Banachmått
Inom den matematiska disciplinen måttteori är ett Banachmått en viss typ av innehåll som används för att formalisera geometriska områden i problem som är sårbara för valets axiom .
Traditionellt formaliseras intuitiva föreställningar om område som ett klassiskt, uträkneligt additivt mått. Detta har den olyckliga effekten att vissa set lämnas utan väldefinierat område; en konsekvens är att vissa geometriska transformationer inte lämnar arean oföränderlig, substansen i Banach-Tarski- paradoxen. Ett Banachmått är en typ av generaliserad åtgärd för att eliminera detta problem.
Ett Banachmått på en mängd Ω är ett ändligt , ändligt additivt mått μ ≠ 0 , definierat för varje delmängd av ℘(Ω) , och vars värde är 0 på finita delmängder.
Ett Banachmått på Ω som tar värden i {0, 1 } kallas ett Ulammått på Ω .
Som Vitalis paradox visar kan Banach-åtgärder inte förstärkas till att räknas som additiva.
Stefan Banach visade att det är möjligt att definiera ett Banachmått för det euklidiska planet , i överensstämmelse med det vanliga Lebesguemåttet . Detta betyder att varje Lebesgue-mätbar delmängd av också är Banach-mätbar, vilket innebär att båda måtten är lika.
Förekomsten av detta mått bevisar omöjligheten av en Banach-Tarski-paradox i två dimensioner: det är inte möjligt att dekomponera en tvådimensionell uppsättning av ändliga Lebesgue-mått i ändligt många uppsättningar som kan sättas samman till en uppsättning med ett annat mått, eftersom detta skulle bryta mot egenskaperna hos Banach-måttet som utökar Lebesgue-måttet.