ är hastigheten, som i allmänhet beror på $X.$ Vågfronter för ljus är karakteristiska ytor för denna partiella differentialekvation: de uppfyller

$$\varphi _{t}^{2}=c(X)^{2}\,\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi .$$

Vi kan leta efter lösningar i formuläret

$$\varphi (t,X)=t-\psi (X).$$

I så fall uppfyller $\psi$

$$\nabla \psi \cdot \nabla \psi =n^{2},$$

där $n=1/c.$ Enligt teorin om första ordningens partiella differentialekvationer , om $P=\nabla \psi ,$ så uppfyller $P$

$${\frac {dP}{ds}}=n\,\nabla n,$$

längs ett system av kurvor ( ljusstrålarna ) som ges av

$${\frac {dX}{ds}}=P.$$

Dessa ekvationer för lösning av en första ordningens partiell differentialekvation är identiska med Euler–Lagrange ekvationerna om vi gör identifieringen

$${\frac {ds}{dt}}={\frac {\sqrt {{\dot {X}}\cdot {\dot {X}}}}{n}}.$$

Vi drar slutsatsen att funktionen $\psi$ är värdet på minimeringsintegralen $A$ som en funktion av den övre slutpunkten. Det vill säga, när en familj av minimeringskurvor konstrueras, uppfyller värdena för den optiska längden den karakteristiska ekvationen som motsvarar vågekvationen. Att lösa den associerade partiella differentialekvationen av första ordningen är därför ekvivalent med att hitta familjer av lösningar på variationsproblemet. Detta är det väsentliga innehållet i Hamilton–Jacobi-teorin , som gäller mer generella variationsproblem.

Mekanik

Huvudartikel: Action (fysik)

I klassisk mekanik definieras handlingen, $S,$ som tidsintegralen för lagrangian, $L.$ Lagrangian är skillnaden mellan energier,

$$L=TU,$$

där $T$ är den kinetiska energin för ett mekaniskt system och $U$ dess potentiella energi . Hamiltons princip (eller handlingsprincipen) säger att rörelsen hos ett konservativt holonomiskt (integrerbara begränsningar) mekaniskt system är sådan att handlingsintegralen

$$S=\int _{t_{0}}^{t_{1}}L(x,{\dot {x}}, t)\,dt$$

är stationär med avseende på variationer i vägen $x(t).$ Euler–Lagrange-ekvationerna för detta system är kända som Lagranges ekvationer:

$${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}={\ frac {\partial L}{\partial x}},$$

och de är ekvivalenta med Newtons rörelseekvationer (för sådana system).

Det konjugerade momentet $P$ definieras av

$$p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}.$$

Till exempel om

$$T={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2},$$

sedan

$$p=m{\dot {x}}.$$

Hamiltonsk mekanik blir resultatet om det konjugerade momentan introduceras i stället för ${\dot {x}}$ genom en Legendre-transformation av Lagrangian $L$ till Hamiltonian $H$ definierad av

$$H(x,p,t)=p\,{\dot {x}}-L(x,{\dot {x}},t).$$

Hamiltonian är den totala energin i systemet: $H=T+U.$ Analogi med Fermats princip tyder på att lösningar av Lagranges ekvationer (partikelbanorna) kan beskrivas i termer av plana ytor med någon funktion av $X.$ Denna funktion är en lösning av Hamilton–Jacobis ekvation :

$${\frac {\partial \psi }{\partial t}}+H\left(x,{\frac {\partial \psi }{\partial x}},t\right)=0.$$

Ytterligare applikationer

Ytterligare tillämpningar av variationskalkylen inkluderar följande:

• Härledningen av kontaktledningsformen
• Lösning på Newtons minimala resistansproblem
• Lösning på brachistokronproblemet
• Lösning på tautochrone-problemet
• Lösning på isoperimetriska problem
• Beräknar geodetik
• Att hitta minimala ytor och lösa Plataus problem
• Optimal kontroll
• Analytisk mekanik eller omformuleringar av Newtons rörelselagar, mest notably Lagrangian och Hamiltonian mekanik ;
• Geometrisk optik, särskilt Lagrangian och Hamiltonian optik ;
• Variationsmetod (kvantmekanik) , ett sätt att hitta approximationer till den lägsta energins egentillstånd eller grundtillstånd, och några exciterade tillstånd;
• Variationella Bayesianska metoder , en familj av tekniker för att approximera svårlösta integraler som uppstår i Bayesiansk slutledning och maskininlärning;
• Variationsmetoder i allmän relativitet , en familj av tekniker som använder variationskalkyl för att lösa problem i Einsteins allmänna relativitetsteori;
• Finita elementmetod är en variationsmetod för att hitta numeriska lösningar på gränsvärdeproblem i differentialekvationer;
• Total variation denoising , en bildbehandlingsmetod för att filtrera signaler med hög varians eller brus.

Variationer och tillräckligt skick för ett minimum

Variationskalkyl handlar om variationer av funktionaler, som är små förändringar i funktionalens värde på grund av små förändringar i funktionen som är dess argument. Den första variationen definieras som den linjära delen av förändringen i den funktionella, och den andra variationen definieras som den kvadratiska delen.

Till exempel, om $J[y]$ är en funktion med funktionen $y=y(x)$ som argument, och det finns en liten förändring i dess argument från $y$ till $y+h,$ där $h=h(x)$ är en funktion i samma funktionsutrymme som ${ \displaystyle y,}$ då är motsvarande ändring i funktion

$$\Delta J[h]=J[y+h]-J[y].$$

Den funktionella $J[y]$ sägs vara differentierbar if

$$\Delta J[h]=\varphi [h]+\varepsilon \|h\|,$$

där $\varphi [h]$ är en linjär funktion, $\|h\|$ är normen för $h,$ och $\ varepsilon \to 0$ som $\|h\|\to 0.$ Den linjära funktionella $\varphi [h]$ är den första varianten av $J[y]$ och betecknas med,

$$\delta J[h]=\varphi [h].$$

Den funktionella $J[y]$ sägs vara dubbelt differentierbar om

$$\Delta J[h]=\varphi _{1}[h]+\varphi _{2} [h]+\varepsilon \|h\|^{2},$$

där $\varphi _{1}[h]$ är en linjär funktion (den första varianten), $\varphi _{2}[h]$ är en kvadratisk funktionell, och $\varepsilon \to 0$ som $\|h\|\to 0.$ Den kvadratiska funktionella $\varphi _{2 [h]$ är den andra varianten av $J[y]$ och betecknas med,

$$\delta ^{2}J[h]=\varphi _{2}[h].$$

Den andra varianten $\delta ^{2}J[h]$ sägs vara starkt positiv om

$$\delta ^{2}J[h]\geq k\|h\|^{2},$$

för alla $h$ och för någon konstant $k>0$ .

Med användning av ovanstående definitioner, särskilt definitionerna av första variant, andra variant och starkt positiv, kan följande tillräckliga villkor för ett minimum av en funktion anges.

Tillräckligt skick för ett minimum:

Den funktionella $J[y]$ har ett minimum vid $y={\hat {y}}$ om dess första variant $\delta J[h]=0$ vid $y={\hat {y}}$ och dess andra variant $\delta ^{2}J[h]$ är starkt positiv vid $y={\hat {y}}.$

Se även

• Första varianten
• Isoperimetrisk ojämlikhet
• Variationsprincip
• Variationsbikomplex
• Fermats princip
• Principen om minsta handling
• Oändlig dimensionell optimering
• Finita elementmetod
• Funktionsanalys
• Ekelands variationsprincip
• Omvänt problem för Lagrangian mekanik
• Hinderproblem
• Störningsmetoder
• Ung åtgärd
• Optimal kontroll
• Direkt metod i variationskalkyl
• Noethers teorem
• De Donder-Weyls teori
• Variationella Bayesianska metoder
• Chaplygin problem
• Nehari grenrör
• Hu–Washizu-principen
• Lukas variationsprincip
• Bergspasssats
• Kategori:Variationsanalytiker
• Mått på central tendens som lösningar på variationsproblem
• Stampacchia-medalj
• Fermatpriset
• Bekvämt vektorutrymme

Vidare läsning

• Benesova, B. och Kruzik, M.: "Svag lägre semikontinuitet av integrerade funktioner och tillämpningar" . SIAM Review 59(4) (2017), 703–766.
•   Bolza, O .: Föreläsningar om variationskalkylen . Chelsea Publishing Company, 1904, tillgängligt på Digital Mathematics-biblioteket. 2:a upplagan återutgiven 1961, pocketbok 2005, ISBN 978-1-4181-8201-4 .
• Cassel, Kevin W.: Variational Methods with Applications in Science and Engineering , Cambridge University Press, 2013.
• Clegg, JC: Calculus of Variations , Interscience Publishers Inc., 1968.
• Courant, R. : Dirichlets princip, konform kartläggning och minimala ytor . Interscience, 1950.
•   Dacorogna, Bernard : " Introduction " Introduction to the Calculus of Variations , 3:e upplagan. 2014, World Scientific Publishing, ISBN 978-1-78326-551-0 .
• Elsgolc, LE: Calculus of Variations , Pergamon Press Ltd., 1962.
• Forsyth, AR: Calculus of Variations , Dover, 1960.
• Fox, Charles: An Introduction to the Calculus of Variations , Dover Publ., 1987.
•     Giaquinta, Mariano; Hildebrandt, Stefan: Calculus of Variations I and II, Springer-Verlag, ISBN 978-3-662-03278-7 och ISBN 978-3-662-06201-2
• Jost, J. och X. Li-Jost: Variationsanalys . Cambridge University Press, 1998.
• Lebedev, LP och Cloud, MJ: The Calculus of Variations and Functional Analysis with Optimal Control and Applications in Mechanics, World Scientific, 2003, sidorna 1–98.
• Logan, J. David: Applied Mathematics , 3:e upplagan. Wiley-Interscience, 2006
• Pike, Ralph W. "Kapitel 8: Variationsanalys" . Optimering för tekniska system . Louisiana State University . Arkiverad från originalet 2007-07-05.
•   Roubicek, T.: " Variationsanalys ". Kap.17 i: Matematiska verktyg för fysiker . (Ed. M. Grinfeld) J. Wiley, Weinheim, 2014, ISBN 978-3-527-41188-7 , s. 551–588.
• Sagan, Hans: Introduction to the Calculus of Variations , Dover, 1992.
• Weinstock, Robert: Calculus of Variations with Applications to Physics and Engineering , Dover, 1974 (omtryck av 1952 års upplaga).

externa länkar

• Variationskalkyl . Encyclopedia of Mathematics .
• variationskalkyl . PlanetMath .
• Variationskalkyl . MathWorld .
• Variationskalkyl . Exempel på problem.
• Matematik - Variationskalkyl och integralekvationer . Föreläsningar på YouTube .
• Utvalda artiklar om Geodesic Fields. Del I , Del II .