Nästan överallt

Ett enkelt exempelmått tilldelar en delregion av rektangeln den del av det geometriska området som den upptar. Sedan har rektangelns gräns mått 0, medan dess inre har mått 1. Nästan varje punkt i rektangeln är en inre punkt , men det inre har ett icke-tomt komplement .

Inom måttteorin (en gren av matematisk analys ) gäller en egenskap nästan överallt om, i teknisk mening, den mängd som egenskapen innehåller tar upp nästan alla möjligheter. Begreppet "nästan överallt" är en följeslagare till begreppet mått noll , och är analogt med begreppet nästan säkert i sannolikhetsteorin .

Mer specifikt gäller en egenskap nästan överallt om den gäller för alla element i en uppsättning utom en delmängd av måttet noll, eller motsvarande, om uppsättningen element som egenskapen innehåller är conull . I de fall då åtgärden inte är komplett räcker det att satsen ingår i en sats noll. När man diskuterar uppsättningar av reella tal antas vanligtvis Lebesgue-måttet om inte annat anges .

Termen nästan överallt förkortas ae ; i äldre litteratur används pp , för att stå för motsvarande franskspråkiga fras presque partout .

En mängd med fullt mått är en vars komplement har måttet noll. I sannolikhetsteorin hänvisar termerna nästan säkert , nästan säkra och nästan alltid till händelser med sannolikhet 1 som inte nödvändigtvis inkluderar alla utfall. Dessa är exakt uppsättningarna av fullt mått i ett sannolikhetsutrymme.

Ibland, istället för att säga att en fastighet håller nästan överallt, sägs det att egendomen håller för nästan alla element (även om termen nästan alla också kan ha andra betydelser).

Definition

Om $(X,\Sigma ,\mu )$ är ett måttutrymme sägs en egenskap ${\displaystyle P} hålla nästan överallt i$$X$ om det finns en mängd $N\in \Sigma$ med $\mu (N)=0$ , och alla $x\in X\setminus N$ har egenskapen $P$ . Ett annat vanligt sätt att uttrycka samma sak är att säga att "nästan varje punkt uppfyller $P\,$ ", eller att "för nästan varje ${\displaystyle x} ,$ P $\displaystyle P(x) )}$ håller".

Det krävs inte att mängden $\{x\in X:\neg P(x)\}$ har måttet 0; det kanske inte tillhör $\Sigma$ . Enligt definitionen ovan är det tillräckligt att $\{x\in X:\neg P(x)\}$ finns i någon uppsättning $N$ som är mätbar och har måttet 0.

Egenskaper

• Om egenskapen $P$ gäller nästan överallt och antyder egenskapen $Q$ , så gäller egenskapen $Q$ nästan överallt. Detta följer av åtgärdernas monotoni .
• Om $(P_{n})$ är en finit eller en räknebar sekvens av egenskaper, som var och en gäller nästan överallt, så gäller deras konjunktion $\forall nP_{n}$ nästan överallt. Detta följer av den räknebara subadditiviteten av åtgärder.
• Däremot, om $(P_{x})_{x\in \mathbf {R} }$ är en oräknelig familj av egenskaper, som var och en gäller nästan överallt, då deras konjunktion $\forall xP_{x}$ håller inte nödvändigtvis nästan överallt. Till exempel, om $\mu$ är Lebesgue mått på $X=\mathbf {R}$ och $P_{x}$ är egenskapen att inte vara lika med $x$ (dvs $P_{x}(y)$ är sant om och endast om $y\neq x$ ) , då gäller varje $​​{\displaystyle P_{x}}$ nästan överallt, men konjunktionen $\forall xP_{x}$ håller inte någonstans.

Som en konsekvens av de två första egenskaperna är det ofta möjligt att resonera om "nästan varje punkt" i ett måttutrymme som om det vore en vanlig punkt snarare än en abstraktion. Detta görs ofta implicit i informella matematiska argument. Men man måste vara försiktig med detta sätt att resonera på grund av den tredje punkten ovan: universell kvantifiering över oräkneliga familjer av påståenden är giltig för vanliga punkter men inte för "nästan varje punkt".

Exempel

• Om f : R → R är en Lebesgue-integrerbar funktion och $f(x)\geq 0$ nästan överallt, då
  $$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\geq 0$$
  för alla reella tal $a<b$ med likhet om och endast om $f(x)=0$ nästan överallt.
• Om f : [ a , b ] → R är en monoton funktion , så är f differentierbar nästan överallt.
• Om f : R → R är Lebesgue mätbar och
  $$\int _{a}^{b}|f(x)|\,dx<\infty$$
  för alla reella tal $a<b$ , så finns det en mängd E (beroende på f ) så att, om x är i E , Lebesgue-medelvärdet
  $${\frac {1}{2\varepsilon }}\int _{x-\varepsilon }^{x+\varepsilon }f(t) \,dt$$
  konvergerar till f ( x ) när $\epsilon$ minskar till noll. Mängden E kallas Lebesgue-mängden av f . Dess komplement kan bevisas ha måttet noll. konvergerar Lebesgue-medelvärdet av f till f nästan överallt.
• En begränsad funktion f : [ a , b ] → R är Riemann-integrerbar om och endast om den är kontinuerlig nästan överallt.
• Som en kuriosa innehåller decimalexpansionen av nästan varje reellt tal i intervallet [0, 1] den fullständiga texten av Shakespeares pjäser , kodad i ASCII ; på samma sätt för alla andra finita siffror, se Normalt nummer .

Definition med hjälp av ultrafilter

Utanför kontexten av verklig analys, definieras begreppet en egenskap som är sann nästan överallt ibland i termer av ett ultrafilter . Ett ultrafilter på en uppsättning X är en maximal samling F av delmängder av X så att:

1. Om U ∈ F och U ⊆ V så är V ∈ F
2. Skärningspunkten mellan två uppsättningar i F är i F
3. Den tomma uppsättningen finns inte i F

En egenskap P för punkter i X gäller nästan överallt, i förhållande till ett ultrafilter F , om den uppsättning punkter som P gäller för är i F .

Till exempel definierar en konstruktion av det hyperrealistiska talsystemet ett hyperrealt tal som en ekvivalensklass av sekvenser som är lika nästan överallt som definieras av ett ultrafilter.

Definitionen av nästan överallt i termer av ultrafilter är nära relaterad till definitionen i termer av mått, eftersom varje ultrafilter definierar ett ändligt additivt mått som endast tar värdena 0 och 1, där en uppsättning har mått 1 om och endast om det ingår i ultrafiltret.

Se även

• Dirichlets funktion , en funktion som är lika med 0 nästan överallt.

Bibliografi

•   Billingsley, Patrick (1995). Sannolikhet och mått (3:e uppl.). New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-00710-2 .