Ordlista för funktionsanalys

Detta är en ordlista för terminologin inom ett matematiskt område för funktionsanalys .

I hela artikeln, om inte annat anges, är basfältet för ett vektorrum fältet för reella tal eller det för komplexa tal. Algebror antas inte vara enhetliga.

Se även: Lista över Banach-utrymmen .

*

*: *-homomorfism mellan involutiva Banach-algebror är en algebra-homomorfism som bevarar *.

A

abelian: Synonymt med "kommutativ"; t.ex. betyder en abelsk Banach-algebra en kommutativ Banach-algebra.
Alaoglu: Alaoglus teorem säger att den slutna enhetskulan i ett normerat utrymme är kompakt i svag-* topologin .
adjoint: Adjointen för en avgränsad linjär operator $T:H_{1}\to H_{2}$ mellan Hilbertrum är den avgränsade linjära operatorn $T^{*}:H_{2}\till H_{1}$ så att $\langle Tx,y\rangle =\langle x,T^ {*}y\rangle$ för varje $x\in H_{1},y\in H_{2}$ .
ungefärlig identitet: I en Banach-algebra som inte nödvändigtvis är enhetlig är en ungefärlig identitet en sekvens eller ett nät $\{u_{i}\}$ av element så att $u_{i}x\to x,xu_{i}\to x$ som $i\to \infty$ för varje x i algebra.
approximationsegenskap: Ett Banach-utrymme sägs ha approximationsegenskapen om varje kompakt operatör är en limit av ändliga operatörer.

B

Baire

Baire -kategorisatsen säger att ett komplett metriskt rum är ett Baire-rum; om

U_{i}

är en sekvens av öppna täta delmängder, då är

\cap _{1}^{\infty }U_{i}

tät.

Banach

1. Ett Banach-utrymme är ett normerat vektorrum som är komplett som ett metriskt utrymme.

2. En Banach-algebra är ett Banach-rum som har en struktur av en möjligen icke-enhetlig associativ algebra så att

\|xy\|\leq \|x\|\ |y\|

för varje

x,y

i algebra.

Bessel

Bessels olikhet anger: givet en ortonormal mängd S och en vektor x i ett Hilbertrum,

{\displaystyle \sum _{u\in S}|\langle x,u\rangle |^{2}\leq \|x\|^{2}} , där likheten gäller

om

och endast om S är en ortonormal bas; dvs maximal ortonormal uppsättning.

avgränsad

En avgränsad operator är en linjär operator mellan Banach-utrymmen för vilka bilden av enhetsbollen är avgränsad.

Birkhoff-ortogonalitet

Två vektorer x och y i ett normerat linjärt utrymme sägs vara Birkhoff-ortogonala om

\|x+\lambda y\|\geq \|x\|

för alla skalärer λ. Om det normerade linjära rummet är ett Hilbert-rum, så är det ekvivalent med den vanliga ortogonaliteten.

C

Calkin

Calkin -algebra på ett Hilbert-utrymme är kvoten av algebra för alla avgränsade operatorer på Hilbert-utrymmet av idealet som genereras av kompakta operatorer.

Cauchy–Schwarz-olikhet

Cauchy –Schwarz-olikheten säger: för varje vektorpar

x,y

i ett inre produktutrymme,

|\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\|y\|

.

sluten

Den stängda grafsatsen säger att en linjär operator mellan Banach-rum är kontinuerlig (avgränsad) om och bara om den har en stängd graf.

kommutant

1. Ett annat namn för " centraliserare "; dvs. kommutanten för en delmängd S av en algebra är algebra för elementen som pendlar med varje element i S och betecknas med

S'

.

2. Von Neumanns dubbelkommutantsats säger att en icke degenererad *-algebra

{\mathfrak {M}}

av operatorer på ett Hilbertrum är en von Neumann-algebra om och endast om

{ \mathfrak {M}}''={\mathfrak {M}}

.

kompakt

En kompakt operator är en linjär operator mellan Banach-utrymmen där bilden av enhetskulan är prekompakt.

C*

En C*-algebra är en involutiv Banach-algebra som uppfyller

\|x^{*}x\|=\|x^{*}\|\| x\|

.

konvex

Ett lokalt konvext utrymme är ett topologiskt vektorrum vars topologi genereras av konvexa delmängder.

cyklisk

Givet en representation

(\pi ,V)

av en Banach-algebra

{\displaystyle A} ,

är en cyklisk vektor en vektor

v\in V

så att

\pi (A)v

är tät i

V

.

D

direkt: Filosofiskt sett är en direkt integral en kontinuerlig analog till en direkt summa.

F

faktor: En faktor är en von Neumann-algebra med trivialt centrum.
trogen: En linjär funktionell $\omega$ på en involutiv algebra är trogen om $\omega (x^{*}x)\neq 0$ för varje element som inte är noll $x$ i algebra.
Fréchet: Ett Fréchet-rum är ett topologiskt vektorrum vars topologi ges av en räkningsbar familj av seminormer (vilket gör det till ett metriskt rum) och som är komplett som ett metriskt rum.
Fredholm: En Fredholm-operator är en avgränsad operator så att den har slutet räckvidd och operatörens och adjointens kärnor har finita dimensioner.

G

Gelfand: 1. Gelfand–Mazur-satsen säger att en Banach-algebra som är en divisionsring är fältet för komplexa tal.; 2. Gelfand-representationen av en kommutativ Banach-algebra $A$ med spektrum $\Omega (A)$ är algebrahomomorfismen $F :A\to C_{0}(\Omega (A))$ , där $C_{0}(X)$ anger algebra för kontinuerliga funktioner på $X$ som försvinner i oändlighet, som ges av $F(x)(\omega )=\omega (x)$ . Det är en *-bevarande isometrisk isomorfism om $A$ är en kommutativ C*-algebra.
Grothendieck: Grothendiecks ojämlikhet .

H

Hahn–Banach: Hahn –Banach-satsen säger: givet en linjär funktionell $\ell$ på ett delrum av ett komplext vektorrum V , om det absoluta värdet av $\ell$ ovanför avgränsas av en seminorm på V , sedan sträcker det sig till en linjär funktionell på V som fortfarande är begränsad av seminormen. Geometriskt är det en generalisering av hyperplanseparationssatsen .
Hilbert: 1. Ett Hilbert-utrymme är ett inre produktutrymme som är komplett som ett metriskt utrymme.; 2. I Tomita-Takesaki-teorin är en (vänster eller höger) Hilbert-algebra en viss algebra med en involution.
Hilbert–Schmidt: 1. Hilbert–Schmidt-normen för en avgränsad operator $T$ på ett Hilbertutrymme är $\sum _{i}\|Te_{i}\| ^{2}$ där $\{e_{i}\}$ är en ortonormal bas för Hilbertrummet.; 2. En Hilbert-Schmidt-operator är en begränsad operator med finit Hilbert-Schmidt-norm.

jag

index: 1. Indexet för en Fredholm-operator $T:H_{1}\to H_{2}$ är heltal $\operatörsnamn {dim} (\operatörsnamn {ker} (T^{*}))-\operatörsnamn {dim} (\operatörsnamn {ker} (T))$ .; 2. Atiyah–Singer indexsatsen .
indexgrupp: Indexgruppen för en enhetlig $\displaystyle G(A) )}$ -algebra är kvotgruppen $G(A)/G_{0}(A)$ där ) { är enhetsgruppen för A och $G_{0}(A)$ gruppens identitetskomponent.
inre produkt: 1. En inre produkt på ett reellt eller komplext vektorrum $V$ är en funktion $\langle \cdot ,\cdot \rangle :V\times V\to \mathbb {R}$ så att för varje $v,w\in V$ , (1) $x\mapsto \langle x,v \rangle$ är linjär och (2) $\langle v,w\rangle ={\overline {\langle w,v\rangle }}$ där stapeln betyder komplext konjugat.; 2. Ett inre produktutrymme är ett vektorrum utrustat med en inre produkt.
involution: 1. En involution av en Banach-algebra A är en isometrisk endomorfism $A\to A,\,x\mapsto x^{*}$ som är konjugat-linjär och sådan att $(xy)^{*}=(yx)^{*}$ .; 2. En involutiv Banach-algebra är en Banach-algebra utrustad med en involution.
isometri: En linjär isometri mellan normerade vektorrum är en linjär kartbevarande norm.

K

Krein–Milman: Krein –Milman-satsen säger: en icke-tom kompakt konvex delmängd av ett lokalt konvext utrymme har en extrempunkt.

L

Lokalt konvex algebra: En lokalt konvex algebra är en algebra vars underliggande vektorrum är ett lokalt konvext rum och vars multiplikation är kontinuerlig med avseende på den lokalt konvexa rymdtopologin.

N

icke degenererad: En representation $(\pi ,V)$ av en algebra $A$ sägs vara icke degenererad om det för varje vektor $v\in V$ finns ett element $a\in A$ så att $\pi (a)v\neq 0$ .
icke-kommutativ: 1. icke-kommutativ integration; 2. icke- kommutativ torusnorm; 1. En norm på ett vektorrum X är en funktion med verkligt värde ${\displaystyle \|\cdot \|:X\to \mathbb {R$ så att för varje skalär $a$ och vektorerna $x,y$ i $X$ , (1) $\|ax\|=|a|\|x\|$ , (2) (triangulär olikhet) $\|x+y \|\leq \|x\|+\|y\|$ och (3) $\|x\|\geq 0$ där likheten gäller endast för $x=0$ .
‖: 2. Ett normerat vektorrum är ett reellt eller komplext vektorrum utrustat med en norm $\|\cdot \|$ . Det är ett metriskt utrymme med avståndsfunktionen $d(x,y)=\|xy\|$ .
kärnkraft: Se kärnkraftsoperatör .

O

en: A en parametergrupp för en enhetlig Banach-algebra A är en kontinuerlig grupphomomorfism från $(\mathbb {R} ,+)$ till enhetsgruppen för A .
ortonormal: 1. En delmängd S av ett Hilbertrum är ortonormalt om, för varje u , v i mängden, $\langle u,v\rangle$ = 0 när $u\ neq v$ och $=1$ när $u=v$ .; 2. En ortonormal bas är en maximal ortonormal uppsättning (notera: den är *inte* nödvändigtvis en vektorrymdsbas.)
ortogonal: 1. Givet ett Hilbertrum H och ett slutet delrum M är det ortogonala komplementet av M det slutna delrummet $M^{\bot }=\{x\in H|\langle x,y\rangle =0,y\in M\}$ .; 2. I notationerna ovan är den ortogonala projektionen $P$ på M en (unik) begränsad operator på H så att $P^{2}=P,P^{*}=P,\operatörsnamn {im} (P)=M,\operatörsnamn {ker} (P)=M^{\bot }.$

P

Parseval: Parsevals identitet anger: givet en ortonormal bas S i ett Hilbertrum, $\|x\|^{2}=\summa _{u\in S}|\langle x,u\rangle |^{2}$ .
positiv: En linjär funktionell $\omega$ på en involutiv Banach-algebra sägs vara positiv om $\omega (x^{*}x)\geq 0$ för varje element $x$ i algebra.

F

quasitrace: Quasitrace .

R

Radon: Se Radonmått .
Riesz nedbrytning: Riesz nedbrytning.
Riesz lemma: Riesz lemma .
reflexivt: Ett reflexivt rum är ett topologiskt vektorrum så att den naturliga kartan från vektorrummet till den andra (topologiska) dualen är en isomorfism.
resolvent: Resolventen för ett element x i en enhetlig Banach-algebra är komplementet i $\displaystyle \mathbb {C} }$ { av spektrumet av x .

S

self-adjoint: En self-adjoint operator är en bounded operator vars adjoint är sig själv.
separerbar: Ett separerbart Hilbert-utrymme är ett Hilbert-utrymme som medger en ändlig eller räknebar ortonormal grund.
spektrum: 1. Spektrum för ett element x i en enhetlig Banach-algebra är mängden komplexa tal $\lambda$ så att $x-\lambda$ inte är inverterbar.; 2. Spektrum för en kommutativ Banach-algebra är mängden av alla tecken (en homomorfism till ${\displaystyle \mathbb {C} } )$ på algebra.
spektral: 1. Spektralradien för ett element x i en enhetlig Banach-algebra är ${\textstyle \sup _{\lambda }|\lambda |}$ där sup är över spektrumet av x .; 2. Spektralavbildningssatsen säger : om x är ett element i en enhetlig Banach-algebra och f är en holomorf funktion i en grannskap av spektrumet $\sigma (x)$ av x , då ${\displaystyle f(\sigma (x))=\sigma (f(x))} ,$ där $f(x)$ är ett element av Banach-algebra definierad via Cauchys integralformel .
tillstånd: Ett tillstånd är en positiv linjär funktion av norm ett.

T

tensorprodukt: Se topologisk tensorprodukt . Observera att det fortfarande är något av ett öppet problem att definiera eller utarbeta en korrekt tensorprodukt av topologiska vektorrum, inklusive Banach-rum.
topologiskt: Ett topologiskt vektorrum är ett vektorrum utrustat med en topologi så att (1) topologin är Hausdorff och (2) additionen $(x,y)\mapsto x+y$ såväl som skalär multiplikation $(\lambda ,x)\mapsto \lambda x$ är kontinuerliga.

U

unbounded operator: En unbounded operator är en delvis definierad linjär operator, vanligtvis definierad på ett tätt delrum.
princip om enhetlig avgränsning Principen: om enhetlig avgränsning anger: givet en uppsättning operatorer mellan Banach-utrymmen, om ${\textstyle \sup _{T}|Tx|<\infty } ,$ sup över mängden, för varje x i Banach-mellanrummet, sedan ${\textstyle \sup _{T}\ |T\|<\infty }$ .
unitary: 1. En enhetlig operator mellan Hilbert-rum är en inverterbar avgränsad linjär operator så att inversen är operatorns adjoint.; 2. Två representationer $(\pi _{1},H_{1}),(\pi _{2},H_{2})$ av en involutiv Banach-algebra A på Hilbert-rymden $H_{1},H_{2}$ sägs vara enhetligt ekvivalenta om det finns en enhetlig operator $U :H_{1}\till H_{2}$ så att $\pi _{2}(x)U=U\pi _{1}(x )$ för varje x i A .

W

W*: AW*-algebra är en C*-algebra som tillåter en trogen representation på ett Hilbert-utrymme så att bilden av representationen är en von Neumann-algebra.

Connes, Alain (1994), Icke-kommutativ geometri , Boston, MA: Academic Press , ISBN 978-0-12-185860-5
Bourbaki, Espaces vectoriels topologiques
Rudin, Walter (1991). Funktionsanalys . Internationell serie i ren och tillämpad matematik. Vol. 8 (andra upplagan). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5 . OCLC 21163277 .
M. Takesaki, Theory of Operator Algebras I , Springer, 2001, 2:a tryckningen av den första upplagan 1979.
Yoshida, Kôsaku (1980), Functional Analysis (sjätte upplagan), Springer

Vidare läsning

Antony Wassermanns föreläsningsanteckningar på http://iml.univ-mrs.fr/~wasserm/
Jacob Luries föreläsningsanteckningar om en von Neumann-algebra på https://www.math.ias.edu/~lurie/261y.html