Prékopa–Leindler ojämlikhet

Inom matematiken är Prékopa –Leindler-ojämlikheten en integral ojämlikhet nära relaterad till den omvända Youngs ojämlikhet, Brunn–Minkowski-ojämlikheten och ett antal andra viktiga och klassiska ojämlikheter i analys . Resultatet är uppkallat efter de ungerska matematikerna András Prékopa och László Leindler.

Uttalande av ojämlikheten

Låt 0 < λ < 1 och låt f , g , h : R ⁿ → [0, +∞) vara icke- negativa verkliga mätbara funktioner definierade på n -dimensionellt euklidiskt rymd R ⁿ . Antag att dessa funktioner är uppfyllda

$h\left((1-\lambda )x+\lambda y\right)\geq f(x )^{1-\lambda }g(y)^{\lambda }$

 

 

 

 

()

för alla x och y i Rn ^. Sedan

$\|h\|_{1}:=\int _{\mathbb {R} ^{n}}h(x)\,\mathrm {d} x\geq \left(\int _{\ mathbb {R} ^{n}}f(x)\,\mathrm {d} x\right)^{1-\lambda }\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}g( x)\,\mathrm {d} x\right)^{\lambda }=:\|f\|_{1}^{1-\lambda }\|g\|_{1}^{\lambda } .$

Ojämlikhetens väsentliga form

Kom ihåg att det väsentliga supremumet för en mätbar funktion f : R ⁿ → R definieras av

$\mathop {\mathrm {ess\,sup} } _{x\in \mathbb {R} ^{n}}f(x)=\inf \left\{t\in [-\infty ,+ \infty ]\mid f(x)\leq t{\text{ för nästan alla }}x\i \mathbb {R} ^{n}\right\}.$

Denna notation tillåter följande väsentliga form av Prékopa–Leindler-olikheten: låt 0 < λ < 1 och låt f , g ∈ L ¹ ( R ⁿ ; [0, +∞)) vara icke-negativa absolut integrerbara funktioner. Låta

$s(x)=\mathop {\mathrm {ess\,sup} } _{y\in \mathbb {R} ^{n}}f\left({\frac {xy}{1-\lambda }}\right)^{1-\lambda }g\left({\frac {y}{\lambda }}\right)^{\lambda }.$

Då är s mätbart och

$\|s\|_{1}\geq \|f\|_{1}^{1-\lambda }\|g\|_{1}^{\lambda }.$

Den väsentliga supremumformen gavs av Herm Brascamp och Elliott Lieb . Dess användning kan ändra den vänstra sidan av ojämlikheten. Till exempel, en funktion g som tar värdet 1 vid exakt en punkt kommer vanligtvis inte att ge en noll vänster sida i formen "icke-essentiell sup" men den kommer alltid att ge en noll vänster sida i formen "essentiell sup".

Förhållandet till Brunn-Minkowski-ojämlikheten

Det kan visas att den vanliga Prékopa–Leindler-olikheten innebär Brunn–Minkowski-olikheten i följande form: om 0 < λ < 1 och A och B är gränsade , mätbara delmängder av R ⁿ så att Minkowskisumman (1 − λ ) A + λ B är alltså också mätbart

$\mu \left((1-\lambda )A+\lambda B\right)\geq \ mu (A)^{1-\lambda }\mu (B)^{\lambda },$

där μ anger n -dimensionellt Lebesgue-mått . Därför kan Prékopa–Leindler-ojämlikheten också användas för att bevisa Brunn–Minkowski-olikheten i dess mer välbekanta form: om 0 < ^λ < 1 och A och B är icke- tomma , avgränsade , mätbara delmängder av Rn så att (1) − λ ) A + λ B är alltså också mätbart

$\mu \left((1-\lambda )A+\lambda B\right)^{1/n}\geq (1-\lambda )\mu (A)^{1/n}+\lambda \ mu (B)^{1/n}.$

Tillämpningar inom sannolikhet och statistik

Log-konkava distributioner

Prékopa–Leindler-ojämlikheten är användbar i teorin om log-konkava fördelningar , eftersom den kan användas för att visa att log-konkavitet bevaras genom marginalisering och oberoende summering av log-konkava distribuerade slumpvariabler. Antag att H ( x , y ) är en log-konkav fördelning för ( x , y ) ∈ R ^m × R ⁿ , så att vi per definition har

$H\left((1-\lambda )(x_{1},y_{1})+\lambda (x_{2},y_{2})\right)\geq H(x_{1}, y_{1})^{1-\lambda }H(x_{2},y_{2})^{\lambda },$

 

 

 

 

()

och låt M ( y ) beteckna den marginalfördelning som erhålls genom att integrera över x :

$M(y)=\int _{\mathbb {R} ^{m}}H(x,y)\,dx.$

Låt y ₁ , y ₂ ∈ R ⁿ och 0 < λ < 1 ges. Då uppfyller ekvation ( 2 ) villkor ( 1 ) med h ( x ) = H ( x ,(1 − λ )y ₁ + λy ₂ ), f ( x ) = H ( x , y ₁ ) och g ( x ) ) = H ( x , y ₂ ), så Prékopa–Leindler-ojämlikheten gäller. Det kan skrivas i termer av M som

$M((1-\lambda )y_{1}+\lambda y_{ 2})\geq M(y_{1})^{1-\lambda }M(y_{2})^{\lambda },$

vilket är definitionen av log-konkavitet för M .

För att se hur detta innebär bevarandet av log-konvexitet genom oberoende summor, anta att X och Y är oberoende slumpvariabler med log-konkav fördelning. Eftersom produkten av två log-konkava funktioner är log-konkav, är den gemensamma fördelningen av ( X , Y ) också log-konkav. Log-konkavitet bevaras av affina förändringar av koordinater, så fördelningen av ( X + Y , X − Y ) är också log-konkav. Sedan fördelningen av X+Y är en marginal över den gemensamma fördelningen av ( X + Y , X − Y ), drar vi slutsatsen att X + Y har en log-konkav fördelning.

Tillämpningar på koncentration av mått

Prékopa–Leindler-ojämlikheten kan användas för att bevisa resultat om mätkoncentration.

Sats Låt ${\textstyle A\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ , och sätt ${\textstyle A_{\ epsilon }=\{x:d(x,A)<\epsilon \}}$ . Låt ${\textstyle \gamma (x)}$ beteckna den standard gaussiska pdf-filen och ${\textstyle \mu }$ dess tillhörande åtgärd. Sedan ${\textstyle \mu (A_{\epsilon })\geq 1-{\frac {e^{-\epsilon ^{2}/ 4}}{\mu (A)}}}$ .

Bevis på koncentration av åtgärd

Beviset för denna sats går genom följande lemma: Lemma I satsens notation, ${\textstyle \int _{\mathbb {R} ^{n}} \exp(d(x,A)^{2}/4)d\mu \leq 1/\mu (A)}$ . Detta lemma kan bevisas från Prékopa–Leindler genom att ta ${\textstil h(x)=\gamma (x),f(x)=e^{\frac {d(x,A)^{2}}{4}}\gamma (x),g(x) =1_{A}(x)\gamma (x)}$ och ${\textstil \lambda =1/$ 2 För att verifiera hypotesen om olikheten, ${\textstil h({\frac {x+y}{2}})\geq {\sqrt {f( x)g(y)}}}$ , observera att vi bara behöver ta hänsyn till ${\textstyle y\in A}$ , i vilket fall ${\textstil d(x,A)\leq ||xy||}$ . Detta gör att vi kan beräkna: $(2\pi )^{n}f(x)g(x)=\exp({\frac {d(x,A)}{4}}-||x||^{2}/ 2-||y||^{2}/2)\leq \exp({\frac {||xy||^{2}}{4}}-||x||^{2}/2- ||y||^{2}/2)=\exp(-||{\frac {x+y}{2}}||^{2})=(2\pi )^{n}h( {\frac {x+y}{2}})^{2}.$ Eftersom ${\textstil \int h(x)dx=1}$ ger PL-olikheten omedelbart lemma. För att sluta koncentrationsojämlikheten från lemma, notera att på ${\textstyle \mathbb {R} ^{n}\setminus A_{\epsilon }} ,$ d $\textstyle d (x,A)>\epsilon }$ , så vi har ${\textstyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\exp(d(x,A)^{2}/4)d\mu \geq (1-\mu (A_{\epsilon }))\exp(\epsilon ^{2}/4)}$ . Att tillämpa lemma och ordna om bevisar resultatet.

Vidare läsning

•   Eaton, Morris L. (1987). "Loggkonkavitet och relaterade ämnen". Föreläsningar om ämnen i sannolikhetsojämlikheter . Amsterdam. s. 77–109. ISBN 90-6196-316-8 .
•   Wainwright, Martin J. (2019). "Koncentration av mått". Högdimensionell statistik: en icke-asymptotisk synvinkel . Cambridge University Press. s. 72–76. ISBN 978-1-108-49802-9 .