Multiplikationsoperator

I operatorteorin är en multiplikationsoperator en operator T _f definierad på något vektorrum av funktioner och vars värde vid en funktion φ ges genom multiplikation med en fast funktion f . Det är,

$$T_{f}\varphi (x)=f(x)\varphi (x)\quad$$

för alla φ i domänen för T _f , och alla x i domänen för φ (vilket är samma som domänen för f ).

Denna typ av operatorer kontrasteras ofta med kompositionsoperatorer . Multiplikationsoperatorer generaliserar begreppet operator som ges av en diagonal matris . Närmare bestämt är ett av resultaten av operatorteorin en spektralsats som säger att varje självtillslutande operator på ett Hilbert-rum är enhetligt ekvivalent med en multiplikationsoperator på ett L ^{2 -} rum .

Exempel

Betrakta Hilbertrymden X = L ² [−1, 3] av komplext värderade kvadratintegrerbara funktioner på intervallet [−1, 3] . Med f ( x ) = x ² , definiera operatorn

$$T_{f}\varphi (x)=x^{2}\varphi (x)$$

för vilken funktion φ som helst i X . Detta kommer att vara en självadjoint avgränsad linjär operator , med hela domänen X = L ² [−1, 3] och med norm 9 . Dess spektrum kommer att vara intervallet [0, 9] ( intervallet för funktionen x → x ² definierat på [−1, 3] ) . Faktum är att för vilket komplext tal λ som helst, ges operatorn T _f − λ av

$$(T_{f}-\lambda )(\varphi )(x)=(x^{2}-\lambda )\varphi (x).$$

Den är inverterbar om och endast om λ inte är i [0, 9] , och då är dess invers

$$(T_{f}-\lambda )^{-1}(\varphi )(x)= {\frac {1}{x^{2}-\lambda }}\varphi (x),$$

vilket är en annan multiplikationsoperator.

Detta kan lätt generaliseras till att karakterisera normen och spektrumet för en multiplikationsoperator på vilket Lp ^- rymd som helst .

Se även

• Översättningsoperatör
• Skiftoperatör
• Transferoperatör
• Nedbrytning av spektrum (funktionell analys)

Anteckningar

•   Conway, JB (1990). En kurs i funktionsanalys . Examentexter i matematik. Vol. 96. Springer Verlag . ISBN 0-387-97245-5 .