L p summa

Inom matematik, och specifikt inom funktionsanalys , är L . ^p -summan för en familj av Banach-rum ett sätt att förvandla en delmängd av produktuppsättningen av familjemedlemmarna till ett Banach-rum i sig Konstruktionen är motiverad av de klassiska L ^{p -} utrymmena .

Definition

Låt $(X_{i})_{i\in I}$ vara en familj av Banach-rum, där $I$ kan ha godtyckligt stor kardinalitet. Uppsättning

$P:=\prod _{i\in I}X_{i},$

produktens vektorutrymme.

Indexmängden $I$ blir ett måttutrymme när det förses med dess räknemått (vilket vi ska beteckna med $\mu$ ), och varje element $( x_{i})_{i\in I}\in P$ inducerar en funktion

$I\to \mathbb {R} ,i\mapsto \|x_{i}\|.$

Därför kan vi definiera en funktion

$\Phi :P\to \mathbb {R} \cup \{\infty \},(x_{i})_{i\in I}\mapsto \int _{I}\|x_{i}\|^{p}\,d\mu (i)$

och sedan satte vi

$\sideset {}{^{p}}\bigoplus \limits _{i\in I}X_{i}:=\{(x_{i})_{i\in I}\in P\mid \Phi ((x_{i})_{i\in I })<\infty \}$

tillsammans med normen

$\|(x_{i})_{i\in I}\|:=\left(\int _{i\in I}\|x_{i}\|^{p}\,d\ mu (i)\right)^{1/p}.$

Resultatet är ett normerat Banach-mellanrum, och detta är exakt L ^p summan av $(X_{i})_{i\in I}$ .

Egenskaper

• När oändligt många av $X_{i}$ innehåller ett element som inte är noll, är topologin som induceras av ovanstående norm strikt mellan produkt- och boxtopologi.
• När oändligt många av $X_{i}$ innehåller ett element som inte är noll, är L ^p -summan varken en produkt eller en biprodukt .